三角形讲义

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第十一章全等三角形

11.1 全等三角形

知识点一全等形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

全等三角形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置。看两个图形是否全等，只要把他们叠合在一起，看是否能够完全重合，能够重合即为全等形。知识点二全等三角形的定义和表示方法

（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完

全一样，叠合在一起是否重合，与他们的位置没有关系。把两个全等的三角形叠合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的叫做对应角。

（3） “全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。找对应边、对应角通常的几种方法：

1，在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最

小角。 2，对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；

3，根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角，如△ABE≌△ACD，则对应边是AB与

AC、BE与CD、AE与AD，对应角∠ABE与∠ACD、∠AEB与∠ADC、∠BAE与∠CAD。知识点三全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等。

三角形及全等三角形测试题

一．填空题(每小题2分,共38分)

1．三角形的三边长为3、7、x，则x的取值范围是。

2．五条长度分别为1、2、3、4、5的线段任选3条，可以组成个三角形。 3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠A= ，∠B= 。 4．三角形按角分为、和直角三角形。 5．如图1，已知AB⊥AC，AD⊥BC，∠1=43°，则∠B= 。

6．如图2，∠ACE=∠BCE，BD=CD，则AD是△ABC的线，CE是△ABC 的线。 BAACEBABAECD图41E 7．三角形的中线、高和角平分线都是。

D图1CBD图2C D图3 8．如图1，以AD为高的三角形共有个。 9．如图3，已知在⊿ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与∠B相等的角共有个。 10．如图4，已知⊿ABC≌⊿ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE= 。

11．如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°，

∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。

12．如图6，已知AB=CD，AD=BC，则 ≌ ， ≌ 。

BE DAADE A

B1图6C2图7C 13．如图7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，AC与BD相交于点E，则图中全等三角形为。

二．选择题：（每小题3分，共15分）

1．如图，⊿ABC中，CD⊥BC于C，D点在AB的延长线上，则CD是⊿ABC（） A、BC边上的高 B、AB边上的高

CC、AC边上的高 D、以上都不对

2．锐角三角形中任意两个锐角的和必大于 ( )。

BAA 120° B 110° C 100° D 90°

3．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角（） A、一定有一个内角为45? B．一定有一个内角为60? C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 4．下列命题中正确的是（） ①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。

A．4个 B、3个 C、2个 D、1个

DA5．如图，已知AB=CD，AD=BC，则图中全等三角形共有（） A．2对 B、3对 C、4对 D 、5对

B 6、如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若 C △ADB≌△EDB≌△EDC，?则∠C的度数为（）

（A）15° （B）20° （C）25° （D）30°

三．解答题：

1．已知⊿ABC，分别画出A的角平分线、BC边上

A的中线和AC边上的高。（6分）

D图5CBD 2．如图，在⊿ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是⊿ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

3．一个正方形剪成4个全等的直角三角形，请用这4个直角三角形拼成符合下列条件

的图形。

（1）不是正方形的菱形（1个）（2）不是正方形的矩形（1个）（3）不是矩形和菱形的平行四边形。（10分）

4．如图，⊿ABC≌⊿DEF，∠A=70°，∠B=50°，BF=4，求∠DEF的度数和EC的长。

C F

5．如图，已知AD=BC，AC=BD，你能否得到∠D=∠C的结论？说说你的理由。

11.2 三角形全等的判定

ADCBDCB B知识点一三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”（重点）知识点二两边和他们的夹角相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS” 知识点三两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“ASA” 知识点四两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”

思考：“有两角和一边分别相等的两个三角形全等“这句话正确吗？

知识点五斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL” 条件一般三角形边角边（SAS）角边角（ASA）直角三角形斜边、直角边（HL）边边边（SSS）角角边（AAS）性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段相等（如对应线段上的高、中线）相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等注意：判定两个三角形全等必须具备的条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

(1)边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)． 1. 如图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，

求证： △ABD≌ △ACD

2. 已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD＝FB，求证；△ABC≌ △FDE。

3. 工人师傅常用一个角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边

OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么？

4. 已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE．求证：△ABE≌△DCF

5. 如图,已知:AB=CD,AD=BC．求证:AB∥CD．

6. 已知：如图 , AB=AD , DC=CB．求证：∠B=∠D

7. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．

8. 已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上．求证：∠CAE=∠DAB．

9. 已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC

(2)边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．

10. 已知:如图, , AB=AC AD=AE , 求证：∠B=∠C

11. 已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.

