盐城海园2009中考试题17-等腰三角形与勾股定理试题及答案
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2009年中考试题专题之17-等腰三角形与勾股定理试题及答案
一、选择题
1.(2009年山西省)如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°BC=3,AC=4,AB的垂直平分
线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为( ) A.
3276 B.A
C.
256 D.2
D B E
C
【关键词】相似三角形判定和性质;勾股定理;线段和角的概念、性质 【答案】B
2.(2009年达州)图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都
是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是
A.13 B.26 C.47 D.94
【关键词】勾股定理 【答案】C
3.(2009年湖北十堰市)如图,已知RtΔABC中,∠ACB=90°,AC= 4,BC=3,以AB边所在的直线为轴,将ΔABC旋转一周,则所得几何体的表面积是( ). A.
1685? B.24? C.
845? D.12?
4.(2009年湖州)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于( )
A.1∶3
A F B.2∶3 C.3∶2 D.3∶3
E B D
C
【关键词】等边三角形的性质,相似的性质
【答案】A
5.(2009年广西钦州)如图,AC=AD,BC=BD,则有( ) A.AB垂直平分CD C.AB与CD互相垂直平分
CB.CD垂直平分AB D.CD平分∠ACB
AB
【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一.
【答案】A
6.(2009年衡阳市)如图2所示,A、B、C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个 文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P 的位置应在( ) A.AB中点 C.AC中点
B.BC中点
D.∠C的平分线与AB的交点
D【关键词】勾股定理的逆定理,三角形中垂线
【答案】A
7.(湖北省恩施市)如图3,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( )
A.5
21 B.25 C.105+5 D.35
8.(浙江省丽江市)如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平
行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2 , l2,l3之间的距离为3 ,则AC的长是( A ) A.217 B.25 C.42 D.7
A
C l2
l3
l1
B
∴ AD2+DB2=DE2.
9.(2009白银市)如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4, 则⊙O的半径为( )
A.5 B.4 C.3 D.2 【关键词】勾股定理 【答案】A
10.(2009年济宁市)“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上), 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率是
A.
12 B.
14 C.
15 D.
110
【关键词】勾股定理 【答案】C
11.(2009白银市)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( ) A.2
B.3
C.22
D.23
【关键词】勾股定理,四边形的性质 【答案】C
13.(2009年烟台市)如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点, 且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则 CD的长为( ) A.
32231234 B. C. D.
A B
60° P
D C
【关键词】等腰三角形 【答案】B
13. (2009年嘉兴市)如图,等腰△ABC中,底边BC?a,?A=36°,?ABC的平分线
交AC于D,?BCD的平分线交BD于E,设k?A.k2a C.A ak25?12,则DE=( ▲ )
B.k3a D.
ak3
E B
D C
【关键词】等腰三角形
【答案】A
14.(2009泰安)如图,△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若BC=6,则DF的长是 (A)2 (B)3 (C)
52 (D)4
【关键词】角平分线、中位线 【答案】B
15.(2009恩施市)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( ) A.521 B.25 C.105?5 D.35 【关键词】图形的展开、勾股定理 【答案】B
B 5 C 20 A 10
15
16.(2009恩施市)16.如图6,⊙O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是( ) A.23cm B.32cm C.42cm D.43cm 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】D
17.(2009丽水市)如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2 , l2,l3之间的距离为3 ,则AC的长是( ) A.217 B.25 C.42 D.7
A
C l2
l3
l1
B
【关键词】直线与直线的距离、勾股定理,解直角三角形
【答案】A
18..(2009年宁波市)等腰直角三角形的一个底角的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【关键词】等腰三角形
【答案】B
19. (2009年滨州)如图3,已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高 AD=8, 则边BC的长为( ) A.21 B.15 C.6 【关键词】勾股定理. 【答案】A
A
D B
C
D.以上答案都不对
20.(2009武汉)9.如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠ADO+∠DCO的大小是( ) A.70° B.110° C.140°
B D.150°
O
A C
D
【关键词】等腰三角形 多边形的内角和 【答案】D
提示:∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°。
21.(2009重庆綦江)如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是( ) ...A.(4,0) B.(1.0) C.(-22,0) D.(2,0)
y
y 2 1 -1 0 1 2 3 4 A x
【关键词】直角坐标系,等腰三角形
【答案】B
22.(2009威海)如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是( ) A.20?
