盐城海园2009中考试题17-等腰三角形与勾股定理试题及答案

2009年中考试题专题之17-等腰三角形与勾股定理试题及答案

一、选择题

1．（2009年山西省）如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°BC＝3,AC＝4,AB的垂直平分

线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A．

3276 B．A

C．

256 D．2

D B E

C

【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质 【答案】B

2．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．26 C．47 D．94

【关键词】勾股定理 【答案】C

3．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将ΔABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A．

1685? B．24? C．

845? D．12?

4．(2009年湖州)如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于（ ）

A．1∶3

A F B．2∶3 C．3∶2 D．3∶3

E B D

C

【关键词】等边三角形的性质，相似的性质

【答案】A

5．（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ） A．AB垂直平分CD C．AB与CD互相垂直平分

CB．CD垂直平分AB D．CD平分∠ACB

AB

【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一．

【答案】A

6．（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A．AB中点 C．AC中点

B．BC中点

D．∠C的平分线与AB的交点

D【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线

【答案】A

7．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )

A．5

21 B．25 C．105+5 D．35

8．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平

行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ A ） A．217 B．25 C．42 D．7

A

C l2

l3

l1

B

∴ AD2+DB2=DE2．

9．（2009白银市）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4， 则⊙O的半径为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】勾股定理 【答案】A

10．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是

A．

12 B．

14 C．

15 D．

110

【关键词】勾股定理 【答案】C

11．（2009白银市）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（ ） A．2

B．3

C．22

D．23

【关键词】勾股定理，四边形的性质 【答案】C

13．（2009年烟台市）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点， 且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则 CD的长为（ ） A．

32231234 B． C． D．

A B

60° P

D C

【关键词】等腰三角形 【答案】B

13． （2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC中，底边BC?a，?A＝36°，?ABC的平分线

交AC于D，?BCD的平分线交BD于E，设k?A．k2a C．A ak25?12，则DE＝（ ▲ ）

B．k3a D．

ak3

E B

D C

【关键词】等腰三角形

【答案】A

14．（2009泰安）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是 （A）2 （B）3 （C）

52 （D）4

【关键词】角平分线、中位线 【答案】B

15．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） A．521 B．25 C．105?5 D．35 【关键词】图形的展开、勾股定理 【答案】B

B 5 C 20 A 10

15

16．（2009恩施市）16．如图6，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（ ） A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】D

17．（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ ） A．217 B．25 C．42 D．7

A

C l2

l3

l1

B

【关键词】直线与直线的距离、勾股定理，解直角三角形

【答案】A

18．．（2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【关键词】等腰三角形

【答案】B

19． （2009年滨州）如图3，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高 AD＝8， 则边BC的长为（ ） A．21 B．15 C．6 【关键词】勾股定理． 【答案】A

A

D B

C

D．以上答案都不对

20．(2009武汉)9．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠ADO+∠DCO的大小是（ ） A．70° B．110° C．140°

B D．150°

O

A C

D

【关键词】等腰三角形 多边形的内角和 【答案】D

提示：∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°。

21．（2009重庆綦江）如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ） ．．．A．(4，0) B．（1．0） C．（-22，0） D．（2，0）

y

y 2 1 -1 0 1 2 3 4 A x

【关键词】直角坐标系，等腰三角形

【答案】B

22．（2009威海）如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（ ） A．20?

B．30?

B C．35?

D．40?

A D

C

【关键词】等腰三角形 【答案】B

23．（2009襄樊市）如图，已知直线AB∥CD，∠DCF?110?，且AE?AF，则∠A等于（ B ）

A．30? B．40? C．50? D．70?

E A F C B

D

解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵AB∥CD，∠DCF?110?，所以?EFB??DCF?110?，∴?AFE?70?，∵AE?AF，∴?E??AFE?70?，∴B。

【关键词】平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理

?A?40?，故选

【答案】B

24．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ） A．30 B．40 C．45 D．36

o

o

o

o

【关键词】等腰三角形 【答案】D

25．(2009年温州)如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分么BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是( ) A．7+5 B．10 C．4+25 D．12 【关键词】等腰三角形“三线合一”的性质 【答案】B

26．(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )

A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张

【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线 【答案】C

27．(2009年云南省)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ） A．13 C．15

B．14 D．16

A D E B C

【关键词】垂直平分线 等腰三角形 【答案】A

（2009呼和浩特）在等腰△ABC中，AB?AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【关键词】等腰三角形 【答案】

二、填空题

1． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm，则其腰上的高为

cm．

【关键词】等腰三角形的性质 【答案】23 2．(2009年泸州)如图1，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为 ． 【关键词】等边三角形． 【答案】

33

3．（2009年泸州）如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝ 4，过直角顶点C作 CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB， 垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，?，这样一直做下去，得到了一组 线段CA1，A1C1，C1A2，?，则CA1＝ ，

C4A5A5C5?

