高考数学一轮复习 第六篇 数列 第5讲 数列的综合应用教案 理 新人教版

第5讲 数列的综合应用

【2013年高考会这样考】

1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力． 【复习指导】

1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算．

2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．

3．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法．

基础梳理

1．等比数列与等差数列比较表 不同点 (1)强调从第二项起每一相同点 等差数列 项与前项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)强调从第二项起每一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a1，d或a1，q确定 等比数列 项与前项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．

(3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，

应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．

一条主线

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 两个提醒

(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想

(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( )．

A．－4 B．－6 C．－8 D．－10

解析 由题意知：a3＝a1a4.则(a2＋2)＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6. 答案 B

2．(2011·运城模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝( )．

A．7 B．8 C．15 D．16

解析 设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q，即q－4q＋4＝0，∴q1－2＝2.∴S4＝＝15.

1－2答案 C

3．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( )． A．a3＋a9≤b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10

4

2

2

2

2

D．a3＋a9与b4＋b10的大小关系不确定

解析 记等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由数列{bn}为等差数列可知b4＋b10＝2b7，又数列

?1＋q??1＋q?又1＋q＝1＋

{an}是各项均为正数的等比数列，∴a3＋a9＝a3(1＋q)＝a6?3?＝b7?3?，

q3q3?q??q?

6

666

q3≥2(当且仅当q＝1时，等号成立)，∴a3＋a9≥2b7，即a3＋a9≥b4＋b10.

答案 B

4．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )．

A．4 B．2 C．－2 D．－4

解析 由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq，c.由实数a、b、c成等差数列得2b＝a＋c，即2cq＝cq＋c，又等比数列中c≠0，所以2q－q－11

＝0，解一元二次方程得q＝1(舍去，否则三个实数相等)或q＝－，又a＋3b＋c＝a＋3aq2

2

22

a5

＋＝－a＝10，所以a＝－4. q2

答案 D

5．(2012·苏州质检)已知等差数列的公差d＜0，前n项和记为Sn，满足S20＞0，S21＜0，则当n＝________时，Sn达到最大值． 解析 ∵S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＞0，

S21＝21a11＜0，∴a10＞0，a11＜0，

∴n＝10时，Sn最大． 答案 10

考向一 等差数列与等比数列的综合应用

【例1】?在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项an；

(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．

[审题视点] 第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明． (1)解 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，

??a1＋9d＝30，a20＝50，得方程组?

?a1＋19d＝50，???a1＝12，

解得?

?d＝2.?

∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.

2n＋10－10

(2)证明 由(1)，得bn＝2an－10＝2＝2＝4，

2nnbn＋14n＋1∴＝n＝4. bn4

∴{bn}是首项是4，公比q＝4的等比数列．

对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法． 【训练1】 数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)． (1)求{an}的通项公式；

(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15， 又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn. 解 (1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)． 又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1.

故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3(2)设{bn}的公差为d，

由T3＝15，b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，

故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)， 解得d1＝2，d2＝－10.

∵等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0， ∴d＝2，b1＝3，∴Tn＝3n＋

2

n－1

.

nn－

2

×2＝n＋2n.

2

考向二 数列与函数的综合应用

【例2】?(2012·南昌模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N，点(n，Sn)均在函数y＝b＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上． (1)求r的值； (2)当b＝2时，记bn＝

x*

n＋1*

(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn. 4an[审题视点] 第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到an，再利用a1＝S1可求r. 第(2)问错位相减求和．

解 (1)由题意，Sn＝b＋r，当n≥2时，Sn－1＝bnn－1

＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1

·(b－1)，

由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即解得r＝－1.

a2a1bb－b＋r＝b，

(2)由(1)知，n∈N，an＝(b－1)b234n＋1Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，

2

2

2

2

123nn＋1Tn＝3＋4＋…＋n＋1＋n＋2， 22222

*n－1

＝2

n－1

n＋1n＋1

，所以bn＝n－1＝n＋1.

4×22

12111n＋1

两式相减得Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1－n＋2

22222231n＋1

＝－n＋1－n＋2， 422

31n＋13n＋3∴Tn＝－n－n＋1＝－n＋1. 22222

此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有

“函数与方程”“等价转化”等．

13【训练2】 (2011·福建)已知等比数列{an}的公比q＝3，前3项和S3＝.

3(1)求数列{an}的通项公式；

π

(2)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝处取得最大值，且最大值为a3，

6求函数f(x)的解析式．

13a1－3

解 (1)由q＝3，S3＝得

31－31n－1n－2

所以an＝×3＝3.

3(2)由(1)可知an＝3

n－2

3

131＝，解得a1＝. 33

，所以a3＝3.

因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3； π

因为当x＝时f(x)取得最大值，

6

?π

所以sin?2×＋φ

6?

?＝1.

??

π

又0＜φ＜π，故φ＝.

6

π??所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin?2x＋?. 6??

考向三 数列与不等式的综合应用

【例3】?(2011·惠州模拟)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{an}的通项公式；

*

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