海潮及滨海含水层地下水位变化的拟合与预测

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

海潮及滨海含水层地下水位变化的拟合与预测1

周训1，阮传侠1,2，方斌1，欧业成3

1.中国地质大学水资源与环境学院，北京，100083

2.天津地热勘查开发设计院，天津，300250

3.广西北海水文工程矿产地质勘察院，广西北海，536000

摘 要： 海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项，用傅立叶级数拟合其周期项，用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果，结果表明拟合效果好。所建立的数学模型可以用来对海潮和岸边地下水位变化进行预测，预测水位总体上能较好地反映了实测水位的变化特点，适宜于较短时间的预测。 关键词： 滨海含水层，频谱分析，拟合，预测

1引言

地下水位变化的拟合与预测是地下水动态研究的重要内容，许多学者在这方面做了很多研究工作并取得了有意义的结果[1][2][3][4]。受海潮的影响，滨海含水层地下水位的变化比较复杂[5][6]，出现与海潮相似的周期性波动。在以往的大多数研究中由于观测的时间不够长（数天），一般的做法是将海潮简单地处理成具有正弦或余弦变化的波动[7][8][9]。实际上海潮是很复杂的波动，当观测时间足够长时，观测资料显示海潮有大潮和小潮之分，具有以大约15天和1天为周期的波动。因而海潮并不是简单的正弦或余弦函数能够描述的，而是可以表示为若干正弦和余弦函数之和。海岸带观测孔的水位动态观测资料表明，地下水位的变化也与海潮相似，只是水位波动幅度明显小于海潮，且具有一定的滞后现象。在广西北海市滨海含水层潮汐效应研究中，曾于1986年12月15日至1987年1月20日对海潮和观测孔ZK17（距海岸2350 m）、ZK34（距海岸2175 m）和B8-3（距海岸2375 m）进行了37天的水位观测，观测时间间隔为1小时。水位观测期间处于旱季，地下水位不受降雨入渗的影响，也不受人工开采的影响，地下水位除了受海潮影响出现有规律的波动外，还有整体缓慢下降的趋势。本文考虑用趋势项与周期项之和[1]对海潮和观测孔地下水位观测序列进行拟合，在此基础上尝试利用所建立的模型对水位变化进行预测。

2 趋势项函数与周期项函数的确定

广西北海市滨海含水层受海潮影响的地下水位可以表示为：

P(t)=Q(t)+Z(t) (1)

式中：P(t)为水位时间序列；Q(t)为趋势项；Z(t)为周期项。用线性函数拟合观测序列的趋势项，排除趋势项之后的动态序列是不同振幅、相位和频率的简谐波，可以用傅立叶级数拟合。其中海潮没有趋势性变化，只需用傅立叶级数拟合。 2.1 趋势项函数

根据海岸带观测孔ZK17、ZK34和B8-3水位观测资料绘制地下水位变化图，如图1、图2和图3所示。可以看出地下水位有逐渐下降的趋势，这是因为所选择的观测时间为降雨量较少的冬季，滨海含水层地下水位处于整体缓慢下降时期。用线性函数拟合其下降趋势，可以得到各观测孔水位时间序列的趋势项的方程如图1、图2和图3中所列。

1

本文获得教育部博士学科点科学研究基金项目（20020491001）资助。

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

图1 ZK34孔水位变化和趋势线（横轴为累计时间）

Figure 1 Change in the water level and the trending line of the ZK34

图2 B8-3孔水位变化和趋势线（横轴为累计时间）

Figure 2

Change in the water level and the trending line of the B8-3

图3 ZK17孔水位（为实际水位标高加上1 m）变化和趋势线（横轴为累计时间）

Figure 3 Change in the water level and the trending line of the ZK17

2.2 周期项函数

(1) 基本原理

排除趋势项之后的水位历时曲线可分解为不同振幅、相位、频率的简谐波。用傅立叶级数拟合海潮及海岸带地下水位变化的周期项时，可以用频谱分析法确定已知水位曲线所包含的不同频率成分的简谐波，将其叠加合成，构成地下水位变化的数学模型，用该模型对地下水位时间序列进行拟合[10]。

一个简谐振动可用正弦函数表示：

x(t)=A sin(

2π

t+α) (2) T

式中：A为振幅；T为周期；α为相位角；t为时间。式（2）也可以写成

x(t)=A sin(ωt+α) (3)