【关键词】勾股定理． 【答案】

12554，．

4．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中AB?4米，?BAC?30°， ?C?90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段 楼梯所铺地毯的长度应为 ．

B

A

30°

C

【关键词】30°所对的直角边等于斜边的一半， 勾股定理．

【答案】（2+23）米．

5． （2009年滨州）已知等腰△ABC的周长 为10，若设腰长为x，则x的取值范围 是 ．

【关键词】等腰三角形． 【答案】2．5＜x＜5．

6． (2009年四川省内江市)已知Rt△ABC的周长是4?43，斜边上的中线长是2，则S△

ABC＝____________

【关键词】边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式． 【答案】8

(2009年黄冈市)11．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____________度．

【关键词】等腰三角形

【答案】70?或20?

7．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

【关键词】勾股定理

【答案】76

8．（2009年湖南长沙）如图，等腰△ABC中，AB?AC，AD是底边上的高，若AB?5cm，BC?6cm，则AD? cm．

A B

D

C

【答案】4

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得：

BD?12BC?12?6?3(cm)，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2?BD2222?AD,

所以，AD?AB?BD?5?3?4(cm)。

22

9． （2009襄樊市）在△ABC中，AB?AC?12cm，BC?6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B?A?C的方向运动．设运动时间为t，那么当t? 秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．

解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P在BA上时，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t＝7；②当点P在AC上时， PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），解得t＝17，故填7或17。 【关键词】等腰三角形的性质 【答案】7或17

10．（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．

【关键词】等腰三角形的性质

【答案】50°

11．（2009年娄底）如图6，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝3cm，PB＝4cm，则BC＝ ．

【关键词】勾股定理、切线的性质 【答案】

125

12．（贵州安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是_____76_____．

13．（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt△ABC中，?ACB?Rt?，AB?4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 ．

C S1 A

关键词】勾股定理，半圆 【答案】2π

14． （2009年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．

AEHS2 B

CBF第12题图【关键词】勾股定理 【答案】

92．

15．（2009年长沙）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，?BOC?44°，则?A的度数为 ．

C A O

B

答案：22°

【关键词】圆、角

16．（2009年长沙）如图，等腰△ABC中，AB?AC，AD是底边上的高，若AB?5cm，BC?6cm，则AD? cm．

A B

D

C

答案：4

【关键词】等腰三角形

17．(2009年湖州)如图，已知在Rt△ABC中，?ACB?Rt?，AB?4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 ．

C S1 A

S2 B

【关键词】勾股定理，圆的面积 【答案】2π

18．（2009临沂）如图，过原点的直线l与反比例函数y??据图象猜想线段MN的长的最小值是___________． l M O x N y 1x的图象交于M，N两点，根

【关键词】反比例函数，勾股定理 【答案】22 19．（2009年漳州）如图，在菱形ABCD中，?A?60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF?2，则菱形ABCD的边长是_____________． 【关键词】三角形中位线定理，等边三角形 【答案】4

20． （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm，则其腰上的高为 cm．

【关键词】等腰三角形的性质 【答案】23 21．（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．

C 乙 ？米 B 甲 A 20米 10米 20米

【关键词】勾股定理 【答案】

22．（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），

则梯子的顶端沿墙面升高了 m．

【关键词】勾股定理 【答案】2(3?2)

23．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm． B 6cm A

1cm 3cm

【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】10，29?16n（或36?64n）

24．（2009年邵阳市）如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）。

22

【关键词】等边三角形；勾股定理 【答案】2π

25．(2009年云南省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点

D，DE∥AC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM． 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．（写出一个即可）

A E M B

D C 【关键词】等腰三角形

【答案】△MBD或△MDE或△EAD

26．（2009辽宁朝阳）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE?AB于点E，DF?AC于点F．若BC?2，则DE?DF?_____________． 【关键词】正三角形与面积 【答案】3 A E B

D

F C

三、解答题

1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB＝DC,AD＝2,BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． （1）证明：ΔBAD≌ΔDCE；

