北邮版概率论答案(3)

北京邮电大学出版的概率论

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ sinxsiny,0 x ,0 y

F（x，y）= 22

其他. 0,

求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x 【解】如图P{0 X

πππ

, y 内的概率. 463

πππ

, Y 公式(3.2) 463

ππππππF(,) F(,) F(0,) F(0,) 434636

北京邮电大学出版的概率论

sinπ4 sinπ3 sinπ4 sinπ6 sin0 sinπ3 sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae (3x 4y)f（x，y）= ,x 0,y 0,

0,

其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

f(x,y)dxdy

-(3x 4y)0

Aedxdy

A

12

1 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)

y

x

f(u,v)dudv

yy

(3u 4v) 0 012e

dudv

(1 e 3x)(1 e 4y)y 0,x 0,

0,

0,其他

(3) P{0 X 1,0 Y 2}

P{0 X 1,0 Y 2}

1

2

0

12e (3x 4y)dxdy (1 e 3)(1 e 8) 0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

k(6 x y),0 x 2,2 y 4,

0,

其他.

（1） 确定常数k；

（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

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f(x,y)dxdy

2

4

2

k(6 x y)dydx 8k 1,

故 R

1 8

（2） P{X 1,Y 3}

(3) P{X 1.5}

1

3

13

f(x,y)dydx

x 1.5

13k(6 x y)dydx 0 288

f(x,y)dxdy如图a f(x,y)dxdy

D1

1.5

dx

(4) P{X Y 4}

X Y 42

127(6 x y)dy . 2832

f(x,y)dxdy如图b f(x,y)dxdy

4

D2

4 x2

dx

12(6 x y)dy . 83

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

5e 5y,y 0,

fY（y）=

其他. 0,

求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X

}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

1

,0 x 0.2,

fX(x) 0.2

其他. 0,

而

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5e 5y,y 0,

fY(y)

其他. 0,

所以

f(x,y)XY,独立fXx( f)Yy(

) 1 5y

5e

25e 5y,0 x 0.2且y 0, 0.2

0, 0,其他.(2) P(Y X)

f(x,y)dxdy如图y

x

25e 5ydxdy

D

0.2x

-5y

0

dx 25edy 0.2

( 5e 5x0

5)dx

=e-1 0.3679.

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

F（x，y）= (1 e 4x)(1 e 2y),x 0,y 0,

0,

其他.求（X，Y）的联合分布密度.

【解】f(x,y) 2F(x,y) x y

8e (4x 2y),x 0,y 0,

0,

其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

4.8y(2 x),0 x 1,0 y x,

0,其他.求边缘概率密度. 【解】fX(x)

f(x,y)dy

= x

(2 x)dy 2.4204.8y

x(2 x),0 x 1,

0,

0,其他. fY(y)

f(x,y)d

x 1 =

y4.8y(2 x)dx 2.4y(3 4y y2),0 y 1,

0,

0,其他.

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题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（x，y）= e yf,0 x y,

0,

其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)

f(x,y)dy

y x = xedy e,x 0,

0,

0,其他.fY(y)

f(x,y)dx

y

y x = 0edx ye,y 0,

0,

0,其他

.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）= cx2y,x2 y 1,

0,

其他.（1） 试确定常数c；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

f(x,y)dxdy如图 f(x,y)dxdy

D

=

1

-1

dx 1

24

x

2cxydy

21

c 1. 得c

214

. (2) fX(x)

f(x,y)dy

北京邮电大学出版的概率论

121x2x2ydy 21x2(1 x4

), 1 x 1,

4

0, 8

0,其他.fY(y)

f(x,y)dx

x2

ydx 75 y2,0 y 1,

0, 2

0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

1,

y x,0 x 1,

0,

其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）

.

题11图

【解】fX(x)

f(x,y)dy

x

x1dy 2x,0 x 1,

0,

其他. 1 y1dx 1 y, 1 y 0,

ff(x,y)dx Y(y)

1

y1dx 1 y,0 y 1, 0,

其他.

所以

ff(x,y) 1

,|y| x 1,

Y|X(y|x) f 2x

X(x)

0,

其他.

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1

1 y, y x 1,

f(x,y) 1

fX|Y(x|y) , y x 1,

fY(y) 1 y

0,其他.

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大

的号码为Y.

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表

(2) 因P{X 1} P{Y 3}

6161 P{X 1,Y 3}, 101010010

故X与Y不独立

（2） X与Y是否相互独立？

北京邮电大学出版的概率论

(2) 因P{X 2} P{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4), 故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1 e y/2,

fY（y）= 2

0,

y 0, 其他.

（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

y

1 2

1,0 x 1, e,y 1,

【解】（1） 因fX(x) fY(y) 2

0,其他; 0,其他.

