南方凤凰台版高考数学大一轮复习第十章解析几何初步第课直线与圆

第59课 直线与圆的综合问题

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1.(必修2P105习题23改编)若方程x+y-2mx+(2m-2)y+2m=0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，则实数m的取值范围为 .

2

2

2

?1??0，?【答案】?2?

122

【解析】将圆的方程化为(x-m)+[y+(m-1)]=1-2m，则1-2m>0，所以m<2.又圆心(m，1-m)在

?m?0，1?1-m?0?0

第一象限，所以?

2.(必修2P115复习题20改编)若集合M={(x，y)|x+y≤4}，N={(x，y)|(x-1)+(y-1)≤r，

2

2

2

2

2

r>0}，当M∩N=N时，实数r的取值范围是 .

【答案】(0，2-2] 【解析】集合M表示以原点为圆心、2为半径的圆面，集合N表示以(1，1)为圆心、r为半径的圆面.因为M∩N=N，所以点集N全部含在M中，作图可知当且仅当圆x+y=4与圆(x-1)+(y-1)=r内切时，r最大，此时r=2-2，所以r∈(0，2-2].

3.(必修2P100习题9改编)已知圆C1：x+y-2x+10y-24=0与圆C2：x+y+ax+by+c=0关于直线x-2

2

2

22

2

2

2

2

y+3=0对称，那么a= ，b= .

【答案】16 -8

4.(必修2P117练习23改编)若直线y=x+b与曲线x=是 . 【答案】{b|-1

1

【解析】利用数形结合的方法，曲线x=1-y2表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线

y=x+b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b=-1时直线y=x+b与曲线x=1-y2有两个1-y22交点及b=-时直线y=x+b与曲线x=相切，

所以实数b的取值范围是{b|-1

1.与圆有关的最值和范围的讨论常用以下方法： (1)结合圆的方程的特点确定几何量之间的大小关系；

(2)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；

(3)利用不等式，若能将问题能转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解.

2.定点问题的求解步骤：

(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量(当涉及到的参变量较多时，也可以选择多个参变量)；

(2)求动直线(曲线)方程：求出值含上述参变量的动直线(曲线)方程，并由其他条件减少参变量的个数，最终使方程中只含一个参变量；

(3)定点：求出定点坐标.不妨设方程中所含参变量为λ，把方程写为形如f(x，y)+λg(x，

?f(x，y)?0，?g(x，y)?0得到定点坐标.

y)=0的形式，然后解关于x，y的方程组?

【要点导学】

要点导学 各个击破

2

最值、范围问题

例1 如图，设圆x+y=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AB长的最小值

为 .

2

2

(例1)

【思维引导】直线与圆中有关长度的问题主要包括弦长、切线长及直线被坐标轴截得的长度等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.

【答案】2

π??0?????2??，连接OD，则OD⊥AB， 【解析】方法一：设切点为D，∠OAB=α

1?π?1cos?tan?-??sin??2?=cos?. 从而得到AD=tan?=sin?，BD=

cos?sin?12π所以线段AB=sin?+cos?=sin?cos?=sin2?(0<α<2)，则线段AB长度的最小值为2. xy方法二：设A(a，0)，B(0，b)，则直线AB：a+b=1，又直线AB与圆相切，故

1d=

2211?11?ab11?2??2?222222222ab=1，即a+b=1，又AB=a+b=(a+b)?ab?=2+b2+a2≥2+2=4，当且仅

当a=b时取等号，所以AB长的最小值为2.

【精要点评】本题方法一在建立函数时，没有选择用点D的坐标建立函数，而是选择∠OAB为自变量来建立函数，这种方法对于二元函数来说，有利于求解.

3

变式1 (20152南京调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x+y-6x+5=0，点A，B

22

????????在圆C上，且AB=23，则|OA+OB|的最大值是 .

【答案】8

?????????????【解析】设弦AB的中点为M，则OA+OB=2OM.

22

又圆C：(x-3)+y=4，AB=23，

从而CM=4-3=1，

?????????????因此|OM|max=3+1=4，所以|OA+OB|max=8.

变式2 若直线ax+by=1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心、OA长为半径的圆的面积

的最小值是 .

【答案】π

1【解析】依题意，由直线ax+by=1过点A(b，a)，得2ab=1?ab=2，从而

OA=a+b≥2ab=1，

2

2

2

22

所以S=π2OA≥π，当且仅当a=b=2时取等号.

定点问题

例2 已知t∈R，圆C：x+y-2tx-2ty+4t-4=0. (1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.

(2)圆C是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由. 【思维引导】根据圆心在直线上，构造关于t的方程，然后求t；对于圆的定点问题，把圆的方程化成关于t的恒等式形式，构造关于x，y的方程，求定点.若有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.