（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值． A D B F C

（第24题）

E

【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】

??CDA??DCE． （1）证明：?AD∥BC，又?四边形ABCD是等腰梯形，??BAD??CDA， ??BAD??DCE． ?AB?DC，AD?CE， ?△BAD≌△DCE．

?四边形ACED是平行四边形， （2）?AD?CE，AD∥BC，?AC∥DE．

?AC?BD，?DE?BD．

由（1）可知，△BAD≌△DCE，?DE?BD． 所以，△BDE是等腰直角三角形，即?E?45°， ?DF?FE?FC?CE．

?四边形ABCD是等腰梯形，而AD?2，BC?4，

?FC?1． ?CE?AD?2 ?DF?3．

．（2009年浙江省绍兴市）如图，在△ABC中，AB?AC，?BAC?40°，分别以

AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使?BAD??CAE?90°．

（1）求?DBC的度数；

（2）求证：BD?CE．

【关键词】等腰三角形的性质

【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，?BAD?90°，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．

(2)AB＝AC,?BAD??CAE?90°,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE． 2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(?8，0)，直线BC经过点B(?8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?，此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q． （1）四边形OABC的形状是 ， 当??90°时，

BPBQ的值是 ；

（2）①如图2，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时，求

BPBQ的值；

②如图3，当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时，求△OPB?的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0??≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使

BP?12BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B? y y Q C? y A? ? Q） B（B A? P C B C P B C A O （图2）

x A

O （图3）

C? x A O （备用图）

x

【关键词】勾股定理

【答案】解：（1）矩形（长方形）； BPBQ?47．

（2）①??POC??B?OA?，?PCO??OA?B??90°， ?△COP∽△A?OB?．

?CPA?B??92OCOA?，即

CP6?68，

72?CP?，BP?BC?CP?．

同理△B?CQ∽△B?C?O， CQC?QB?CB?C?CQ610?68??，即?，

?CQ?3，BQ?BC?CQ?11．

?BPBQ?722．

②在△OCP和△B?A?P中， ??OPC??B?PA?，? ??OCP??A??90°，?OC?B?A?，??△OCP≌△B?A?P(AAS)． ?OP?B?P． 设B?P?x，

222在Rt△OCP中， (8?x)?6?x，解得x?254．

?S△OPB??12?254?6?754．

（3）存在这样的点P和点Q，使BP???32?6，6?，P2?12BQ．

点P的坐标是P1??9??7?6?． ??，?4?对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q画QH⊥OA?于H，连结OQ，则QH?OC??OC，

?S△POQ?12PQ?OC，S△POQ?12OP?QH，

?PQ?OP．

设BP?x，

?BP?12BQ，

?BQ?2x，

① 如图1，当点P在点B左侧时，

OP?PQ?BQ?BP?3x，

在Rt△PCO中，(8?x)2?62?(3x)2，

y B? y B? P B A? Q C H C? B A? P H O C Q C? A

O x 32A x 解得x1?1?326，x2?1?326（不符实际，舍去）．

?PC?BC?BP?9?6，

3??P1??9?2??6，6?．

?②如图2，当点P在点B右侧时，

?OP?PQ?BQ?BP?x，PC?8?x．

222在Rt△PCO中，(8?x)?6?x，解得x?254．

?PC?BC?BP?8?254?74，

?7??P2??，6?．

?4?综上可知，存在点P1??9???32?6，6?，P2?1?7?，使BP?BQ． ?，6??2?4?3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD?BC于点D， 以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求?ABC的面积S；

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】

解：（1）在正△ABC中，AD?4??S?12BC?AD?1232?23，

?4?23?43．

（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．

在△CDF中，??CDE?90°??ADE?30°，

??CFD?180°??C??CDE?180°?60°?30°?90°， ?AC⊥DE．

4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，

AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1?PA?PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB．

（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为

km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、

B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

Y B A P

图（1）

【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】

X P 图（2） B A A? B Q A X O P 图（3）

X

解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,

∴AC＝30

在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40 ∴ BP＝CP2?BC2?402

S1＝402?10

⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40 ∴BA'＝

40?5022?1041

由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝1041 ∴S1﹥S2

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小

（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, A'B'＝1002?502?505

∴所求四边形的周长为50?505

YBB'QPAX

A'以下是湖北孔小朋的分类：

5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上，且OB＝4．

（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形；

（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）．

图14

【关键词】平面直角坐标系；旋转 【答案】本小题满分8分

解：（1）画图正确（如图）；

（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：

90360π?4?4π．

2

6．（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．

【关键词】等腰三角形的性质与判定 【答案】OE⊥AB． 证明：在△BAC和△ABD中，

AC＝BD， ∠BAC＝∠ABD， AB＝BA．

∴△BAC≌△ABD．

∴∠OBA＝∠OAB,

∴OA＝OB． 又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．

7．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1） 求证：BE＝AD；

（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线； （3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