求证:AC∥DF．

12. 已知：如图AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠EAD．, 求证:△ABD≌△

ACE,

13. 已知：如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF

14. 已知：如图∠1=∠2 , ∠3=∠4.求证：AD=BC AC=BD．

15. 已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , DE=CE．E是BC上的

一点．求证：AE=BE

16. 已知：如图 , ∠1=∠2 , AB⊥BC , AD⊥DC , 垂足分别为

B、D ．求证：AB=AD．

17. 已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线于E ,

CE=CD．求证：∠ADE=∠EDC．

18. 已知：AD是

的中线。求证：

19. 已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F．求

证：AC=BF．

20. 如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD和∠ABC的平分线交于E，且CD过点E，求证：

AB=AD+BC

ADEBC

21. 已知：如图，∠ABD=∠ACD=60o，∠ADB=90o-求证：△ABC是等腰三角形。

BDC12∠BDC。

A 7

(3)角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)．

推论有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”) 22. 已知:如图,BC∥ EF,∠A=∠D,BC=EF, ,求证:△ABC≌△DEF

23. 已知:如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C．求证:AF=DE．

24. 已知：如图 , ∠1=∠2 , AB⊥BC , AD⊥DC , 垂足分别为B、D ．求证：AB=AD．

25. 已知：如图 , E、D、B、F在同一条直线上 , AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF．求证：

AE∥CF

26. 如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

27. 已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延

长线交于E、F．求证：OE=OF

28. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD≌△OCE

29. 已知：如图 , AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点．求

证：OE=OF．

30. 已知：如图 , AD=AE , BD=CE , AF?BC , 且F是BC的中点．求证：∠D=∠E

31. 已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O , 求证：∠1=∠2．

32. 已知:如图,AC、BD相交于O点,O是AC、BD的公共中点.求证:AB∥CD,AD∥BC．

33. 已知：如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD．

关于直角三角形有：

(4)斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)． 34. 已知:如图,AB⊥CD,垂足为D,AD=BD．求证:AC=BC．

35. 已知：点 A、C、B、D在同一条直线，AC=BD，∠M=∠N=90°，AM=CN

求证： MB∥ND

36. 已知： BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：△BEC≌△DAE

第2题

B F A

C E

D 10

37. 要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过

A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，

C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.

1. 如图3-85，A，F和B三点在一条直线上，CF┴AB于F， AF＝FH， CF＝FB．求证： BE

⊥AC．

38. 如图:已知,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,求证:BE=CD

39. 已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4

40. 如图,已知:△ABC中,BE,CF分别为AC边和AB边上的高,在BE上截

取BP=AC,延长CF,并截取CQ=AB. 求证:AP=AQ．

41. 如图 , 已知：DC=AB , DF=BE , CF=AE , 求证：AO=CO EO=FO．

42. 如图，已知CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD。

43. 如图，已知ΔABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=BA，求证：ED=2CE

44. 如图，已知△ABC中，∠A=900，AB=AC，M是AC中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，

求证：∠AMB=∠D

初二数学全等三角形测试题

一、填空

1. 全等三角形的_________和_________相等；

2. 两个三角形全等的判定方法有:______________________________；

另外两个直角三角形全等的判定方法还可以用：_______；

A 3. 如右图，已知AB=DE，∠B=∠E，

若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件， B 这个条件可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________；

4. 如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件，

这个条件可以是：_____________，理由是：_____________；这个条件也可以是：_____________，理由是：_____________；

这个条件还可以是_____________，理由是：_____________；

C 5. 如图5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°，

∠C=45°，则∠EAC= ，∠D= ，∠DAC= 。

6. 如图6，已知AB=CD，AD=BC，则 ≌ ， ≌ 。

EABD C E F D BADAED1图6C2图7C 7. 如图7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，则图中全等三角形有 _____________； 8. 如图8，若AO=OB，∠1=∠2，加上条件，则有ΔAOC≌ΔBOC。 A12图5D图5CBAODADCBFEB图8 C图9

9. 如图9，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌ ，且DF= 。

图6BECF图7图10 10. 如图10，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠ =∠ 或 ∥ ，就可证明ΔABC≌ΔDEF。

11. 已知如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS”为依据，还缺条件 .