B.30?
B C.35?
D.40?
A D
C
【关键词】等腰三角形 【答案】B
23.(2009襄樊市)如图,已知直线AB∥CD,∠DCF?110?,且AE?AF,则∠A等于( B )
A.30? B.40? C.50? D.70?
E A F C B
D
解析:本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识,∵AB∥CD,∠DCF?110?,所以?EFB??DCF?110?,∴?AFE?70?,∵AE?AF,∴?E??AFE?70?,∴B。
【关键词】平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
?A?40?,故选
【答案】B
24.(2009年贵州黔东南州)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于( ) A.30 B.40 C.45 D.36
o
o
o
o
【关键词】等腰三角形 【答案】D
25.(2009年温州)如图,△ABC中,AB=AC=6,BC=8,AE平分么BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连结DE,则△BDE的周长是( ) A.7+5 B.10 C.4+25 D.12 【关键词】等腰三角形“三线合一”的性质 【答案】B
26.(2009年温州)一张等腰三角形纸片,底边长l5cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )
A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张
【关键词】等腰三角形性质,三角形相似的性质,梯形中位线 【答案】C
27.(2009年云南省)如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC = 5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为( ) A.13 C.15
B.14 D.16
A D E B C
【关键词】垂直平分线 等腰三角形 【答案】A
(2009呼和浩特)在等腰△ABC中,AB?AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( ) A.7 B.11 C.7或11 D.7或10 【关键词】等腰三角形 【答案】
二、填空题
1. (2009年重庆市江津区)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o,腰长为4 cm,则其腰上的高为
cm.
【关键词】等腰三角形的性质 【答案】23 2.(2009年泸州)如图1,在边长为1的等边△ABC中,中线AD与中线BE相交于点O,则OA长度为 . 【关键词】等边三角形. 【答案】
33
3.(2009年泸州)如图2,已知Rt△ABC中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C作 CA1⊥AB,垂足为A1,再过A1作A1C1⊥BC,垂足为C1,过C1作C1A2⊥AB, 垂足为A2,再过A2作A2C2⊥BC,垂足为C2,?,这样一直做下去,得到了一组 线段CA1,A1C1,C1A2,?,则CA1= ,
C4A5A5C5?
【关键词】勾股定理. 【答案】
12554,.
4.(2009年滨州)某楼梯的侧面视图如图4所示,其中AB?4米,?BAC?30°, ?C?90°,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段 楼梯所铺地毯的长度应为 .
B
A
30°
C
【关键词】30°所对的直角边等于斜边的一半, 勾股定理.
【答案】(2+23)米.
5. (2009年滨州)已知等腰△ABC的周长 为10,若设腰长为x,则x的取值范围 是 .
【关键词】等腰三角形. 【答案】2.5<x<5.
6. (2009年四川省内江市)已知Rt△ABC的周长是4?43,斜边上的中线长是2,则S△
ABC=____________
【关键词】边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,完全平方公式. 【答案】8
(2009年黄冈市)11.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°,则∠B等于_____________度.
【关键词】等腰三角形
【答案】70?或20?
7.(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=6,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是______________。
【关键词】勾股定理
【答案】76
8.(2009年湖南长沙)如图,等腰△ABC中,AB?AC,AD是底边上的高,若AB?5cm,BC?6cm,则AD? cm.
A B
D
C
【答案】4
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可得:
BD?12BC?12?6?3(cm),在直角三角形ABD中,由勾股定理得:AB2?BD2222?AD,
所以,AD?AB?BD?5?3?4(cm)。
22
9. (2009襄樊市)在△ABC中,AB?AC?12cm,BC?6cm,D为BC的中点,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿B?A?C的方向运动.设运动时间为t,那么当t? 秒时,过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的2倍.
解析:本题考查等腰三角形中的动点问题,两种情况,①当点P在BA上时,BP=t,AP=12-t,2(t+3)=12-t+12+3,解得t=7;②当点P在AC上时, PC=24-t,t+3=2(24-t+3),解得t=17,故填7或17。 【关键词】等腰三角形的性质 【答案】7或17
10.(2009年浙江省绍兴市)如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°,那么在大量角器上对应的度数为__________°(只需写出0°~90°的角度).