（4）

【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC， ∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余， ∴∠1＝∠2

∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC ∴△BAD≌△CBE ∴AD＝BE

（2）∵E是AB中点， ∴EB＝EA

由（1）AD＝BE得：AE＝AD ∵AD∥BC

∴∠7＝∠ACB＝45°

∵∠6＝45° ∴∠6＝∠7

由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。 即，AC是线段ED的垂直平分线。

（3）△DBC是等腰三角（CD＝BD） 理由如下：

由（2）得：CD＝CE 由（1）得：CE＝BD ∴CD＝BD

∴△DBC是等腰三角形。

8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．

b

c

b

c

a c

b

a

c

c

b

c

a

a

【关键词】勾股定理的验证 【答案】方法一解：（1）如图

a

c c

c

a

b

a

c

b

b

a

b

c b

a （2）证明：?大正方形的面积表示为(a?b)2,大正方形的面积也可表示为

c?4?212ab,?(a?b)?c?4?2212ab，a?b?2ab?c?2ab，?a?b?c．即

222222直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图

（2）证明：?大正方形的面积表示为：c12ab?4?(b?a),

22222，又可以表示为：

22?c?212ab?4?(b?a)2，c?2ab?b?2ab?a2，

?c?a?b．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

【关键词】勾股定理的应用

【答案】在Rt△ABC中，?ACB?90°，AC?8，BC?6由勾股定理有：AB?10，扩

充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB?AD?10时，可求CD?CB?6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB?BD?10时，可求

AD?45,得△ABD的周长为20?45m．CD?4,由勾股定理得：③如图3，当AB为

??底时，设AD?BD?x，则CD?x?6，由勾股定理得：x?A A

253,得△ABD的周长为

A 803 m．D

B C 图1

D

C 图2

B D

C 图3

B

10．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：

（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2?DB2?DE2．

【关键词】全等三角形的判定、勾股定理

【答案】27．证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，

∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE．

即 ?BCD??ACE

∵ BC?AC,DC?EC，

∴ △ACE≌△BCD

（2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?．

∵ △ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?． ∴ AD2?AE2?DE2． 由（1）知AE＝DB

，

11．（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE． （1）求证：DA⊥AE；

（2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．

【关键词】等腰三角形、矩形

B D C

【答案】解：（1）证明：

??BAC?2?1?AE平分?BAF??BAE＝?BAF?2? ? ?BAC??BAF?180???AD平分?BAC??BAD＝??BAD??BAE＝12(?BAC??BAF)?12?180??90?1E

A

F

??DAE?90??DA?AE（2）AB＝DE，理由是：

????AD?BC??ADB?90??AD平分?BAC??? ??四边形AEBD是矩形?AB?DE? BE?AE??AEB?90?? ?DAE?90???AB?AC

12．（山东省临沂市）

如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

?北

东

D

C

l

A B

解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形． ?AO?2，BO?22．

2?22?32（km）．

?A，B两村的距离为AB?AO?BO?方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2．

在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．

?AB?3?3?32（km）

22?A，B两村的距离为32km．

A C

O P

N D

l

M

B

12（2）作图正确，痕迹清晰．

作法：①分别以点A，B为圆心，以大于半径作弧，两弧交于两点M，N， 作直线MN；

②直线MN交l于点P，点P即为所求． （7分

13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即

503AB的长为

米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点

A．在如图8所示的直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北

偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段．

(1)求点B和点C的坐标；

(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：3?1.7)

