教案：第一讲(力矩和力矩平衡).doc

2014级高一物理竞赛培训第一讲

力矩和力矩平衡 （两课时）

高一物理组 郭金朋

一：力矩的概念

力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其转动状态，可见物体的转动运动状态的变化不仅与力的大小有关，还与受力的方向、力的作用点有关。力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。在物理学中力对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量来表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。

力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。它等于力和力臂的乘积。表达式为：M=FL，其中力臂L是转动轴到F的力线的（垂直）距离。单位：Nm 效果：可以改变转动物体运动状态。

转轴： 物体转动时，物体上的各点都沿圆周运动，圆周的中心在同一条直线上，这条直

线就叫转轴。

特点：1，体中始终保持不动的直线就是转轴。

2，体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。 3，转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。

大多数情况下物体的转轴是容易明确的，但在有的情况下则需要自己来确定转轴的位置。如：一根长木棒置于水平地面上，它的两个端点为AB，现给B端加一个竖直向上的外力使杆刚好离开地面，求力F的大小。在这一问题中，过A点垂直于杆的水平直线是杆的转轴。象这样，在解决问题之前，首先要通过分析来确定转轴的问题很多，只有明确转轴，才能计算力矩，进而利用力矩平衡条件。

作用于同一物体的同一力，由于所取转轴的位置不同，该力对轴的力矩大小可能发生相应的变化，对物体产生转动作用的方向（简称“转向”）也可能不同。例如如右图中的力F，若以o1为轴（即对o1取矩）其力矩为M1=FL1，使物体逆时针转，若以o2为轴（即对o2取矩）其力矩为M2=FL2，使物体顺时针转，由图可知L1< L2，故M1< M2，且二者反

1

向。由此可见，一谈力矩，必须首先明确是以 何处为轴，或对谁取矩。

力矩的方向：

力矩：力臂(L)和力（F）的叉乘(M)。即：M=L×F。其中L是从转动轴到着力点的矢量, F是矢量力；力矩也是矢量。

补充知识：矢量积（叉乘）

1、定义：对矢量a与b，若矢量c满足 2，c的模c?absin?，?为a与b之间夹角；

3，c的方向垂直于a与b所决定的平面，且c的指向满足右手法则；

则称为c为a与b的向量积，记为a?b，即c?a?b。

右手法则：伸出你的右手，从力臂（指向力的作用线）向力的方向握，那么大拇指的方向就是力矩的方向。

力矩的计算：

①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL，如图中，力F的力臂为LF=Lsinθ，则力矩M＝F?L sinθ

2，把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。如图中，力F的力矩就等于其分力F1产生的力矩，M＝F sinθ?L。两种方法不同，但求出的结果是一样的，对具体的问题选择恰当的方法会简化解题过程。

F1 L F θ F2

2

F L LF θ θ

力使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。 大小一定的力有最大力矩的条件：

1，作用在离转动轴最远的点上；

2，的方向垂直于力作用点和转轴的连线与转轴所构成的平面。

二：定转动轴物体的转动平衡

转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，如果保持静止或匀速转动状态，我们称这个物体处于转动平衡。 平衡条件：

作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。

沿着转轴观察，力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转，就是逆时针转，若使物体沿顺时针转的力矩为正，则使物体沿逆时针转的力矩就为负。

当不好判断力是使物体沿哪个方向转动时，可以将力分解带沿杆和垂直于方向沿杆的分力力矩为零（或者垂直于面和平行与面或者轴，其中平行与面或者轴的分力力矩为零）

当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等时，物体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为：

?M?O或?M???M?

力偶距：

作用在物体上的大小相等.方向相等.作用线平行的两个力组成一个力偶。它对物体只有转动作用，其大小积为力偶距：力偶距=力×力偶臂.力偶臂等于两个力作用线间的距离.力偶距的正负也由它使物体转动方向来确定;逆时针为正,顺时针为负。

利用转动平衡解题的步骤；

（1确定研究对象——哪个物体；

（2分析状态及受力——画示意图；分析研究对象的受力情况，找出每一个力的力臂，分析每一个力矩的转动方向；

（3列出力矩平衡方程：∑M=0或∑M顺＝∑M逆； （4解出字母表达式，代入数据；

3

（5作必要的讨论，写出明确的答案。

一般物体的平衡条件

此处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。

对一个“一般物体”来说，作用在它上面的力的合力为零，对任意一点的力矩之和为零时，物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式：

??M?0(对任意转轴）??? ??F?0?注意：∑M=0或∑M顺＝∑M逆，方程转轴可以根据需要可以任意选取，一般原则是尽量多的力力臂为零，或者让未知的力的力矩为零.