【关键词】等腰三角形的性质
【答案】50°
11.(2009年娄底)如图6,已知AB是⊙O的直径,PB是⊙O的切线,PA交⊙O于C,AB=3cm,PB=4cm,则BC= .
【关键词】勾股定理、切线的性质 【答案】
125
12.(贵州安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车外围周长(图乙中的实线)是_____76_____.
13.(2009年浙江省湖州市)如图,已知在Rt△ABC中,?ACB?Rt?,AB?4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 .
C S1 A
关键词】勾股定理,半圆 【答案】2π
14. (2009年宜宾)已知:如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为 .
AEHS2 B
CBF第12题图【关键词】勾股定理 【答案】
92.
15.(2009年长沙)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,?BOC?44°,则?A的度数为 .
C A O
B
答案:22°
【关键词】圆、角
16.(2009年长沙)如图,等腰△ABC中,AB?AC,AD是底边上的高,若AB?5cm,BC?6cm,则AD? cm.
A B
D
C
答案:4
【关键词】等腰三角形
17.(2009年湖州)如图,已知在Rt△ABC中,?ACB?Rt?,AB?4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 .
C S1 A
S2 B
【关键词】勾股定理,圆的面积 【答案】2π
18.(2009临沂)如图,过原点的直线l与反比例函数y??据图象猜想线段MN的长的最小值是___________. l M O x N y 1x的图象交于M,N两点,根
【关键词】反比例函数,勾股定理 【答案】22 19.(2009年漳州)如图,在菱形ABCD中,?A?60°,E、F分别是AB、AD的中点,若EF?2,则菱形ABCD的边长是_____________. 【关键词】三角形中位线定理,等边三角形 【答案】4
20. (2009年重庆市江津区)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o,腰长为4 cm,则其腰上的高为 cm.
【关键词】等腰三角形的性质 【答案】23 21.(2009年)如图,甲、乙两楼相距20米,甲楼高20米,小明站在距甲楼10米的A处目测得点A 与甲、乙楼顶B、C刚好在同一直线上,若小明的身高忽略不计,则乙楼的高度是 米.
C 乙 ?米 B 甲 A 20米 10米 20米
【关键词】勾股定理 【答案】
22.(2009年安徽)13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),
则梯子的顶端沿墙面升高了 m.
【关键词】勾股定理 【答案】2(3?2)
23.(2009年山东青岛市)如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm. B 6cm A
1cm 3cm
【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】10,29?16n(或36?64n)
24.(2009年邵阳市)如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形,边长为2,则这外圆锥的侧面积为______(结果保留π)。
22
【关键词】等边三角形;勾股定理 【答案】2π
25.(2009年云南省)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点
D,DE∥AC,DE交AB于点E ,M为BE的中点,连结DM. 在不添加任何辅助线和字母的情况下,图中的等腰三角形是 .(写出一个即可)
A E M B
D C 【关键词】等腰三角形
【答案】△MBD或△MDE或△EAD
26.(2009辽宁朝阳)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE?AB于点E,DF?AC于点F.若BC?2,则DE?DF?_____________. 【关键词】正三角形与面积 【答案】3 A E B
D
F C
三、解答题
1.(2009年崇左)如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD//BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD. (1)证明:ΔBAD≌ΔDCE;
(2)如果AC⊥BD,求等腰梯形ABCD的高DF的值. A D B F C
(第24题)
E
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】
??CDA??DCE. (1)证明:?AD∥BC,又?四边形ABCD是等腰梯形,??BAD??CDA, ??BAD??DCE. ?AB?DC,AD?CE, ?△BAD≌△DCE.
?四边形ACED是平行四边形, (2)?AD?CE,AD∥BC,?AC∥DE.
?AC?BD,?DE?BD.
由(1)可知,△BAD≌△DCE,?DE?BD. 所以,△BDE是等腰直角三角形,即?E?45°, ?DF?FE?FC?CE.
?四边形ABCD是等腰梯形,而AD?2,BC?4,
?FC?1. ?CE?AD?2 ?DF?3.
.(2009年浙江省绍兴市)如图,在△ABC中,AB?AC,?BAC?40°,分别以
AB,AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使?BAD??CAE?90°.
(1)求?DBC的度数;
(2)求证:BD?CE.
