精选题库高一习题 数学8-6

第8模块 第6节

[知能演练]

一、选择题

1．椭圆x2＋my2＝1的离心率为3，则m的值为 2

( )

1

A．2或

21

C.或4 4

2

2

B．2 1D. 4

2

y2

解析：∵x＋my＝1，即x＋＝1是椭圆，∴m>0.

1m

11

当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，c2＝a2－b2＝1－，此时m>1，

mmc

由e＝＝a

c22＝a

131－＝?m＝4；

m2

1122222

当焦点在y轴上时，a＝，b＝1，c＝a－b＝－1，此时0

mmc

由e＝＝a答案：C

x2y2

2．动点P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个

ab焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的

( )

A．椭圆

解析：如右图所示，设三个切点分别为M、N、Q， ∴|PF1|＋|PF2|＝

|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1M|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，

∵|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴C点轨迹为直线．

c＝a221－1m31

＝?m＝.故选C. 124m

B．双曲线的右支 D．一条直线

C．抛物线

答案：D

3．以坐标轴为对称轴，离心率为

3且经过点(2,0)的椭圆方程是 2

( )

x22

A.＋y＝1 4

xxy

B.＋y2＝1或＋＝1 4164x22y22

C.＋y＝1或x＋＝1 44xyx

D.＋y2＝1或＋＝1 4164

解析：由于椭圆的焦点位置不确定，从而分两种情况：(1)当焦点在x轴时，设椭圆方x2y2

程为：2＋2＝1(a>b>0)，

ab

2

2

2

2

2

2

?由?20

?a＋b＝1，

b＝a

2222a2－c22＝ac21－2＝

a

1－(

321)＝，22

22??a＝2，yx

解得：?(2)当焦点在y轴时，设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由

ab?b＝1，?

?

?02

?a＋b＝1，

b＝a

2222a2－c22＝ac21－2＝a

1－(

321)＝，22

??b＝2，

解得：?故选D.

?a＝4，?

答案：D

xy→→

4．已知椭圆＋＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当PF2·PA1

43→→

取最小值时，|PF2＋PA1|的值为

( )

A．22 C．23

B．3 D.13 2

2

解析：由已知得：a＝2，b＝3，c＝1，所以F2(1,0)，

→→

A1(－2,0)，设P(x，y)，所以PF2·PA1＝(－2－x)(1－x)＋y2，又点P在椭圆上，所以y2＝3

3－x2，代入上式可得： 4

12121→→22

PF2·PA1＝(x＋2)(x－1)＋y＝x＋x＋1＝(x＋4x＋4)＝(x＋2)，

444

→→→→

显然当x＝－2时PF2·PA1取得最小值，所以P(－2,0)，容易知|PF2＋PA1|＝3. 答案：B 二、填空题

5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－23，0)，且长轴是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________．

x2y2

解析：设椭圆的标准方程是2＋2＝1(a>b>0)．

ab

?a＝2b，?

由题意知：?c＝23，

??a2＝b2＋c2

?a＝4，

?

解得?b＝2，

??c＝23.

2

x2y2

∴标准方程为＋＝1.

164x2y2

答案：＋＝1

164

xy

6．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a

aba2

为半径作圆M.若过点P(，0)所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为

c__________．

解析：如右图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，

a2c2故＝2a，解得e＝＝. ca2答案：

2 2

2

三、解答题

7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；

(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆2

的长轴长是6，且cos∠OFA＝.

3

解：(1)如下图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

∴c＝b＝3，∴a＝b＋c＝18. xy

故所求的椭圆的方程为＋＝1.

1892

(2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，

3∴A不是长轴的端点(是短轴的端点)． c2

∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴＝.

33∴c＝2，b＝3－2＝5.

x2y2x2y2

∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.

9559

8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． x2y2

解：(1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab|PF1|＝m，|PF2|＝n.

