最新高考数学（理科导数在研究函数中的应用）试题及答案(25)

导数在研究函数中的应用

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身 1．[2011·东莞模拟] 当x≠0时，有不等式( )

A．ex<1＋x B．当x>0时，ex<1＋x，当x<0时，ex>1＋x C．ex>1＋x D．当x<0时，ex<1＋x，当x>0时，ex>1＋x 2．[2011·开封模拟] 如图K14－1，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )

图K14－1 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 3．[2011·福建卷] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )

A．2 B．3 C．6 D．9

1－x1?

4．[2011·无锡模拟] 已知a≤＋lnx，x∈??2，2?恒成立，则a的最大值为( ) xA．0 B．1 C．2 D．3 能力提升 5．[2011·郑州模拟] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

7．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，此轮船航行速度为( )

A．20 km/h B．25 km/h C．19 km/h D．18 km/h

2

8．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图K14－2所示，则x21＋x2等于( )

图K14－2 810164A. B. C. D. 9995

119．[2011·辽阳模拟] 函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数

32

a的取值范围是( )

6383A．－

5165168163C．－

51651610．[2011·郑州一中模拟] 称一个函数是“N形函数”当且仅当其满足：(1)定义在R上；(2)存在a

8

①y＝xex；②y＝sinx＋x；③y＝x3－3x＋1；④y＝x4－x3－6x2＋3.

3

21

11．已知函数f(x)＝x＋，h(x)＝x.设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，则F(x)的单调区间

32

是________________．

sinx

12．函数f(x)＝的单调递增区间是________．

2＋cosx

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．

14．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

15．(13分)[2011·台州六校联考] 已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1. (1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)对?x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范围． 难点突破

1

16．(12分)[2011·青岛模拟] 设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．

x

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 参考答案：

【基础热身】

1．C [解析] 设y＝ex－1－x，∴y′＝ex－1，∴x>0时，函数y＝ex－1－x是递增的，x<0时，函数y＝ex－1－x是递减的，∴x＝0时，y有最小值y＝0.

2．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确．

2

3．D [解析] f′(x)＝12x－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值，

∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6， ∵a>0，b>0，

a＋b?2

∴ab≤??2?＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9，故选D.

1－x－x＋x－11x－11?

4．A [解析] 设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝2，当x∈?2?2，1?时，xxxx

1?

f′(x)<0，故函数f(x)在??2，1?上单调递减，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在[1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.

【能力提升】

5．C [解析] 函数图象过原点，则c＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′(±1)＝－1，解得a＝0，b＝－4，因此①正确；对于②，f′(x)＝0在[－2,2]上有两个不相等的实数根，因此错误；又函数为奇函数，根据奇函数性质可知③正确．

6．A [解析] f′(x)＝3x2－3，f(x)极大＝f(－1)＝2＋a，f(x)极小＝f(1)＝－2＋a，函数f(x)有3个不同零点，则2＋a>0，－2＋a<0，因此－2

7．A [解析] 设船速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得33

k＝，∴Q＝x3， 500500

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