式中：ω=2π/T为园频率；1/T为基频。

将式(3)进行分解：

x(t)=A sinα cosωt+A cosα sinωt

令a=A sinα，b=A cosα，则有：

x(t)=acosωt+bsinωt

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

显然有A=

a2+b2及α=artga/b。cosωt或sinωt称为基波，而coskωt或sinkωt称为k次谐波。

∞

∞

若有一个函数Z(t)的周期为T，且在T内分段单调，则函数Z(t)可以用傅立叶级数表示：

Z(t)=a0+

∑

akcoskωt+

k=1

∑

bksinkωt (4)

k=1

式中a0、ak 、bk称为傅立叶系数。如果能够确定a0、ak、bk，则式(4)就能确定。

式(4)是由无限个谐波叠加而成，但对地下水位历时曲线来说，其采样样本容量是有限的，用傅立叶级数拟合只能取有限项。

设动态采样值为x(t): x1，x2，x3，......，xn。为了能应用式(4)，将等间距采样时间t1～tn视为0～2π，把时间t转化为1，2，.......，n。用傅立叶级数表示采样值变化，有：

x(i)=a

∧∧

+

∑(a

j=1

k

∧

jcos(2πji/n)+

bj

∧

sin(2πji/n)

式中j通常称为波数。如果一个水位历时曲线z(t)有p个不同周期的函数叠加而成，则z(t)的拟合表达式为[10]

:

z(t)=a0+

∑a

k=1

p

p

cos2πfpt+

∑b

k=1

p

p

sin2πfpt (5)

利用最小二乘法确定其中的傅立叶系数[11]，以Q表示误差平方和：

Q=∑{xi a0+∑apcos2πfpt+∑bpsin2πfpt}2 (6)

i=1

k=1

k=1

npp

(2) 周期函数的确定

对海潮和3个观测孔水位时间序列进行频谱分析(图4)，可以确定功率谱比较大时的频率值fp，当fp的个数确定之后，p值也就能够确定。ZK34、B8-3和ZK17孔各有11个比较大的功率谱，对应的频率即为所求的fp，海潮有7个比较大的功率谱，对应的频率即为所求的fp，见表1。利用MATLAB编程[12][13]求出傅立叶系数a0、ap、bp，见表2，从而确定其周期函数。

图4 海潮与观测孔水位频谱图(横轴为频率，纵轴为功率谱) Figure 4 Spectrum of the tide and water levels at the observation wells 表1 海潮与观测孔水位曲线的频率值

Table 1 Frequency of the tide and groundwater levels at the observation wells

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

观测井

f1f2f3f4f50.0391

f6f7f80.0420.040.04

f9f10f11

ZK34 0.002 0.00290.0068 0.038B8-3 0.001 0.002

0.0029 0.004

0.04 0.0410.043 0.0439 0.08110.041 0.042 0.08010.041 0.042 0.0801

0.00680.03810.03910.042

0.04390.0801

ZK17 0.002 0.00290.0039 0.00680.00980.03810.0391Tide 0.0371 0.03810.0391 0.041

表2 海潮与观测井水位曲线的傅立叶系数

Table 2 Fourier coefficients of the tide and groundwater levels at the observation wells

p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ap

海潮

bp

ap-0.0114 0.0244

0.4096 0.0889 0.1116 1.0396 -0.269 0.1775 -0.353 0.0462

ZK34

bp

ap

B8-3

bp

ap

ZK17

bp

-0.6122 -0.1212 -0.0045 -0.2181 -0.6167 0.2288 -0.1995

0.0106 -0.0344 0.0241 -0.0264 0.0072 -0.0247 0.0224 0.0298 -0.0336 0.0106 0.0095

-0.0176 0.0009 0.0057 0 0.0634 0.0131 -0.0108 -0.0217 -0.0233 -0.0151 -0.0116 0.0530

0.0273 0.0048 -0.0306 0.0246 0.0014 0.0129 0.0162 0.0204 0.0052 -0.0395 -0.0093

-0.0138 0.0264 0.007 -0.0066 0.053 0.0352 0.0002 0.0188 0.0215 -0.0269 0.0022 0.0474

0.0062 -0.003 -0.0169 0.0296 -0.0292 -0.0196 -0.0246 0.0139 0.0387 -0.0275 -0.0169

-0.0062 0.0619 0.0236 -0.0074 0.0047 0.0266 -0.0243 0.0022 0.0738 0.0056

(3) 数学模型的分析与讨论

综合上述趋势项和周期项，可以得到拟合海潮和观测孔水位变化的数学模型。其中拟合海潮曲线的数学模型为：

Z(t)=a0+

∑a

k=1

p

p

cos2πfpt+

∑b

k=1

p

p

sin2πfpt (7)

拟合观测孔ZK34水位变化曲线的数学模型为：

P1(t)= 0.0002t+1.5748+a0+

∑a

k=1p

p

p

cos2πfpt+

∑b

k=1p

p

p

sin2πfpt (8)

拟合观测孔B8-3水位变化曲线的数学模型为：

P2(t)= 0.0002t+2.6069+a0+

∑a

k=1p

p

cos2πfpt+

∑b

k=1p

p

sin2πfpt (9)

拟合观测孔ZK17水位变化曲线的数学模型为：

P3(t)= 0.0002t+3.6142+a0+

∑a

k=1

p

cos2πfpt+

∑b

k=1

p

sin2πfpt （10）

式（7）、（8）、（9）和（10）中的t为观测时间，水位曲线的主要频率fp由表1给出，傅立叶系数a0、ap、

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

bp由表2给出。其中对于海潮，p=1，2，……，7；对于观测孔ZK34、B8-3和ZK17，p=1，2，……，11。即描述海潮周期性变化的傅立叶级数有7项，描述3个观测孔水位周期性变化的傅立叶级数有11项。