【关键词】等腰三角形的性质
【答案】(1)ΔABD是等腰直角三角形,?BAD?90°,所以∠ABD=45°,AB=AC,所以∠ABC=70°,所以∠CBD=70°+45°=115°.
(2)AB=AC,?BAD??CAE?90°,AD=AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD=CE. 2.(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(?8,0),直线BC经过点B(?8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转?度得到四边形OA?B?C?,此时直线OA?、直线B?C?分别与直线BC相交于点P、Q. (1)四边形OABC的形状是 , 当??90°时,
BPBQ的值是 ;
(2)①如图2,当四边形OA?B?C?的顶点B?落在y轴正半轴时,求
BPBQ的值;
②如图3,当四边形OA?B?C?的顶点B?落在直线BC上时,求△OPB?的面积.
(3)在四边形OABC旋转过程中,当0??≤180°时,是否存在这样的点P和点Q,使
BP?12BQ?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
B? y y Q C? y A? ? Q) B(B A? P C B C P B C A O (图2)
x A
O (图3)
C? x A O (备用图)
x
【关键词】勾股定理
【答案】解:(1)矩形(长方形); BPBQ?47.
(2)①??POC??B?OA?,?PCO??OA?B??90°, ?△COP∽△A?OB?.
?CPA?B??92OCOA?,即
CP6?68,
72?CP?,BP?BC?CP?.
同理△B?CQ∽△B?C?O, CQC?QB?CB?C?CQ610?68??,即?,
?CQ?3,BQ?BC?CQ?11.
?BPBQ?722.
②在△OCP和△B?A?P中, ??OPC??B?PA?,? ??OCP??A??90°,?OC?B?A?,??△OCP≌△B?A?P(AAS). ?OP?B?P. 设B?P?x,
222在Rt△OCP中, (8?x)?6?x,解得x?254.
?S△OPB??12?254?6?754.
(3)存在这样的点P和点Q,使BP???32?6,6?,P2?12BQ.
点P的坐标是P1??9??7?6?. ??,?4?对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求. 过点Q画QH⊥OA?于H,连结OQ,则QH?OC??OC,
?S△POQ?12PQ?OC,S△POQ?12OP?QH,
?PQ?OP.
设BP?x,
?BP?12BQ,
?BQ?2x,
① 如图1,当点P在点B左侧时,
OP?PQ?BQ?BP?3x,
在Rt△PCO中,(8?x)2?62?(3x)2,
y B? y B? P B A? Q C H C? B A? P H O C Q C? A
O x 32A x 解得x1?1?326,x2?1?326(不符实际,舍去).
?PC?BC?BP?9?6,
3??P1??9?2??6,6?.
?②如图2,当点P在点B右侧时,
?OP?PQ?BQ?BP?x,PC?8?x.
222在Rt△PCO中,(8?x)?6?x,解得x?254.
?PC?BC?BP?8?254?74,
?7??P2??,6?.
?4?综上可知,存在点P1??9???32?6,6?,P2?1?7?,使BP?BQ. ?,6??2?4?3.(2009年义乌)如图,在边长为4的正三角形ABC中,AD?BC于点D, 以AD为一边向右作正三角形ADE。
(1)求?ABC的面积S;
(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】
解:(1)在正△ABC中,AD?4??S?12BC?AD?1232?23,
?4?23?43.
(2)AC、DE的位置关系:AC⊥DE.
在△CDF中,??CDE?90°??ADE?30°,
??CFD?180°??C??CDE?180°?60°?30°?90°, ?AC⊥DE.
4.(2009恩施市)恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,
AB?50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1?PA?PB,图(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A?,连接BA?交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2?PA?PB.
(1)求S1、S2,并比较它们的大小; (2)请你说明S2?PA?PB的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为
km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、
B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
Y B A P
图(1)
【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】
X P 图(2) B A A? B Q A X O P 图(3)
X
解:⑴图10(1)中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
∴AC=30
在Rt△ABC 中,AB=50 AC=30 ∴BC=40 ∴ BP=CP2?BC2?402
S1=402?10
⑵图10(2)中,过B作BC⊥AA′垂足为C,则A′C=50, 又BC=40 ∴BA'=
40?5022?1041
由轴对称知:PA=PA' ∴S2=BA'=1041 ∴S1﹥S2
(2)如 图10(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'为最小
(3)过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B', 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G, A'B'=1002?502?505
∴所求四边形的周长为50?505
YBB'QPAX
A'以下是湖北孔小朋的分类:
5.(2009年甘肃庆阳)(8分)如图14,在平面直角坐标系中,等腰Rt△OAB斜边OB在y轴上,且OB=4.