Ａ

二、选择题

12. 下列命题中正确的是（）

①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。 A．4个 B、3个 C、2个 D、1个

ADBC 13. 如图，已知AB=CD，AD=BC，则图中全等三角形共有（）

A．2对 B、3对 C、4对 D 、5对

14. 具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是 ( )

(A) 有两边一角对应相等 (B) 三边对应相等 (C) 两角一边对应相等（D）有两边对应相等的两个直角三角形 15. 能使两个直角三角形全等的条件（）

（A）两直角边对应相等（B）一锐角对应相等（C）两锐角对应相等（D）斜边相等

16. 已知△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠E=30°，则∠F的度数为（）

（A） 80° （B） 70° （C） 30° （D） 100°

17. 对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△A?B?C?的一组是（）（A） ∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′ （B） ∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′ （C） ∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′ （D） AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′

18. 如图，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（）（A）∠DAC=∠BCA （B）AC=CA （C）∠D=∠B （D）AC=BC

19. 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，

则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（）（A）AD=AE （B）AB=AC

D （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC

D C 14

A E

三、作图： 1、用圆规与直尺复制以下三角形（须保留作图痕迹）

E F 2、下图是三个等边三角形，请分别把他们分成两个、三个、四个全等的三角形：

四、证明题

1、如右图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC

2．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，AC=BD，∠M=∠N=90°，AM=CN

求证： MB∥ND

3、如右图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：AB=AD

第2题 B

C D A

A E

第4题

4、已知：如图，AB＝CD，AB∥DC．求证：，AD∥BC， AD＝BC

5．已知：如图，AB=AC，DB=DC．F是AD的延长线上一点．求证： (1) ∠ABD＝∠ACD (2)BF=CF

第5题

6、已知：如图， AO平分∠EAD和∠EOD、求证：① △AOE≌△AOD ②EB=DC

第6题

7、如图,在一小水库的两测有A、B两点，A、B间的距离不能直接测得，采用方法如下：取一点可以同时到达A、B的点C，连结AC并延长到D，使AC=DC；同法，连结BC并延长到E，使BC=EC；这样，只要测量CD的长度，就可以得到A、B的距离了，这是为什么呢？根据以上的描述，请画出图形，并写出已知、求证、证明。

A· ·B

C 一、选择题（每小题3分，共30分）

1．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）

A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C

2．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（） A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点 C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点

E C A

.DCA

F D

B B O D BA 第2题图第3题图第4题图

3．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）

A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC

4．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）

A.150° B.40° C.80° D.90° 5．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（） A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等 6．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（） A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC

1EDCADEA2FB 第6题图第7题图

7．如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（） A.25° B.27° C.30° D.45° 8．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与BC 书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA 9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（） A. AF＝2BF B.AF＝BF C.AF＞BF D.AF＜BF

A D

A′ E′

BDEC

第8题图第9题图第10题图

10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（） A．60° B．75° C．90° D．95° 二、填空题（每题3分，共15分）

11．能够____ 的两个图形叫做全等图形．

12．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有对全等三角形．

COAEABDBDC

13．如图，△ABC≌△ADE，则，AB = ，∠E = ∠ ．若∠BAE=120°， ∠BAD=40°，则∠BAC= ．

14．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB=3，EF=4，则AC= ． 15．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且CD=4cm，则点D到AB?的距离是________．

三、解答题(共55分)