例题分析：

例题1： 如图：BO是一根质量均匀的横梁，重量G1＝80N，BO的一端安在B点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角

??30o，在横梁的O点挂一个重物，重要G2＝240N，求钢绳对横梁的拉力F1：

（1）本题中的横梁是一个有固定转动轴的物体； （2）分析横梁的受力：拉力F1，重力G1，拉力F2； （3）找到三个力的力臂并写出各自的力矩：

F1的力矩：F1lsin? G1的力矩：G1解：据力矩平衡条件有：

l F2的力矩：G2l 2lF1lsin??G1?G2l?0

2

4

得：F1

?G1?2G2?560N

2sin?例题2：如右上图，半径为R的均匀圆柱体重30 N，在水平绳的拉力作用下，静止于固定斜面上，求：(1)绳子的拉力，(2)斜面对圆柱体的支持力，(3)斜面对圆柱体的摩擦力。

解析：如右下图，圆柱体受重力、斜面的支持力和摩擦力、绳拉力四个力。此四力不是共点力。不可以将绳拉力T，摩擦力f平移到柱体重心处。用共点力平衡条件解决较繁（将斜面对柱体的支持力N和摩擦力f合成为一个力F，则F、T、G共点，然后再将F分解求得N、f）。用力矩解决较好。

取接触点为轴，由力矩平衡有：

T(R+Rcos370)=GRsin370, 得T?G?10N， 3G?10N; 3取柱心为轴，有TR=fR,得f?R?再取拉力作用点为轴，有NRsin370=f（R+Rcos370）, 得N=G=30N。

例题3：如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A和B两球之间连有弹簧，平衡时圆心O与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。

O

N1 N2 O N3 α A

β

’ m1g B N1

A α

β

B

m2g

解析：此题可以分别分析小球A、B所受共点力，对每个球列共点力平衡方程求解，但是很繁琐。若换一个角度，以O为轴用力矩求解则较方便。如右下图，小球A受到N1、N2、 m1g

5

有固定转动轴物体的平衡B卷

一、填空题

1.如图所示，用两块长都为L的砖块叠放在桌面边缘，为使砖块突出桌面边缘的距离最大且不翻倒，则上面的第一块砖突出下面的第二块砖的距离为 的距离为

.

，下面第二块砖突出桌面边缘

LL答案：2,

4

2.如图所示，半径为R的轮放在台阶边上，现在轮的边缘处施加力F使轮缓慢地滚上台阶，轮与台阶的接触点为P，要使力F最小，则力F的方向应是

，在使轮滚动过程中F的力

h?矩的方向是 小至少应为

(填“顺时针”或“逆时针”)的.若轮的质量为M，台阶的高.

R2，则力F的大

答案：垂直于OP方向，顺时针，

3Mg 23.如图所示，质量不计的杆O。B和02A，长度均为l，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O，B的中点，B处用细绳系于O2A的中点，此时两短杆组合成一根长杆。今在O，B杆上的C点(C为AB的中点)悬挂一重为G的物体，则A处受到的支撑力大小为 B处细绳的拉力大小为 答案：G/2，G

4.如图所示，一个半径为R、重为G的匀质半球体，放在地面上，其重心位置在球心O下的C点，OC?.

，

3RG.现在半球体上表面的平面上放一重为的小物体P，已知小物体与半球体的84平面问的滑动摩擦系数μ＝0.2，则要保证半球体倾斜后小物体不滑下，小物体的位置离开半球体球心的最大距离为

.

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答案：0.3R

5.一根粗细不均匀的木棒，长为4m，当支点在距其粗端1.4m时，木棒恰好水平平衡.如果在其细端挂一个重为80N的物体，就必须将支点向其细端移动0.4m，木棒才能平衡.则棒重为

.

答案：440N(提示:木棒的重心在距粗端1.4m处)

6.如图所示，一支杆秤有两个提纽，已知OA＝7cm，OB＝5cm，秤锤质量为2kg，秤杆重不计.使用0处提纽时，秤的最大称量为10kg，则可知使用B处提纽时，秤的最大称量为 答案：40kg

7.如图所示，均匀杆重为G，通过图示滑轮装置用力F将杆拉成水平.若保持与杆相连的绳子均垂直于杆，拉力F与竖直方向成60°角，滑轮重与摩擦均不计，B为杆的中点，则拉力的大小F＝

.