(1)画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的三角形;
(2)求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积(即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积).
图14
【关键词】平面直角坐标系;旋转 【答案】本小题满分8分
解:(1)画图正确(如图);
(2)所扫过部分图形是扇形,它的面积是:
90360π?4?4π.
2
6.(2009年河南)如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
【关键词】等腰三角形的性质与判定 【答案】OE⊥AB. 证明:在△BAC和△ABD中,
AC=BD, ∠BAC=∠ABD, AB=BA.
∴△BAC≌△ABD.
∴∠OBA=∠OAB,
∴OA=OB. 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB.
7.(2009泰安)如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线; (3) △DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
(4)
【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形 【答案】证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC, ∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余, ∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ∴△BAD≌△CBE ∴AD=BE
(2)∵E是AB中点, ∴EB=EA
由(1)AD=BE得:AE=AD ∵AD∥BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45° ∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。 即,AC是线段ED的垂直平分线。
(3)△DBC是等腰三角(CD=BD) 理由如下:
由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD ∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。
8.(2009年新疆)如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图. (2)证明勾股定理.
b
c
b
c
a c
b
a
c
c
b
c
a
a
【关键词】勾股定理的验证 【答案】方法一解:(1)如图
a
c c
c
a
b
a
c
b
b
a
b
c b
a (2)证明:?大正方形的面积表示为(a?b)2,大正方形的面积也可表示为
c?4?212ab,?(a?b)?c?4?2212ab,a?b?2ab?c?2ab,?a?b?c.即
222222直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 方法二解:(1)如图
(2)证明:?大正方形的面积表示为:c12ab?4?(b?a),
22222,又可以表示为:
22?c?212ab?4?(b?a)2,c?2ab?b?2ab?a2,
?c?a?b.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
9.(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
【关键词】勾股定理的应用
【答案】在Rt△ABC中,?ACB?90°,AC?8,BC?6由勾股定理有:AB?10,扩
充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况:①如图1,当AB?AD?10时,可求CD?CB?6,得△ABD的周长为32m.②如图2,当AB?BD?10时,可求
AD?45,得△ABD的周长为20?45m.CD?4,由勾股定理得:③如图3,当AB为
??底时,设AD?BD?x,则CD?x?6,由勾股定理得:x?A A
253,得△ABD的周长为
A 803 m.D
B C 图1
D
C 图2
B D
C 图3
B
10.(2009白银市)如图13,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:
(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2?DB2?DE2.
【关键词】全等三角形的判定、勾股定理
【答案】27.证明:(1) ∵ ?ACB??ECD,
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE.
即 ?BCD??ACE
∵ BC?AC,DC?EC,
∴ △ACE≌△BCD
(2)∵ ?ACB是等腰直角三角形, ∴ ?B??BAC?45?.
∵ △ACE≌△BCD, ∴ ?B??CAE?45?. ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?. ∴ AD2?AE2?DE2. 由(1)知AE=DB
,
11.(2009年衡阳市)如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线,BE⊥AE. (1)求证:DA⊥AE;
(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.
【关键词】等腰三角形、矩形
B D C
【答案】解:(1)证明:
??BAC?2?1?AE平分?BAF??BAE=?BAF?2? ? ?BAC??BAF?180???AD平分?BAC??BAD=??BAD??BAE=12(?BAC??BAF)?12?180??90?1E
A
F
??DAE?90??DA?AE(2)AB=DE,理由是:
????AD?BC??ADB?90??AD平分?BAC??? ??四边形AEBD是矩形?AB?DE? BE?AE??AEB?90?? ?DAE?90???AB?AC
12.(山东省临沂市)
如图,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=1km,B村到公路l的距离BD=2km,B村在A村的南偏东45方向上.
(1)求出A,B两村之间的距离;
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹,并简要写明作法).
?北
东
D
C
l
A B
解:(1)方法一:设AB与CD的交点为O,根据题意可得?A??B?45°. ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形. ?AO?2,BO?22.
2?22?32(km).