1 y/2

e

故f(x,y)X,Y独立fX(x) fY(y) 2

0,

0 x 1,y 0,其他

.

题14图

(2) 方程a 2Xa Y 0有实根的条件是

2

(2X)2 4Y 0

故 X2≥Y，

从而方程有实根的概率为：

P{X2 Y}

x2 y

f(x,y)dxdy

1 y/2edy

002

1 (1) (0)]

0.1445.

dx

1

x2

15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

1000 ,x 1000,

f（x）= x2

其他. 0,

北京邮电大学出版的概率论

求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FX

Z(z) P{Z z} P{

Y

z} (1) 当z≤0时，FZ(z) 0

（2） 当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=

1000

z

）(如图a) F106

Z(z)

x2y2dxdy yz106

103dyz

103x2y2dx y

xz

=

103106 z

103 2 3 z y

zy dy 2

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

FZ(z)

106

zy106

y

x

x2y

2dxdy 103dy 103x2y2dx z

=

103106 1

103 y2 zy3

dy 1 2z

1 1 2z,z 1,即 f z

Z(z) ,

0 z 1,

2 其他 0,

. 1

2z2,z 1, 故 f 1

Z(z) ,0 z 1,

2 其他 0,

.

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180h的概率.

只，

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【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4) 180}Xi之间独立P{X1 180} P{X2 180}

P{X3 180} P{X4 180} [1 P{X ] [1PX1 180}2{

1 80} P][1X { 1 8P0}X][1 {34

4

180}]

180 160

[1 P{X1 180}]4 1 20

[1 (1)]4 (0.158)4 0.00063.

17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

P{Z=i}=

p(k)q(i k)，i=0，1，2，….

k 0

i

【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以 {Z i} {X Y i}

{X 0,Y i} {X 1,Y i 1} {X i,Y 0} 于是

P{Z i} P{X k,Y i k}X,Y相互独立 P{X k} P{Y i k}

k 0i

k 0

ii

p(k)q(i k)

k 0

18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参

数为2n，p的二项分布.

【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

P{X Y k} P{X i,Y k i}

i 0

k

北京邮电大学出版的概率论

P(X i) P{Y k i}

i 0k

k

n n k in k i

piqn i pqi 0 i k i

knn k2n k pq

ik ii 0

2n k2n k

pq k

方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.

(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X 2|Y 2}

P{X 2,Y 2}

P{Y 2}P{X 2,Y 2}

0.051

, 0.252

P{X i,Y 2}

i 0

5

P{Y 3|X 0}

P{Y 3,X 0}

P{X 0}P{X 0,Y 3}

0.011

; 0.033

P{X 0,Y j}

j 0

3

（2）P{V i} P{max(X,Y) i}P{X i,Y i} P{X i,Y i}

P{X i,Y k} P{X k,Y i}, i 0,1,2,3, 4,

k 0

k 0

i 1i

北京邮电大学出版的概率论

所以V的分布律为

(3) P{U i} P{min(X,Y) i}

P{X i,Y i} P{X i,Y i}

P{X i,Y k}

k i

3

k i 1

5

P{X k,Y

i}

i 0,1,2, 3

于是

（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；

（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

1222 2,x y R,

f(x,y) πR

其他. 0,

（1）P{Y 0|Y X}

P{Y 0,Y X}

P{Y X}

y 0y x

π

f(x,y)d f(x,y)d

y x

1

π/402rdr

5

πR1

π4/4d 0πR2rdr

d

R

北京邮电大学出版的概率论

3/83

; 1/24

(2) P{M 0} P{max(X,Y) 0} 1 P{max(X,Y) 0}

1 P{X 0,Y 0} 1

x 0y 0

f(x,y)d 1

13 . 44

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

【解】区域D的面积为 S0

e2

1

1

dx lnxx

e21

2.（X,Y）的联合密度函数为

1 12

,1 x e,0 y ,

f(x,y) 2x

0,其他.

（X，Y）关于X的边缘密度函数为

1 1/x1

dy ,1 x e2, 0

fX(x) 22x

其他. 0,

所以fX(2)

1

. 4

22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和

【解】因P{Y yj} Pj

2

P{X x,Y y},

i

j

i 1

故P{Y y1} P{X x1,Y y1} P{X x2,Y y1}, 从而P{X x1,Y y1}

111 . 6824

北京邮电大学出版的概率论

而X与Y独立，故P{X xi} P{Y yj} P{X xi,Y yi},

11

P{X x1,Y y1} . 624111/ . 即：P{X x1}

2464

从而P{X x1}

又P{X x1} P{X x1,Y y1} P{X x1,Y y2} P{X x1,Y y3},

111 P{X x1,Y y3}, 4248

1. 从而P{X x1,Y y3} 1213

同理P{Y y2} , P{X x2,Y y2}

28

即又

111

P{Y y} 1 . ,故P{Y y} 13 j

623j 1

3

同理P{X x2} 从而

3

. 4

111

P{X x2,Y y3} P{Y y3} P{X x1,Y y3} .