16．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由．

证明： ∵AD平分∠BAC

∴∠________＝∠_________（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中

???????第12题图第13题图

A ∵ BDC∴△ABD≌△ACD（）

17．（8分）已知：如图，在直线MN上求作一点P，使点P到 ∠AOB两边的距离相等（要求写出作法，并保留作图痕迹，写出结论）

M A N

18．（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．

C E

B F

D 19．（8分）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

20．（8分）已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

C D

B E A

21．（8分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．

一．选择题（每小题4分，共32分） 1．下列说法正确的有（）

（1）三个角对应相等的两个三角形全等（2）完全重合的两三角形全等（3）面积相等的两三角形全等（4）有两角和一边对应相等的两个三角形全等 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 2．不能判定两三角形全等的是（）

A．SSS B． SAS C． AAS D． SS A E． ASA 3．如图（1），△ABC≌△CDA,，AB＝4 ,BC＝6,则AD边长为（） A． 4 B． 5 C． 6 D．不确定

4．如图（2）BD⊥AD，BC⊥AC，且AD=AC，则图中全等三角形的对数有（） A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图（3），△ABC≌△CDA,且AD＝CB，下列结论错误的是（） A． ∠B＝∠D B． ∠CAB＝∠ACD C． BC＝CD D．AC＝CA B（1）

CCAB2A E B F D C DADABDC（2）

（3）

6．下列说法错误的是（）

A．全等三角形的对应高相等 B．全等三角形的对应中线相等 C．全等三角形的对应角平分线相等 D．所有等边三角形都全等

7．如图（4），已知△ABD和△ACE均为等边三角形，那么△ADC≌△ABE的根据是（） A． AAS B． SAS C． ASA D． SSS 8．如图（5），在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 又△ABC≌△A′B′C，则∠BCA′：∠BCB′等于（） A． 1：2 B． 1：3 C．2：3 D. 1：4

BA′DCB

B′CA（4）

二．填空题（每小题4分，共32分）全等。（填序号）

（5）

1．在图（6）中，有①、②、③三个三角形，根据图中条件，三角形________和_________

2 1003 48 2 （6）

032 3 02 1003

2．如图（7），∠1＝∠2，再加上一个条件（只需写一

个）

_______________________就可以确定△ABD≌△ABC，理由是 __________________________________

3．用尺规作一个三角形与已知三角形全等的方法有____________，____________，____________，____________，____________。

4．如图（8），△ABC中，∠B=∠C=72，∠BEP=24，PB=CD，PC=BE，则∠EPD=____________。

5．在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，只需再补充条件____________________或_______________________或_____________________或__________________就能证明△ABC≌△DEC。

6．如图（9），若AB=AC，BD=DC，DE⊥AC，DF⊥AB，则全等三角形有__________对，相等的线段有___________组。

7．如图（10），若△ABC≌△ADE ,与∠EAC相等的角有_____个。 0

C1 AB2 （7）

A DE D CB20

P C

F D E C

8．如图（11），已知△ABC，分别采用①平移，②翻转，③旋转画出△A′B′C′

① 平移 ②翻转 ③旋转

（11）

B B

三、解答题（第1---4题各7分，第5题8分 1、如图(12)：已知AB=AC,在什么条件下，AD⊥BC ? 验证你的判断（只需验证一种情况即可）

2、如图(13)：已知AB⊥BD, ED⊥BD, AB=CD ,BC=DE , 请你判断AC垂直于CE吗？并说明理由。

河宽AB的方案，并说明理由。

ABEFDABDC(12)

AEBBF (2)AE=CF 如图(14)，已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D ,试说明（1）DE∥CD(13) C(14)