?A,B两村的距离为AB?AO?BO?方法二:过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E. 易证四边形CDBE是矩形, ?CE?BD?2.
在Rt△AEB中,由?A?45°,可得BE?EA?3.
?AB?3?3?32(km)
22?A,B两村的距离为32km.
A C
O P
N D
l
M
B
12(2)作图正确,痕迹清晰.
作法:①分别以点A,B为圆心,以大于半径作弧,两弧交于两点M,N, 作直线MN;
②直线MN交l于点P,点P即为所求. (7分
13.(四川省泸州市)在某段限速公路BC上(公路视为直线),交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时 (即
503AB的长为
米/秒),并在离该公路100米处设置了一个监测点
A.在如图8所示的直角坐标系中,点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在A的北偏西60°方向上,点C在A的北
偏东45°方向上,另外一条高等级公路在y轴上,AO为其中的一段.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据:3?1.7)
(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶,一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶,设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍,求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
解:在RtΔAOB中,OA=100,∠BAO=60° 所以OB=OA·tan∠BAO=1003. RtΔAOC中,∠CAO=45° 所以OC=OA=100,
所以B(-1003,0),C(100,0)
1003?10015(2)BC=BO+CO=1003+100,?503?18
18>,
所以这辆车超速了。
(3)高大货车行驶到某一时刻行驶了x米,则此时小汽四行驶 了2x米,且两车的距离为
y?(100?x)?(100?2x)=5(x?60)?2000
222当x=60时,y有最小值是2000?205米, 答:两四相距的最近距离为205米.
14.(2009年重庆)作图,请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC.(要求:用尺规作图,并写出已知、求作,保留作图痕迹,不写作法和结论) A
19题图
B
已知: 求作:
【关键词】等边三角形, 尺规作图
【答案】
解:已知:线段AB. 求作:等边△ABC.
作图如下:(注:每段弧各1分,连接线段AC、BC各1分)
C A
B
15.(2009年重庆)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE?AC. (1)求证:BG?FG;
(2)若AD?DC?2,求AB的长. A F B E
【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法 【答案】(1)证明:??ABC?90°,DE⊥AC于点F, ??ABC??AFE.
?AC?AE,?EAF??CAB, ?△ABC≌△AFE ?AB?AF.
D G
C
连接AG,
AG=AG,AB=AF,
?Rt△ABG≌Rt△AFG. ?BG?FG.
(2)解:∵AD=DC,DF⊥AC,
?AF?12AC?12AE.
??E?30°.
??FAD??E?30°,
?AF?3.
3.
?AB?AF?A B E D F G
C
16.(2009年广西钦州)已知:如图2,⊙O1与坐标轴交于A(1,0)、B(5,0)两
点,点O1的纵坐标为5.求⊙O1的半径. 【关键词】垂径定理、勾股定理
【答案】
解:过点O1作O1C⊥AB,垂足为C,
则有AC=BC. yO1O 图2 由A(1,0)、B(5,0),得AB=4,∴AC=2. 在Rt△AO1C中,∵O1的纵坐标为5, ∴O1C=5.
∴⊙O1的半径O1A=O1C2?AC2?(5)2?22=3.
17.(2009年甘肃定西)如图13,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证:(1)△ACE≌△BCD;(2)AD2?DB2?DE2. 【关键词】全等三角形、勾股定理
A OACB xB
【答案】证明:(1) ∵ ?ACB??ECD,
∴ ?ACD??BCD??ACD??ACE. 即 ?BCD??ACE.
∵ BC?AC,DC?EC, ∴ △ACE≌△BCD.
(2)∵ ?ACB是等腰直角三角形, ∴ ?B??BAC?45?.
∵ △
ACE≌△BCD, ∴ ?B??CAE?45?. ∴ ?DAE??CAE??BAC?45??45??90?. ∴ AD2?AE2?DE2. 由(1)知AE=DB,
∴ AD2+DB2=DE2.
18.(2009年莆田)已知:等边△ABC的边长为a. 探究(1):如图1,过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成
△MNG,求证:△MNG是等边三角形且.MN?3a;
探究(2):在等边△ABC内取一点O,过点O分别作OD?AB、OE?BC、OF?CA,垂足分别为点D、E、F.
