椭圆及其标准方程

第一节 椭圆

1．椭圆的定义

(1) 第一定义：|PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|) （F1,F2为焦点，|F1F2|?2c为焦距） 注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．

②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．

（2）第二定义：

|PF|d?e,(0?e?1)

注：第二定义中焦点与准线应对应

2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是

yaxa2222?xbyb2222?1，其中( > >0，且a2? )

??1，其中a，b满足： ．

说明：（1）焦点在x2,y2分母大的对应的坐标轴上； （2）a2?b2?c2及a,b,c的几何意义 （3）标准方程的统一形式：mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n)

适用于焦点位置未知的情形

?x?acos? （4）参数方程：??y?bsin?3．椭圆的几何性质(对(1) (2) (3) (4)

xa22?yb22?1,a > b >0进行讨论)

范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；

离心率：e? ( 与 的比)，e? ，e越接近1，椭圆越 ；e越接近0，椭圆越接近于 ．

(5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】

1．若方程

x23?k?y2k?1?1为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是_______________

34 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是3．若椭圆

x2，则此椭圆的标准方程是_____________

2?y2m?1的离心率为x212，则实数m?______

4．已知F1,F2为椭圆5．已知椭圆

x24?y2?1的左、右焦点，弦AB过F1，则?F2AB的周长为______8

16?y212=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|MF2|?6，则

|ON|的长等于 .1 【例题讲解】

例1：根据下列条件求椭圆方程

（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为y?5，且它的离心率e?55；

435（3）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为线恰好过椭圆的一个焦点；

和

235，过P作长轴的垂

（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点P1(6,1),P2(?3,?2) 小结：求椭圆的方法 例2：（1）椭圆

（2）已知F1,F2是椭圆C:x2x225?y216则点P到椭圆右准线的距离为_________ ?1上一点P到它的左焦点F1的距离为6，

y28?4?1的焦点，在C上满足PF1?PF2的点P的个数为________2

小结：

（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，这个椭圆的方程是_________________（4）已知椭圆

x2x212?y29?1,x29?y212?1

25?y2??1的焦点F1,F2，P是椭圆上一点，?F1PF2?90，则S?F1PF2?_______

9变式1：?F1PF2?60?，则S?FPF?_______

12变式2：?F1PF2??，则S?FPF?_______

12变式3：已知椭圆

x22ab范围是____________ 例3：关于离心率的运算

（1）设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点A,B，若?ABF1为正三角形，

?y22?1的焦点F1,F2，椭圆上存在一点P，使?F1PF2?60，则离心率e的取值

?则椭圆的离心率为_________ （2）在平面直角坐标系中，椭圆半径作圆，过点?

（3）在?ABC中，AB?BC,cosB??椭圆的离心率e=

(4) 以椭圆

xa22xa22?yb22?1(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为

?a2?

,0??c???

作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .

718，若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该

?yb22?1的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则e的取值范

围是_______________

小结： 例4：（最值问题） （1）设P是椭圆

x25?12?e?1

2516的最小值为________-9

?y2?1上任意一点，A,F分别为椭圆的左顶点和右焦点，则PA?PF?14PA?AF变式：P为椭圆

x24?y23?1上任一点，A为右顶点，B为下顶点则PA?AB最大值为________

（2）椭圆

x225?y216?1内有两点A(2,2),B(3,0)P为椭圆上一动点则|PA|?53|PB|的最小值为____

193

变式：若C(?3,0)则|PA|?|PC|最大值为__________10?例5：设椭圆

xa225

?yb22?1,?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，离心率e?22，点F2到右准线为l的距

??????????l（2）设M,N是上的两个动点，F1M?F2N?0，

????????????????证明：当MN取最小值时，F1F2?F2M?F2N?0。

离为2（1）求a,b的值；

思路分析：

（1）根据椭圆的几何性质由已知条件布列方程，求出几何量a,b,c.

（2）向量与解析几何的结合问题，需要将向量关系通过点的坐标的代入转化为代数问题来处理，因此根

??????????据条件设出有关点坐标M22,y1,N22,y2代入F1M?F2N?0得出y1y2??6，再将MN表出结

???ac?合条件进行处理。 解题过程： （1）因为e?ac，F2到l的距离d??c，所以由题设得

?a2???2 ?c 解得c??a?c?2??c2,a?2

由b2?a2?c2?2，得b?（2）由c?2

2,a?2得F1?2,0,F2???2,0，l的方程为x?22 ?故可设M22,y1,N22,y2 ??????????由知F1M?F2N?0知 22?2,y1?22???????? 1y12,y2?0

?得y1y2??6，所以y1y2?0,y2??? MN?y1?y2?y16y16y1?y1??26 当且仅当y1??6时，上式取等号，此时y2??y1

???????????????所以，F1F2?F2M?F2N??22,0?? ??0,y1?y2??0

???2,y1???2,y2

???????????解后语：发展条件，改造结论是数学解题的思维准则，本题的关键步骤就是将条件F1M?F2N?0进行翻

译，再将MN表出并处理 MN?y1?y2?y1?6y1?y1?1y1?26，

【课堂练习】

1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为

32，且G上一点到G的两焦点的距离之和

为12，则椭圆G的方程为____________________

2.已知椭圆

3．椭圆

x2xa22?y225?1(a＞5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周

长为 .

?y2123?1的左、右焦点分别为

F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|

是|PF2|的 倍.

4．已知F1,F2是椭圆C:xa22?yb22P?1(a＞b＞0)的两个焦点，

为椭圆C上一点，且PF1?PF2，若?PF1F2得面积为9，则b?_________________ 5．椭圆

x24?y2?1的焦点为F1,F2，点P为椭圆上一动点，当?F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值

2626,) 33P使线段PF1的中垂线过F2，则e的取

范围是_________________(?

6．F1,F2为椭圆

xa22?yb22?1的左右焦点，若在右准线上存在一点

值范围是_______________(0,33)

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