(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

解：在RtΔAOB中，OA＝100,∠BAO＝60° 所以OB＝OA·tan∠BAO＝1003． RtΔAOC中,∠CAO＝45° 所以OC＝OA＝100,

所以B(-1003,0),C（100，0）

1003?10015（2）BC＝BO+CO＝1003+100,?503?18

18>,

所以这辆车超速了。

（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶 了2x米，且两车的距离为

y?(100?x)?(100?2x)＝5(x?60)?2000

222当x＝60时，y有最小值是2000?205米， 答：两四相距的最近距离为205米．

14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论） A

19题图

B

已知： 求作：

【关键词】等边三角形, 尺规作图

【答案】

解：已知：线段AB． 求作：等边△ABC．

作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC、BC各1分）

C A

B

15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE?AC． （1）求证：BG?FG；

（2）若AD?DC?2，求AB的长． A F B E

【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法 【答案】（1）证明：??ABC?90°，DE⊥AC于点F， ??ABC??AFE．

?AC?AE，?EAF??CAB， ?△ABC≌△AFE ?AB?AF．

D G

C

连接AG，

AG＝AG,AB＝AF，

?Rt△ABG≌Rt△AFG． ?BG?FG．

（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，

?AF?12AC?12AE．

??E?30°．

??FAD??E?30°，

?AF?3．

3．

?AB?AF?A B E D F G

C

16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两

点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径． 【关键词】垂径定理、勾股定理

【答案】

解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，

则有AC＝BC． yO1O 图2 由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2． 在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为5， ∴O1C＝5．

∴⊙O1的半径O1A＝O1C2?AC2?(5)2?22＝3．

17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2?DB2?DE2． 【关键词】全等三角形、勾股定理

A OACB xB

【答案】证明:（1） ∵ ?ACB??ECD，

∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE． 即 ?BCD??ACE．

∵ BC?AC,DC?EC， ∴ △ACE≌△BCD．

（2）∵ ?ACB是等腰直角三角形， ∴ ?B??BAC?45?．

∵ △

ACE≌△BCD， ∴ ?B??CAE?45?． ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?． ∴ AD2?AE2?DE2． 由（1）知AE＝DB，

∴ AD2+DB2=DE2．

18．（2009年莆田）已知：等边△ABC的边长为a． 探究（1）：如图１，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成

△MNG，求证：△MNG是等边三角形且．MN?3a；

探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD?AB、OE?BC、OF?CA，垂足分别为点D、E、F．

①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD?OE?OF?2．AD?BE?CF?32a；

32a；结论

2是否仍然成立？如果成立，②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、请给予证明；如果不成立，请说明理由．

M A

D G

B

C （图1）

B A O E （图2）

F C B D A F O E （图3）

C B D A F O E （图4）

C N

【关键词】等边三角形

证明：如图1，?△ABC为等边三角形 ??ABC?60°

?BC?MN，BA?MG

∴?CBM??BAM?90°

??ABM?90°-?ABC?30?

M A

G

B

C （图1）

??M?90?-?ABM?60?N

同理：?N??G?60?

?△MNG为等边三角形．

在Rt△ABM中，BM?ABsinMBC?asin60?a?23333a

在Rt△BCN中，BN?tanN?tan60??a

?MN?BM?BN?3a

（2）②：结论1成立．

A D

O F C 证明；方法一：如图2，连接AO、BO、CO

12a?OD?OE?OF?

B E H （图2）

由S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC＝作AH?BC，垂足为H，

则AH?ACsin?ACB?a?sin60??32a

?S△ABC?12BC·AH?12a·32a

?12a?OD?OE?OF??12a·32a

?OD?OE?OF?32a

方法二：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点 H作HM⊥BC于点M，

??DGO??B?60°，?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH ?OE⊥BC ?OE∥HM

?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE

·sin?DGO?OG·sin60??在Rt△ODG中，OD?OG32OG

A

D G B

F H M C

32OH

O E

在Rt△OFH中，OF?OH·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△HMC中，HM?HC·sinC?HC·sin60??32HC

?OD?OE?OF?OD?HM?OF?3232OG?32HC?3232OH

?M ?GH?HC??AC?32 aA D F?

F O E

E?

D? B C G

N

（2）②:结论2成立．

证明：方法一：如图４，过顶点A、B、C依次作边AB、BC、CA的垂线围成△MNG，由（1）得△MNG为等边三角形且MN?3a

过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?，OF??MG于点F? 由结论1得：

OD??OE??OF????MN?32?3a?32a

又?OD?AB，AB?MG，OF??MG

??ADO??DAF???OF?A?90?

?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD

同理：OD??BE，OE??CF

?AD?BE?CF?OD??OE??OF??32a

方法二：（同结论1方法二的辅助线）

A

D G B F H O

E M C （图3） 在Rt△OFH中，FH?OFtan?OHF?33OF

在Rt△HMC中，HC?HMsinC?23333OE

?CF?HC?FH?233OE?OF

同理：AD?233OF?33OD，BE?233OD?33OE

?AD?BE?CF

＝

233OF?33OD?233OD?33OE?233OE?33OF

＝3?OD?OE?OF?