3124

故

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.

mn m

【解】(1) P{Y m|X n} Cm,0 m n,n 0,1,2, . np(1 p)

(2) P{X n,Y m} P{X n} P{Y m|X n}

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Cp(1 p)

mn

mn m

e n

,n m n,n 0,1,2, . n!

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~

2 1

，而Y的概率密度为f(y)，

0.30.7

求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u) P{X Y u} 0.3P{X Y u|X 1} 0.7P{X Y u|X 2}

0.3P{Y u 1|X 1} 0.7P{Y u 2|X 2}

由于X和Y独立，可见

G(u) 0.3P{Y u 1} 0.7P{Y u 2}

0.3F(u 1) 0.7F(u 2).

由此，得U的概率密度为

g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2)

0.3f(u 1) 0.7f(u 2).

25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

1 1 , 0 x 3, , 0 y 3,

f(y) 3 f(x) 3

0, x 0,x 3; 0, y 0,y 3.

因为X，Y相互独立，所以

1

, 0 x 3,0 y 3,

f(x,y) 9

0, x 0,y 0,x 3,y 3.

推得 P{max{X,Y} 1}

26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

1. 9

其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= 0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：

北京邮电大学出版的概率论

（1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由E(X) 0.2，可得

a c 0.1.

再由 P{Y 0X 0}

P{X 0,Y 0}a b 0.1

0.5,

P{X 0}a b 0.5

得 a b 0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a 0.2,b 0.1,c 0.1.

(2) Z的可能取值为 2， 1，0，1，2，

P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.2，

P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.1，

P{Z 0} P{X 1,Y 1} P{X 0,Y 0} P{X 1,Y 1} 0.3，

P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.3，

P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.1，

即Z

(3) P{X Z} P{Y 0} 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4.

27. 设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.

解：因为X,Y独立同分布，所以FX（z）=FY(z),则FZ（z）=P{Z≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{x≤z}·P{Y≤z}=［F（z）］2.

28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为

1

P{X i} ,

3

i 1,0,1,

1,

Y的概率密度为fY(y)

0,

0 y 1,其他.

记Z=X+Y.

北京邮电大学出版的概率论

（1）求P{Z

1

|X 0}; 2

（2）求Z的概率密度fZ(z)

分析 题（1）可用条件概率的公式求解.题（2）可先求Z的分布函数，再求导得密度函数.

1

P{X 0,Z 1 P{Z |X 0} 解(1)

2P{X 0}

1

P{X 0,Y

P{X 0}11

P{Y

22

（2）FZ(z) P{Z z} P{X Y z}

zX 1} P{X Y ,zX 0} P{X Y ,z X P{X Y ,

1} P{Y z,X 0} P{Y z 1,X P{Y z 1,X P{Y P{Y z 1}P{X 1} P{Y z}P{X 0}1

31

z) F(z 1)] [FY(z 1) FY(Y

3

1'

[Yf( z1 )Yf(z )Yf (z 1)] fZ(z) FZ(z)3

[P{Y z 1} P{Y z} P{Y z 1}]

z 1}P{ X

1

,

3

0,

1 z 2

其他.

29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,求在Y=y的条件下,X的条件概率密度fX｜Y(x｜y).

解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)= fX (x) ·FY(y)，由本章所讨论知，fX/Y(x/y)

30.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)fX(x) fY(y)

fX(x).

fY(y)fY(y)

北京邮电大学出版的概率论

2 x y,

f(x,y)

0,

（1）求P{X 2Y};

0 x 1,0 y 1,其他.

（2）求Z=X+Y的概率密度fZ(z).

分析 已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质P{(X,Y)∈

G} f(x,y)dxdy 解（1）； Z=X+Y的概率密度函数可用先求Z的分布函数再求导的

G

方法或直接套公式求解. 解 （1）P{X 2Y}

x 2y

10

f(x,y)dxdy

x

20

dx (2 x y)dy57

(x x2)dx .0824

1

（2）fZ(z)

f(x,z x)dx,

其中 f(x,z x)

2 x (z x) 0 2 z 0

0 x 1,0 z x 1其他

0 x 1,0 z x 1

其他

当z 0或z 2时，fZ(z) 0； 当0 z 1时，fZ(z) 当1 z 2时，fZ(z)

z

01

(2 z)dx z(2 z); (2 z)dx (2 z)2,

z 1

z(2 z)0 z 1

2

1 z 2 即Z的概率密度为fZ(z) (2 z)

0其他

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