【解答】(1)由原方程配方得(x-t)+(y-t)=t+t-4t+4，其圆心为C(t，t). 依题意知t-t+2=0，所以t=-1或2.

即圆C的方程为x+y+2x-2y-8=0或x+y-4x-8y+4=0.

2

2

2

2

2

2

22

4

2

2

2

2

2

4

(2)整理圆C的方程为(x+y-4)+(-2x+4)t+(-2y)2t=0，

222

令

?x2?y2-4?0，??-2x?4?0，?x?2，??-2y?0???y?0.

所以圆C过定点(2，0).

【精要点评】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.

变式 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+1)+y=1，圆C2：(x-3)+(y-4)=1.设动圆C同时平分圆C1，圆C2的周长.

2

2

2

2

(变式)

(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动.

(2)动圆C是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由. 【解答】(1)设圆心C(x，y)，由题意，得CC1=CC2， 即(x?1)2?y2=(x-3)2?(y-4)2，

化简得x+y-3=0，

即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动. (2)圆C过定点.

设C(m，3-m)，则动圆C的半径为

1?CC12=1?(m?1)2?(3-m)22

. 2

2

2

于是动圆C的方程为(x-m)+(y-3+m)=1+(m+1)+(3-m). 整理，得x+y-6y-2-2m(x-y+1)=0.

2

2

5

(变式)

(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

??y?2x-4，【解答】(1)由?y?x-1，得圆心C为(3，2)，

因为圆C的半径为1，

所以圆C的方程为(x-3)2

+(y-2)2

=1.

由题知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0.

|3k-2?3|所以k2?1=1，所以|3k+1|=k2?1，

3所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-4. 3所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-4x+3，

即y=3或3x+4y-12=0.

(2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上， 所以设圆心C为(a，2a-4)，

则圆C的方程为(x-a)2

+[y-(2a-4)]2

=1. 又因为MA=2MO，所以设点M(x，y)， 则x2?(y-3)2=2x2?y2，整理得

x2+(y+1)2=4，设为圆D.

所以点M应该既在圆C上又在圆D上， 即圆C和圆D有交点. 所以|2-1|≤a2?[(2a-4)-(-1)]2≤|2+1|，

由5a2

-12a+8≥0得a∈R；

11

122

由5a-12a≤0，得0≤a≤5.

12终上所述，实数a的取值范围为[0，5].

1.圆x+y-6x-4y+12=0上一点到直线3x+4y-2=0的距离的最小值为 . 【答案】2

【解析】圆心坐标为(3，2)，半径为1.因为圆心到直线的距离为3，所以圆上的点到直线的最小距离为3-1=2.

2.(20152苏锡常镇、宿迁一调)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x+(y-3)=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是 .

2

2

2

2

?214?，22???3??【答案】

【解析】设∠PCA=θ，所以PQ=22sin θ.

?2?2??0，3??， 又cos θ=AC，AC∈[3，+∞)，所以cos θ∈??2??7?0，，1????222

所以cosθ∈?9?，sinθ=1-cosθ∈?9?，

?7??214?，1?，22?????33????所以sin θ∈，所以PQ∈.

3.已知点P(10，0)，Q为圆x+y=16上一动点，当点Q在圆上运动时，PQ的中点M的轨迹方程是 . 【答案】(x-5)+y=4

【解析】设点M(x，y)为所求轨迹上任意一点，Q(x0，y0).

2

2

2

2

12

10?x0?x?，??2??x?2x-10，?y?0?y0，?0y?2y.?2因为M为PQ的中点，所以?即?0

又因为点Q在圆x+y=16上， 所以(2x-10)+(2y)=16， 故所求的轨迹方程为(x-5)+y=4.

4.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C. (1)求圆C的方程；

(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.

【解答】(1)设所求圆的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x+Dx+F=0，这与x+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b；令x=0，得y+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1， 所以圆C的方程为x+y+2x-(b+1)y+b=0. (2)圆C必过定点(0，1)，(-2，1).

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

?x2?y2?2x-y?0，?x?0，

??1-y?0，y?1或22?理由如下：原方程转化为(x+y+2x-y)+b(1-y)=0，即解得??x?-2，??y?1.

【融会贯通】

融会贯通 能力提升

(20152苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD.

13

(1)若AC=4，求直线CD的方程；

(2)求证：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).