32由结论1得：OD?OE?OF?a

A D

O B E

（图5）

C

?AD?BE?CF?3?32a?32a

F

方法三：如图5，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得： BE?OE?OB?BD?OD① CF?OF?OC?CE?OE② AD?OD?AO?AF?OF③

222222222222222①+②+③得：

222222BE?CF?AD?BD?CE?AF

?BE?CF?AD??a?AD???a?BE???a?CF?

222222222222?a?2AD?a?AD?a?2BE?a?BE?a?2CF?a?CF

整理得：2a?AD?BE?CF??3a

2?AD?BE?CF?32a 12分

20．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；

（2）若

P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

C E A

P

B

【关键词】圆的性质，三角形相似的性质

【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上， ??ACB?90°． 在Rt△ABC中，AC?AB?BC22?10?6?8

22（2）?PE⊥AB，

??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB． 又??PAE??CAB， ?△AEP∽△ABC，

?PEBC?APAC 12

154?PE610??3088??PE?．

19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l∶y＝?2x?8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P?0，k?是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．

（1）连结PA，若PA?PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ l A y O P B l x A y O x （备用图）

【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】 l A y O P B P2 第（2）题 第（1）题

解：（1）⊙P与x轴相切．

l x A C E y O P1 D B x

0?，与y轴交于B?0，-8?， 直线y??2x?8与x轴交于A??4，?OA?4，OB?8，

?PB?PA?8?k． 由题意，OP??k，2?k??3， 在Rt△AOP中，k?4??8?k?，22?OP等于⊙P的半径，?⊙P与x轴相切．

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD．

当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E．

?△PCD为正三角形，?DE?12CD?32，PD?3，?PE?332．

??AOB??PEB?90°，?ABO??PBE，?△AOB∽△PEB，

33?AOAB?PEPB，即445?3152，， ?PB?PB2?PO?BO?BP?8?3152?315?，?P?0，?8?，

??2???k?3152?8．

??315当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得P?0，-?8?，

??2???k??3152?8，

? 当k?3152?8或k??3152?8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点

的三角形是正三角形．

20．(2009年湖州)若P为△ABC所在平面上一点，且?APB??BPC??CPA?120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且?ABC?60°，PA?3，PC?4，则PB的值为________；

（2）如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′． 求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA?PB?PC． A B?

B

C

【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 【答案】（1）23． （2）

A E P B

C

B?

证明：在BB?上取点P，使?BPC?120°， 连结AP，再在PB?上截取PE?PC，连结CE．

??BPC?120°， ??EPC?60°， ?△PCE为正三角形，

?PC?CE，?PCE?60°，?CEB?＝120°， ?△ACB?为正三角形， ?AC?B?C，?ACB?＝60°，

??PCA??ACE??ACE??ECB?＝60°， ??PCA??ECB?′， ?△ACP≌△B?CE．

??APC??B?CE?120°，PA?EB?， ??APB??APC??BPC?120°， ?P为△ABC的费马点，

?BB?过△ABC的费马点P，且BB?＝EB?+PB?PE?PA?PB?PC．

21．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’ (1)当BD＝3时，求线段DE的长；

(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5， ∵DB为直径，

∴∠DEB＝∠C＝90°，

又∵∠B＝∠B ，∴△DBE∽△ABC ∴

DEAC?95BDAB 即

DE3?35

∴DE＝。

（2）解法一：连结OE，

∵EF为半圆O的切线， ∴∠DEO+∠DEF＝90°， ∵∠AEF+∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A＝∠EDB，

又∵∠EDO＝∠DEO， ∴∠AEF＝∠A， ∴△FAE是等腰三角形。 解法二：连结OE，

∵EF为半圆O的切线， ∴∠AEF+∠OEB＝90°，

∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵OE＝OB

∴∠OEB＝∠B， ∴∠AEF＝∠A

∴△FAE是等腰三角形。

22．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45?方向上． （1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

北

东

D C

l

A B

【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图

【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45°． ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形． ?AO?2，BO?22．

2?22?32（km）．

?A，B两村的距离为AB?AO?BO?方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E． 易证四边形CDBE是矩形， ?CE?BD?2

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