4、如图，要测量河两岸A,B两点间的距离，测量工具只有卷尺和量角器，请设计一个能求

A 21

三角形的全等及其应用

1.如图△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则在下列结论中不一定成立的是（）

A、AC=AF B、∠FAB=∠EAB C、EF=BC D、∠EAB=∠FAC

2．如图等边△ABC中，∠BFC=1200，那么（）

A、AD＞CE B、AD＜CE C、AD=CE

D、不确定

3 如图△ABC中，2∠B=∠A，CD是∠ACB的平分线，则BC与AC+AD的大小关系是（）

A、 BC＞AC+AD B、BC ＜AC+AD C、BC=AC+AD

D、BC与AC+AD大小不定

4．如图△ABC中，AD是△ABC中线，E，F分别是在AB，AC上，

且DE⊥DF，则（）

A、 BE+CF＞EF B、BE+CF=EF C、BE+CF ＜ EF D、BE+CF与EF大小不定

5．△ABC中∠B=600，AD与CE是角平分线且相交于点O，则（）

A、 AE+CD＞ AC B、AE+CD＜ AC C、AE+CD= AC

D、AE+CD与 AC大小不定

6．正三角形ABD和正三角形CBD的边长均为，现把它们拼合起来如图，E是AD上异于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=，当E，F移动时，三角形BEF的形状为（）

A、不等边三角形 B、等腰直角三角形

C、等腰三角形非正三角形 D、正三角形

7．在不等边△ABC中，AQ=PQ，PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PN

①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正确的代号是

BPEACAEBFC第1题 ADEFB第2题 DCABAC第3题 EFBDC第4题 AEOBDC第5题

DFB第6题 AMN22 C

8．如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．

9、如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC．

10．线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P。

（1）找出图中的几组全等三角形，又有那几种相等的线段？

（2）取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状。

D1A

ADN1PBCQ2E

PBCQM2E

11．把一张等腰直角三角形纸片，如图（1）（2）所示折叠两次，再把纸片展平，如图（3），你能发现什么结论？试根据你的发现编拟一道数学题。

AADFEADFEEC(1)BC(2)BC(3)

B12．在△ABC中∠C=900，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，

使AM⊥MN于M，BN⊥MN于N （1）求证：MN=AM+BN

（2）若过C在△ABC内作直线MN，则MN，AM，BN三者关系如何，并证明之。

全等三角形练习

一、填空题：

1、如图1，若△ABC≌△ADE，∠EAC=350，则∠BAD= 度；

EBCAD图12、如图2，沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=300，则

AN= cm，NM= cm，∠NAM= ；

A DMBNC图2

3、如图3，△ABC≌△AED，∠C=400，∠EAC=300，∠B=300，则∠D= ，∠EAD= ；

4、如图4，△ABC≌△ADE，∠E和∠C是对应角，AB与AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角；

5、已知：如图3，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为；（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为；（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为；

6、如图5，A、E、F、C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？

7、如图6，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由；

AD1B324C

8、如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=BC，你能说明其中的道理吗？

9、如图，AB∥CD，AB=CD,AF=CE，那么BE也与DF平行吗？请说明理由；

AFDECABDCB

技巧平台：证明两个三角形全等时要注意分析一直条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按以下思路进行：

1，已知两边：①找夹角→SAS；②第三边→SSS；③找直角→HL； 2，已知一边一角：①边为角的对边→找任一角→AAS；

②边为角的邻边：ⅰ.找夹角的另一边→SAS； ⅱ.找夹边的另一角→ASA； ⅲ.找边的对角→AAS；

3，已知两角：ⅰ.找夹边→ASA

ⅱ.找任一对边→AAS

证明三角形全等的一般思路

全等三角形具有对应边相等和对应角相等的性质，是证明线段相等或角相等的依据，因此，掌握全等三角形的证明方法特别重要。下面举例介绍证明两个三角形全等的一般思路，供同学们学习时参考。

一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）。例1. 如图1，已知：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，且B、C、D在同一条直线上。

求证：AD＝BE

A E B C D 图1

二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）

例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC＝BD，AM∥CN，BM∥DN。求证：AM＝CN

M N A C B D 图2

三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等（AAS，ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）

例3. 如图3，已知：∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AC交BD于点O。求证：△CAB≌DBA

D C O A B

图3

四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

例4. 如图4，已知AB＝AC，AD＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。求证：AE＝AF