【思维引导】

(1)

(2)方法一：

方法二：

方法三：

【规范解答】(1)因为A(-3，4)，所以OA=(-3)2?42=5. ???????1分

?34??-，?又因为AC=4，所以OC=1，所以C?55???????????????3分

由BD=4，得D(5，0)，??????????????????4分

14

0-455-?所以直线CD的斜率k=??-3?5?1?=-7，???????????????5分

1所以直线CD的方程为y=-7(x-5)，即x+7y-5=0???????????6分

(2)方法一：设C(-3m，4m)(0

因为AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，

所以点D的坐标为(5m+4，0)???????????????8分

又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2

+Dx+Ey+F=0，

??F?0，?9m2?16m2-3mD?4mE?F?0，则有

??(5m?4)2?(5m?4)D?F?0.?????????????????12分

解得D=-(5m+4)，F=0，E=-10m-3，

所以△OCD的外接圆的方程为x2

+y2

-(5m+4)x-(10m+3)y=0，???????14分 整理得x2

+y2

-4x-3y-5m(x+2y)=0.

??x2?y2-4x-3y?0，?x?0，?x?令?x?2y?0，??2，所以?y?0(舍去)或?y?-1.

所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1)??????????16分 方法二：设C(-3m，4m)(0

所以AC=OA-OC=5-5m.

因为AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，

所以点D的坐标为(5m+4，0)????????8分

?3?4因为OC的中点为

??-2m，2m??，直线OC的斜率kOC=-3， 3?所以线段OC的垂直平分线方程为y-2m=4??x?32m??325?，即y=4x+8m. 5m?4又因为线段OD的垂直平分线方程为x=2，

15

3255m?4??y?x?m，x?，????482???x?5m?4，?y?10m?3.??22联立?解得??????????12分

?5m?410m?3?，??22??， 所以△OCD外接圆的圆心为

?5m?4??10m?3??????22????， 则半径r= 从

而

222△OCD

2外接

2圆的

2标准方程为

?5m?4??10m?3??5m?4??10m?3??x-??y-?????2?+?2?=?2?+?2?，????????????????????????????14分

整理得x+y-(5m+4)x-(10m+3)y=0. 即x+y-4x-3y-5m(x+2y)=0.

2

22

2

?x2?y2-4x-3y?0，?x?0，?x?2，???x?2y?0，y?0y?-1. ?令所以?(舍去)或?所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1)????????????16分 方法三：设OC=t(0

?????7分

?34??-t，t?因为A(-3，4)，B(9，0)，所以C?55?，D(t+4，0)，??????8分

又设△OCD的外接圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0，

2

2

则有

?F?0，?224??3??4?3-t?t-tD?tE?F?0，?????5555??????(t?4)2?(t?4)D?F?0，?????????12分

解得

?D?-t-4，?

?E?-2t-3，?F?0，?

2

2

所以△OCD的外接圆的方程为x+y-(t+4)x-(2t+3)y=0????????14分

16

整理得x+y-4x-3y-t(x+2y)=0.

22

?x2?y2-4x-3y?0，?x?0，?x?2，???x?2y?0，y?0y?-1. ?令所以?(舍去)或?所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1)????????16分

【精要点评】在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆的方程形式.解题时要注意运用圆的相关性质及数形结合思想.对于定点问题，要考虑构建恒等式，继而求解方程组.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第117~118页.

【检测与评估】

第59课 直线与圆的综合问题

一、 填空题

22

1.过直线x+y-22=0上点P作圆x+y=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标

是 .

2.过圆x+y-4x+my=0上一点P(1，1)的圆的切线方程为 .

3.若圆x+y-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a-b的取值范围是 .

4.若圆O：x+y=5与圆O1：(x-m)+y=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是 .

5.若过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x+y≤4}分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 .

2

2

2

2

2

2

2

22

2

17

21-x26.(20152盐城三模)动直线y=k(x-)与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当

△AOB的面积取得最大值时，k的值为 .

????????7.已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么PA2PB的最小值

为 .

22

8.已知AC，BD为圆O：x+y=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积

的最大值为 .

二、 解答题

9.已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x+y+2x-4y+1=0的两个交点，且此圆面积有最小值，求此圆的方程.

2

2

3??-3，-??2??且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，求直线l的方程. 10.已知直线l经过点P

11.已知圆C：x+y=9，点A(-5，0)，直线l：x-2y=0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

2

2

PB(2)在直线OA上(O为坐标原点)存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有PA为

一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.

三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)

12.(20142湖北卷)已知直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x+y=1分成长度相等的四段弧，则a+b= .

2

2

2

2

18

y22

13.(20142江西模拟)已知实数x，y满足x+y-4x+1=0，那么x的最大值为 .

【检测与评估答案】

第59课 直线与圆的综合问题

1.(2，2) 【解析】设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则PO=2.22???x?y?4，?x?2，??x?y?22，??y?2. 由? 可得?