在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos60°. ∵m＋n＝2a，

∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， ∴4c＝4a－3mn.即3mn＝4a－4c.

m＋n2又mn≤()＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，

2c211

∴4a－4c≤3a，∴2≥，即e≥.

a42

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

∴e的取值范围是[，1)．

242

(2)证明：由(1)知mn＝b，

313∴S△PF1F2＝mnsin60°＝b2，

23即△PF1F2的面积只与短轴长有关．

[高考·模拟·预测]

1．如右图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是

( )

A．a1＋c1>a2＋c2 C．a1c2

B．a1－c1＝a2－c2 D．a1c2>a2c1

解析：由题意知，a1＝2a2，c1>2c2，则有a1c2

x2y2

2．过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若

ab∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为

( )

A.2 2

B.3 3

1

C. 2

1D. 3

解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，

又∠F1PF2＝60°， 13∴|PF1|＝|PF2|，∴ 22|PF2|＝2a

42

?|PF2|＝a，|PF1|＝a，

33

24c3在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，∴(a)2＋(2c)2＝(a)2?e＝＝，故选B.

33a3答案：B

x22

3．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，

2设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )

A．2 B．－2 1C. 2

1D．－ 2

解析：由题意直线m的方程为y＝k1(x＋2)，

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y＝k(x＋2)??21由?x得 2

＋y＝1?2?

(1＋2k1)x＋8k1x＋8k1－2＝0，

8k24k11∴x1＋x2＝－， 2，∴y1＋y2＝1＋2k11＋2k214k12k1∴P(－)， 2，1＋2k11＋2k21

2k11＋2k2111

∴k2＝，∴k1k2＝－. 2＝－

4k12k12－

1＋2k21答案：D

xy

4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；

92∠F1PF2的大小为__________．

解析：依题知a＝3，b＝2，c＝7.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4， 1

∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝27.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝

2120°.

答案：2；120°

1

5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2

425的焦点，离心率为.

5

(1)求椭圆C的标准方程；

→→

(2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA＝λ1AF，→→

MB＝λ2BF，求λ1＋λ2的值．

xy

解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，

ab抛物线方程化为x2＝4y，其焦点为(0,1)， 则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1， c由e＝＝a

a－b252

，∴a＝5， 2＝a5

2

222

2

2

222

2

2

2

x

∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

5(2)易求出椭圆C的右焦点为F(2,0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在， x

设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1并整理，

5得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，

2

20k－520k

∴x1＋x2＝， 2，x1x2＝1＋5k1＋5k22

2

→→→→

又MA＝(x1，y1－y0)，MB＝(x2，y2－y0)，AF＝(2－x1，－y1)，BF＝(2－x2，－y2)， →→→→而MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，

即(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)， ∴λ1＝

2(x1＋x2)－2x1x2x1x2x1x2

，λ2＝，∴λ1＋λ2＝＋＝＝－10. 2－x12－x22－x12－x24－2(x1＋x2)＋x1x2

[备选精题]

x2y2

6．设椭圆E：2＋2＝1(a，b>0)，过M(2，2)，N(6，1)两点，O为坐标原点．

ab(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，→→

且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

解：(1)将M、N的坐标代入椭圆E的方程得

??61

?a＋b＝1，

2242

＋＝1，a2b2

解得a2＝8，b2＝4，

x2y2

所以椭圆E的方程为＋＝1.

84

(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2＋y2＝R2，其中0

2m－84km

x1＋x2＝－2，x1x2＝2②

2k＋12k＋1→→

因为OA⊥OB， 所以x1x2＋y1y2＝0.③ 将①代入③并整理得

(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.

2

822

联立②得m＝(1＋k)．④

3因为直线AB和圆相切，因此R＝26由④得R＝，

3

8

所以存在圆x2＋y2＝满足题意．

3

82

当切线AB的斜率不存在时，易得x21＝x2＝，

382

由椭圆E的方程得y21＝y2＝，

3→→显然OA⊥OB.

8

综上所述，存在圆x2＋y2＝满足题意．

3

当切线AB的斜率存在时，由①②④得|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝1＋k＝1＋k＝1＋k

22|m|1＋k

2

，

(x1－x2) (x1＋x2)－4x1x2

2m－84km

(－2)2－4×2 2k＋12k＋1k2＋12k2＋1

2k＋11－×2.

32k＋1

2

222

2＝42k2＋11

令t＝2，则

2k＋12

264322

因此|AB|＝32t(1－t)＝－(t－)＋12.

334所以即

322

≤|AB|≤12， 3

46≤|AB|≤23. 3

4646当切线AB的斜率不存在时，易得|AB|＝，所以≤|AB|≤23. 33846综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足题意，且≤|AB|≤23. 33

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