①如图2,若点O是△ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论(不必证明):结论1.OD?OE?OF?2.AD?BE?CF?32a;
32a;结论
2是否仍然成立?如果成立,②如图3,若点O是等边△ABC内任意一点,则上述结论1、请给予证明;如果不成立,请说明理由.
M A
D G
B
C (图1)
B A O E (图2)
F C B D A F O E (图3)
C B D A F O E (图4)
C N
【关键词】等边三角形
证明:如图1,?△ABC为等边三角形 ??ABC?60°
?BC?MN,BA?MG
∴?CBM??BAM?90°
??ABM?90°-?ABC?30?
M A
G
B
C (图1)
??M?90?-?ABM?60?N
同理:?N??G?60?
?△MNG为等边三角形.
在Rt△ABM中,BM?ABsinMBC?asin60?a?23333a
在Rt△BCN中,BN?tanN?tan60??a
?MN?BM?BN?3a
(2)②:结论1成立.
A D
O F C 证明;方法一:如图2,连接AO、BO、CO
12a?OD?OE?OF?
B E H (图2)
由S△ABC?S△AOB?S△BOC?S△AOC=作AH?BC,垂足为H,
则AH?ACsin?ACB?a?sin60??32a
?S△ABC?12BC·AH?12a·32a
?12a?OD?OE?OF??12a·32a
?OD?OE?OF?32a
方法二:如图3,过点O作GH∥BC,分别交AB、AC于点G、H,过点 H作HM⊥BC于点M,
??DGO??B?60°,?OHF??C?60° ?△AGH是等边三角形 ?GH?AH ?OE⊥BC ?OE∥HM
?四边形OEMH是矩形 ?HM?OE
·sin?DGO?OG·sin60??在Rt△ODG中,OD?OG32OG
A
D G B
F H M C
32OH
O E
在Rt△OFH中,OF?OH·sin?OHF?OH·sin60??在Rt△HMC中,HM?HC·sinC?HC·sin60??32HC
?OD?OE?OF?OD?HM?OF?3232OG?32HC?3232OH
?M ?GH?HC??AC?32 aA D F?
F O E
E?
D? B C G
N
(2)②:结论2成立.
证明:方法一:如图4,过顶点A、B、C依次作边AB、BC、CA的垂线围成△MNG,由(1)得△MNG为等边三角形且MN?3a
过点O分别作OD??MN于D?,OE??NG于NG于点E?,OF??MG于点F? 由结论1得:
OD??OE??OF????MN?32?3a?32a
又?OD?AB,AB?MG,OF??MG
??ADO??DAF???OF?A?90?
?四边形ADOF?为矩形 ?OF??AD
同理:OD??BE,OE??CF
?AD?BE?CF?OD??OE??OF??32a
方法二:(同结论1方法二的辅助线)
A
D G B F H O
E M C (图3) 在Rt△OFH中,FH?OFtan?OHF?33OF
在Rt△HMC中,HC?HMsinC?23333OE
?CF?HC?FH?233OE?OF
同理:AD?233OF?33OD,BE?233OD?33OE
?AD?BE?CF
=
233OF?33OD?233OD?33OE?233OE?33OF
=3?OD?OE?OF?
32由结论1得:OD?OE?OF?a
A D
O B E
(图5)
C
?AD?BE?CF?3?32a?32a
F
方法三:如图5,连接OA、OB、OC,根据勾股定理得: BE?OE?OB?BD?OD① CF?OF?OC?CE?OE② AD?OD?AO?AF?OF③
222222222222222①+②+③得:
222222BE?CF?AD?BD?CE?AF
?BE?CF?AD??a?AD???a?BE???a?CF?
222222222222?a?2AD?a?AD?a?2BE?a?BE?a?2CF?a?CF
整理得:2a?AD?BE?CF??3a
2?AD?BE?CF?32a 12分
20.(2009年南充)如图8,半圆的直径AB?10,点C在半圆上,BC?6. (1)求弦AC的长;
(2)若
P为AB的中点,PE⊥AB交AC于点E,求PE的长.
C E A
P
B
【关键词】圆的性质,三角形相似的性质
【答案】解:?AB是半圆的直径,点C在半圆上, ??ACB?90°. 在Rt△ABC中,AC?AB?BC22?10?6?8
22(2)?PE⊥AB,
??APE?90°.??ACB?90°, ??APE??ACB. 又??PAE??CAB, ?△AEP∽△ABC,
?PEBC?APAC 12
154?PE610??3088??PE?.