2.x-2y+1=0 【解析】由P(1，1)是圆x+y-4x+my=0上一点，得m=2，则圆的方程为(x-2

2

122

2)+(y+1)=5.设切线方程为y-1=k(x-1)，由题意得k?1=5，解得k=2，所以切线方程

2|k?2|为x-2y+1=0.

3.(-∞，4) 【解析】圆x+y-2x+6y+5a=0转化成(x-1)+(y+3)=10-5a，则圆心坐标为(1，-3)，且a<2.由于圆关于直线y=x+2b对称，故b=-2，从而a-b=a+2<4.

4.4 【解析】依题意得OO1=5?20=5，且△OO1A是直角三角形，

2

2

2

2

2?OAAO12?5?251AB1S?OO1A25=222OO1=22OA2AO1，因此AB=OO1==4.

5.x+y-2=0 【解析】当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线方程为x+y-2=0.

19

1132222

6.-3 【解析】因为y=1-x表示半圆x+y=1(y≥0)，而S△AOB=2313sin∠AOB≤2，所12|2k|2以(S△AOB)max=2，此时△AOB为等腰直角三角形，从而点O到AB的距离为2=k?1，解得3k=±3(正值不合题意，舍去).

????????????????????2PO7.-3+2 【解析】设∠APB=2θ，||=x，则PA2PB=|PA|2|PB|2cos

?2?2????21-2??????22222

2θ=|PA|cos 2θ=(|PO|-1)2(1-2sinθ)=(x-1)2?x?=x-2-1+x≥-3+22，当且2422

仅当x=x，即x=2时取等号.

8.5 【解析】设圆心O到AC，BD的距离分别为d1，d2，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩

2224-d14-d2dd2，所以S12形，则有+=3.由平面几何知识知AC=2，BD=2四边形

12222224-d4-ddddd122≤(4-1)+(4-2)=8-(1+2)=5，即四边形ABCD面积的最大ABCD=2AC2BD=2值为5.

?2x?y?4?0，?112??22?-，?x?y?2x-4y?1?0，9. 由?得两交点坐标为A?55?，B(-3，2).所求面积最小的圆就

13??6?4?x????y-?5?+?5?=5. 是以AB为直径的圆，其方程是?

10. ①当直线l的斜率k不存在时，l的方程为x=-3，代入x+y=25，得y1=4，y2=-4，弦长为|y1-2

2

22y2|=8，符合题意. 33②当直线l的斜率k存在时，设其方程为y+2=k(x+3)，即kx-y+3k-2=0. 20

332225-4k?1=3，解得k=-4，此时直线l的方程为y+2=-由已知得弦心距为=3，所以34(x+3)，即3x+4y+15=0. 综上，直线l的方程为x+3=0或3x+4y+15=0.

3k-32|-b|11. (1) 设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0.因为直线与圆相切，所以22?12=3，得

b=±35，所以所求直线方程为y=-2x±35. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t，0)，

PB|t?3|当点P为圆C与x轴的左交点(-3，0)时，PA=2；

PB|t-3||t?3||t-3|当点P为圆C与x轴的右交点(3，0)时，PA=8，依题意，2=8， 9解得t=-5(舍去)或t=-5. ?9?PB-，0??下面证明点B?5?对于圆C上任一点P，都有PA为一常数. 设P(x，y)，则y=9-x，

2

2

9??2x??y??5?PB2?22(x?5)?y2 PA所以=x2?=21881x??9-x2525(x?5)2?y2 1881x??9-x252522=x?10x?25?9-x x2?18(5x?17)925=2(5x?17)=25，

21

PB3从而PA=5为常数. PB222

方法二：假设存在这样的点B(t，0)，使得PA为常数λ，则PB=λPA，所以(x-t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2]，将y2=9-x2代入得x2-2xt+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2)，即

?5λ2?t?0，?2234λ-t-9?0，222?2(5λ+t)x+34λ-t-9=0对x∈[-3，3]恒成立，所以

3?λ?，??5??λ?1，?t?-9??5或?t?-5 (舍去)， 解得??9?PB30??-，所以存在点B?5?对于圆C上任一点P，都有PA为常数5.

12.2 【解析】依题意得，圆心O到两直线l1：y=x+a，l2：y=x+b的距离相等，且每段弧长等于

|a||b|122

圆周的4，即2=2=13sin 45°，得|a|=|b|=1，故a+b=2.

2222

13.3 【解析】x+y-4x+1=0转化为(x-2)+y=3，它是以(2，0)为圆心、3为半径的圆，yy则x表示的是圆上的点与原点连线的斜率，取最大值时与圆相切，故x的最大值为3.

22

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