误差平方和是实际观测数据与数学模型计算数据之差的平方和（式（6）），利用MATLAB软件进行编程可以出计算海潮和观测孔水位拟合的误差平方和（表3）。误差平方和可用来判断拟合的效果[4]，各观测孔水位的误差平方和很小，说明拟合水位比较接近实际观测水位，表明拟合效果较好（图5），可以用拟合方程对水位变化进行预测。

表3 水位拟合的误差平方和

Table 3 The sum of the square of the abstraction of the observed and computed water levels 观测孔

海潮 ZK34 B8-3 ZK17

误差平方和 0.0234 0.00065

0.0013 0.00012

图5 海潮及海岸带地下水位的拟合与预测（实线为实测水位，点线为计算水位；横坐标为累计时间（h），

纵坐标为水位标高（m））

Figure 5 Fitting and prediction of the tide and groundwater levels near the coast

3 海潮及海岸带地下水位变化的预测

利用上述建立的由趋势项和周期项组成的数学模型（7）、（8）、（9）和（10）对海潮和观测孔地下水位的变化进行预测计算，预测时间海潮约30天、钻孔水位约25天，结果见图5。可以看出，上述数学模型能较好地预测海潮和岸边地下水位的变化。预测水位与实测水位比较接近，变幅的大小与实际变幅极为接近。实际观测水位呈有规律的波动，一天内有峰与谷，一月内大潮与小潮交替出现，预测的水位波动的周期与实测水位波动的周期相似。预测水位曲线不仅能反映水位变化的周期波动，也能反映出水位变化的下降趋势。只有海潮的预测曲线在开始阶段变幅略有偏小，其原因有待分析。

4 结语

海岸带地下水是滨海地区的主要供水水资源，预测滨海含水层地下水位变化对水资源合理开发利用与规划具有重要意义。海潮及受海潮影响的岸边地下水位具有复杂的周期变化，后者在旱季还存在下降趋势。本文采用已有的时间序列建模方法，通过对海潮和岸边观测孔水位时间序列进行趋势性分析和频谱分析，用线性函数描述水位的趋势性变化，用傅立叶级数描述水位的周期性变化，通过对实测水位时间序列的拟合建立了海潮和岸边观测孔水位变化的数学模型，并用来对海潮和地下水位进行

海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

预测，从总体效果上看是可行的。在数学模型中用傅立叶级数描述水位的周期性变化，能够反映水位出现的大潮和小潮的交替变化，而且傅立叶级数的项数并不多（7-11项），用MATLAB软件包可以容易进行计算，而不是象以往的研究中多用简单的正弦或余弦函数来描述海潮的变化。但本文是采用时间序列建模的方法建立描述水位变化的数学模型，用来预测水位变化时一般时间不宜过长。

参考文献

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海潮及受其影响的海岸带地下水位具有复杂的周期性变化和趋势性变化。本文建立趋势项与周期项之和的数学模型来描述水位的实际变化。用线性函数拟合其趋势项,用傅立叶级数拟合其周期项,用频谱分析和最小二乘法确定周期项函数。用实测水位和计算水位的误差平方和检验拟合结果,

Fitting and prediction of the changes in tide and

groundwater levels in coastal aquifers

Zhou Xun1, Ruan Chuanxia1,2, Fang Bin1, Ou Yecheng3,

(1. School of Water Resources and Environment, China University of Geosciences, Beijing 100083, China;

2. Institute of Tianjin Geothermal Investigation Development and Design, Tianjin 300250, China; 3. Beihai Institute of Hydrogeology, Engineering Geology and Mineral Resources in Guangxi, Beihai,

Guangxi 536000, China) Abstract

Complex periodic changes and trending changes can be observed in tide and groundwater levels affected by the tide in coastal aquifers. In this paper, mathematic models including a trending term and a periodic term are developed to describe the changes in the water levels. The trending term can be described by using a linear function, and the periodic term, by a Fourier series. The spectrum analysis method and the minimum square method are used to construct the Fourier series. Fitting is verified with the sum of the square of the abstraction of the observed and computed water levels until satisfactory fitting is obtained. The developed mathematical models can be employed to predict the changes in the tide and groundwater levels in coastal aquifers. The predictive water levels are thought to reflect the characteristics of the observed time series of the tide and groundwater levels near the coastal. The models are suitable in short-time prediction of water levels in the coastal aquifer.

Keywords: Coastal aquifer; spectrum analysis; fitting; prediction

第一作者简介：周训，男，博士，教授，博士生导师，1963年出生，现在中国地质大学（北京）水资源与环境学院从事水文地质、环境地质的教学和科研工作。zhouxun@。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ta81.html