G答案：2?3(提示:先找出B处绳子 拉力和A处绳子拉力的关系，TB?3TA)

8.如图所示，均匀棒AB的A端铰于地面，B端靠在长方体物体C上，C被压在光滑竖直墙面上.若在C上再放一物体，整个装置

仍平衡，则B端与C物体间的弹力大小将比原来(填“大”、“不变”或“小”). 答案：变大

二、选择题

9.图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑，镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实现的方案是

( )

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答案：B(提示:用共点力平衡和力矩平衡讨论)

10.如图所示，一质量为m的金属球与一细杆连接在一起，细杆的另一端用铰链铰于墙上较低位置，球下面垫一木板，木板放在光滑水平地面上，球与板间的滑动摩擦系数为μ，下面说法中正确的有 ()

A.用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力F＝μmg. B.用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力F＜μmg. C.用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力F＞μmg. D.用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力F＜μmg. 答案：D(提示:球所受摩擦力向右，对杆的力矩是顺时针的)

11.如图所示，均匀光滑直棒一端铰于地面，另一端搁在一个立方体上，杆与水平面间的夹角α为30°左右.现将立方体缓慢向左推，则棒对立方体的压力大小将 ( A.逐渐增大. B.逐渐减小.

)

C.先增大后减小. D.先减小后增大.

答案：C(提示:可证明夹角为45°时压力最大)

12.如图所示，物体放在粗糙平板上，平板一端铰接于地上，另一端加一竖直向上的力，使板的倾角θ缓慢增大，但物体与木板间仍无相对滑动，则下列量中逐渐增大的有( A.板对物体的静摩擦力. B.物体对板的正压力. C.拉力F.

)

D.拉力F的力矩. 答案：A

13.如图所示，两根均匀直棒AB、BC，用光滑的铰链铰于B处，两杆的另外一端都用光滑铰链铰于墙上，棒BC呈水平状态，a、b、c、d等箭头表示力的方向，则BC棒对AB棒的作用力的方向可能是 (

)

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A.a. B.b. C.C. D.d.

答案：A(提示:先分析出BC对AB作用力的可能范围，再分析AB对BC作用力的可能范围，从而得出BC对AB作用力的又一 范围，在上述两者的交集中的是可能的)

14.如图所示，直杆OA可绕过O点的水平轴自由转动，图中虚线与杆平行，杆的另一端A点受到四个力F1、F2、F3、F4的作用，力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3、M44，则它们间的大小关系是( A.M1＝M2＞M3＝M4. B.M2＞M1＝M3＞M4. C.M4＞M2＞M3＞M1. D.M2＞M1＞M3＞M4.

答案：B(提示:将各力分解成沿杆 方向和垂直于杆方向的两个力， 只比较后者的力矩即可)

15.如图所示，用长为2R的细直杆连结的两个小球A、B，它们的质量分别为m和2m，置于光滑的、半径为R的半球面碗内.达到平衡时，半球面的球心与B球的连线和竖直方向间的夹角的正切为

(

)

)

A.1.

1B.2.

1C.3.

1D.4.

答案：B(提示:把两球与杆看成整体，用力矩平衡解)

16.如图所示，在静止的小车上固定一个天平杆架，当杆的一端用细线挂一个物体时，杆的另一端用一轻绳系于小车底板上，轻绳恰竖直，杆恰水平.在小车向右作匀加速直线运动的过程中，轻绳的拉力与原来相比将( A.增大. C.变小.

)

B.不变. D.无法判断.

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答案：B(提示:悬挂物体的细 线拉力对杆的力矩不变) 三、计算题

17.如图所示，均匀长板AB重300N、长为12m，可绕过O点的水平轴转动，O点距A点为4m，B端用轻绳系于天花板上的C点，BC与杆成θ＝30°角，板恰水平.绳子能承受的最大拉力为200N，有一重为500N的人在板上行走，求人能安全行走的范围. 答案：从O点以左1.2m到O点以右2.8m

18.如图所示，球重为G，半径为R，由轻杆BC支持并斜靠在墙上.轻杆长为L，C端铰于墙上，B端用水平绳拉住，系于墙上，求:当杆与墙的夹角α为多大时水平绳所受拉力最小，最值为多少.

4GRL答案：60°，

{提示:球共点力平衡而杆力矩平衡，

T?GR???2??Lsi?nco?tsan2Lsi2n??1?2sin?22?2?

GR2sin2当

?2?1?2sin2?2时有极小值]

30

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