19.(2009年湖州)如图,在平面直角坐标系中,直线l∶y=?2x?8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P?0,k?是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连结PA,若PA?PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形? l A y O P B l x A y O x (备用图)
【关键词】直线与圆的位置关系,相切的判定,正三角形的性质,相似的性质 【答案】 l A y O P B P2 第(2)题 第(1)题
解:(1)⊙P与x轴相切.
l x A C E y O P1 D B x
0?,与y轴交于B?0,-8?, 直线y??2x?8与x轴交于A??4,?OA?4,OB?8,
?PB?PA?8?k. 由题意,OP??k,2?k??3, 在Rt△AOP中,k?4??8?k?,22?OP等于⊙P的半径,?⊙P与x轴相切.
(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD.
当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
?△PCD为正三角形,?DE?12CD?32,PD?3,?PE?332.
??AOB??PEB?90°,?ABO??PBE,?△AOB∽△PEB,
33?AOAB?PEPB,即445?3152,, ?PB?PB2?PO?BO?BP?8?3152?315?,?P?0,?8?,
??2???k?3152?8.
??315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P?0,-?8?,
??2???k??3152?8,
? 当k?3152?8或k??3152?8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点
的三角形是正三角形.
20.(2009年湖州)若P为△ABC所在平面上一点,且?APB??BPC??CPA?120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且?ABC?60°,PA?3,PC?4,则PB的值为________;
(2)如图,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′. 求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA?PB?PC. A B?
B
C
【关键词】阅读理解题,等边三角形的性质,全等三角形的判定及性质,综合题 【答案】(1)23. (2)
A E P B
C
B?
证明:在BB?上取点P,使?BPC?120°, 连结AP,再在PB?上截取PE?PC,连结CE.
??BPC?120°, ??EPC?60°, ?△PCE为正三角形,
?PC?CE,?PCE?60°,?CEB?=120°, ?△ACB?为正三角形, ?AC?B?C,?ACB?=60°,
??PCA??ACE??ACE??ECB?=60°, ??PCA??ECB?′, ?△ACP≌△B?CE.
??APC??B?CE?120°,PA?EB?, ??APB??APC??BPC?120°, ?P为△ABC的费马点,
?BB?过△ABC的费马点P,且BB?=EB?+PB?PE?PA?PB?PC.
21.(2009年温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.0为BC边上一点,以0为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连结DE. ’ (1)当BD=3时,求线段DE的长;
(2)过点E作半圆O的切线,当切线与AC边相交时,设交点为F.求证:△FAE是等腰三角形.
【关键词】直角三角形、圆的性质,相似的判定,切线的性质,等腰三角形的判定 【答案】解:(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5, ∵DB为直径,
∴∠DEB=∠C=90°,
又∵∠B=∠B ,∴△DBE∽△ABC ∴
DEAC?95BDAB 即
DE3?35
∴DE=。
(2)解法一:连结OE,
∵EF为半圆O的切线, ∴∠DEO+∠DEF=90°, ∵∠AEF+∠DEF=90°, ∴∠AEF=∠DEO, ∵△DBE∽△ABC, ∴∠A=∠EDB,
又∵∠EDO=∠DEO, ∴∠AEF=∠A, ∴△FAE是等腰三角形。 解法二:连结OE,
∵EF为半圆O的切线, ∴∠AEF+∠OEB=90°,
∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°, ∵OE=OB
∴∠OEB=∠B, ∴∠AEF=∠A
∴△FAE是等腰三角形。
22.(2009临沂)如图,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A村到公路l的距离AC=1km,B村到公路l的距离BD=2km,B村在A村的南偏东45?方向上. (1)求出A,B两村之间的距离;
(2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹,并简要写明作法).
北
东
D C
l
A B
【关键词】等腰直角三角形的性质,勾股定理,尺规作图
【答案】解:(1)方法一:设AB与CD的交点为O,根据题意可得?A??B?45°. ?△ACO和△BDO都是等腰直角三角形. ?AO?2,BO?22.
2?22?32(km).
?A,B两村的距离为AB?AO?BO?方法二:过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E. 易证四边形CDBE是矩形, ?CE?BD?2
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