A F E D G B C

图4

五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。求证：∠ADB＝∠CDE

A 2 D F 1 B E C G

全等三角形创新试题赏析

一、条件开放型

图5

例1（深圳市）如图1，已知，在△ABC和△DCB中，AC＝DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是＿＿＿．

图1

图2

D A E

l C

D 图3

F B E

A 例2（长沙市）如图2，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是____ (添加一个条件即可)．二、结论开放型

例3如图3，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

例4如图4，△ABC是格点（横、纵坐标都为整数的点）三角形，请在图中画出与△ABC全等的一个格点三角形．

A B 图4 O C x

y 例5如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA，PD分别交线段BC于点E，F，且PA＝PD．

（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．

例6如图6，已知△ABC为等边三角形，D，E，图F分别在边BC，CA，AB上，且△DEF也是等5 边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．

A E

F B

D 图6

例7一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图7形式，使点B，F，C，D在同一条直线上．

A C E P M N

E A F

图7

D B B

F C

（1）求证：AB⊥ED．

（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．．．说明这是一道操作题，要解决所提出的问题就必须注意在操作过程中的图形变换．

11.3 角的平分线的性质知识点一做已知角的平分线

把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。知识点二角平分线的性质

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。知识点三角的平分线的判

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

角平分线练习一、选择题

1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（）

A. 70° B.120° C.115° D.130°

2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°

3.三角形中，到三边距离相等的点是（）

A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点

4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（）

A. 5cm、cm B. 4cm、5cm

C. 5cm、5cm D. 5cm、10cm

5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（） A.直角三角形的两个锐角互余 B.等腰三角形的两个底角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角

6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）cm A. 2、2、2 B.3、3、3

C. 4、4、4 D. 2、3、5

二、填空题

1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题，它是命题。 2.角平分线可以看作是的点的集合。

3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是 cm。

4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |”的命题是，它是命题。三、简答题

1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，

AD = AC 求证：DC∥AE

2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC，DE⊥AB交AC于E 求证：BE平分∠ABC

3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。

4.已知：如图6，△ABC中，∠A= 90°，AB = AC = BD ED⊥BC 求证：AE = DE =DC

第十一章全等三角形全章检测题

一、选择题（每小题3分，共30分）

O C

B A

D 1.在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）

A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C

2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）

A.线段CD的中点 B.OA与OB的中垂线的交点 C.OA与CD的中垂线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点

3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）

A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC

DCAB

4.如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°， A ∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）

A.150° B.40° C.80° D.90°

F E D B C

5.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）

A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等 6，如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（）

A.∠1＝∠EFD B.BE＝EC C.BF＝DF＝CD D.FD∥BC

1EDCA

7.如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（） 2FB 31 A.25° B.27° C.30° D.45°

ADEBC8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则（）

AA.AF＝2BF B.AF＝BF C.AF＞BF D.AF＜BF

FBDEC9.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）

A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA

BC，BD为折痕，10．将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，则∠CBD的度数为（）

A．60° B．75° C．90° D．95°

A′

E′ C 二、填空题（每小题3分，共24分） E A 11. (08牡丹江)如图，?BAC??ABD，请你添加一个条件： B ，使OC?OD（只添一个即可）．

O A

B C

12.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB.

13.如图，AB＝CD，AD＝BC，O为BD中点，过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若 ∠ADB＝60°，EO＝10，则∠DBC＝，FO＝ .

FDOBCBCFAE

A32

14.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则D到AB边的距离为＿＿＿.

15.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________.

16.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.

17.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠

ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出

正确答案，是______.

DCE

18.如图，AD，A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC，B′C′边上的高，且AB＝A′B′，AD＝A′D′．若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件________.（填写一个你认为适当的条件即可）

A′ A

C′

D′

C B′ B D

三、解答题（第19-25每题8分,第26题10分,共60分）

19.已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.

20. 如图，∠DCE=90o，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.

21.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE＝CG；②在BC上取BD＝CF；③量出DE的长a米，FG的长b米.如果a＝b，则说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗？为什么？

B E D

F G C

22.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.

23.如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.

24.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

AEGFCAFGECDD（1）求证：BG＝CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

GAFEBDC25.（1）如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

C 图1 第十一章 “全等三角形”过关测试题

一：选择题（每小题3分，共3 6分） 1．下列说法错误的是（）

A．全等三角形对应角所对的边是对应边 B．全等三角形两对应边所夹的角是对应角 C．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 D．等边三角形都全等

2.在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）

A. ∠B=∠B/ B. ∠C=∠C/ C. BC=B/C/， D. AC=A/C/， 3.下列各组条件中，不能判定△ABC≌△ABC的一组是（）

A、∠A=∠A,∠B=∠B,AB= AB B、∠A=∠A ，AB= AB，AC=AC C、∠A=∠A ，AB= AB，BC= BC D、AB= AB, AC=AC ,BC= BC

4．如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）

///////////////////////E G A D

图2

A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 5．如图.从下列四个条件：①BC＝B′C， ②AC＝A′C，

③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等。其中能判断两直角三角形全等的是（）

A．① B ② C ③ D ①②

7．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（）

B A．∠C=∠ABC B BA=BG

C．AE=CE D AF=FD

A F E C

8．如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）

A、相等 B、不相等 C、互余 D、互补或相等

9．.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

10．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（） A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5 11．（2004·山东潍坊市）如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）

A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙

D G

12．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：① AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60,⑤△BFG是等边三角形；⑥ FG∥AD。其中正确的有（） EA 3个 B 4个 C 5个 D 6个二：填空题（每小题3分，共12分）

CHFG0

ABD36

13.已知：∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，

（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为________________. （2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为________________. （3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为________________. 14.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有______对. 15．正方形ABCD中,AC、BD交于O,∠EOF＝90o,已知AE＝3,CF＝4, 则S△BEF为＿＿＿.

16．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD的取值范围是三：解答题（共72分）

C D 17．.如图1，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在 A区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你红方的指挥员，请你在图2所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明理由。（6分）

18．如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=BC，你能说明其中的道理吗？（6分）

19．.如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的

DCABA B 距

离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理，（6分）

20．（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（8分）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

D （2）证明：DC⊥BE．

A C 图2

E 37

图1

21．如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C ⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．（8分）已知：求证：证明：

D E C 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE. （8分）

23、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。（8分）

求证：（1）AD=AG，（2）AD与AG的位置关系如何。

BCGFHDEA24．在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. （10分）

⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证: DE＝AD＋BE ⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证: DE＝AD－BE;

⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.

25.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E。（12分）（1）∠AEB是什么角？

（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？

（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由。

第十二章轴对称

12.1 轴对称

知识点一轴对称和轴对称图形

（1）轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。两个图形关于直线对称也称轴对称。折叠后重合的点是对应点，叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。（2）轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。注意：轴对称图形是指“一个图形”，轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换。轴对称和轴对称图形都有对称轴。如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于对称轴对称。

知识点二轴对称和轴对称图形的性质（难点）

轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等。知识点三线段垂直平分线的性质

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。知识点四画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到它们的对称轴。

12.2 作轴对称图形知识点一轴对称变换

（1）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

知识点二用坐标表示轴对称

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。如P（a，b）关于x轴的对称点的坐标为（a，-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）。

第十四章轴对称教学评估试卷

1.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线_______. 2.圆是轴对称图形，它有________条对称轴，其对称轴是_________.

3.△ABC中，AB=AC=14㎝,边AB的中垂线交边AC于D，且△BCD的周长为24㎝，则BC=_________.

4.如图△ABC中，AB=AC,∠BAC=1000,MP、NQ分别垂直平分AB、AC，垂足分别为M、N，则∠PAQ=___________.

5.等腰三角形的周长为30㎝，一边长是12㎝，则另两边的长分别是___________. 6.如图，O是 △ABC内一点，且 OA=OB=OC,若∠OBA=20,∠OCB=30,则∠OAC=_________. 7.如图，已知AB=AC=BC=AD,則∠BDC＝_________.

8.在同一直角坐标系中，A（a+1，8）与B（-5，b-3）关于x轴对称，则a＝___________，b＝___________.

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