四川省成都市2019届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理）试题

成都市2019届高中毕业班第一次诊断性检测

数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U?{x|x?0}，集合P?{1}，则eUP? （A）[0,1) （C）(??,1)(1,??) （B）(??,1) (1,??) （D）(1,??)

2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是

（A） （B） （C） （D） 3．已知复数z??4?3i（i是虚数单位），则下列说法正确的是

（A）复数z的虚部为?3i （B）复数z的虚部为3 （C）复数z的共轭复数为z?4?3i （D）复数z的模为5

?x3?1,x?0?4．函数f(x)??1x的图象大致为

?(),x?0?3y y y y O x O x O x O

（A） （B） （C） （D）

5．已知命题p：“若x?a?b，则x?2ab”，则下列说法正确的是 （A）命题p的逆命题是“若x?a?b，则x?2ab” （B）命题p的逆命题是“若x?2ab，则x?a?b ”

·1·

222222x

（C）命题p的否命题是“若x?a?b，则x?2ab” （D）命题p的否命题是“若x?a?b，则x?2ab”

6．若关于x的方程x?ax?4?0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是 （A）(?3,??) （B）[?3,0] （C）(0,??) （D）[0,3]

22222x2y27．已知F是椭圆2?2?1（a?b?0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF?x轴.

ab若PF?1AF，则该椭圆的离心率是 41313 （B） （C） （D） 4422 （A）

8．已知m，n是两条不同直线，?，?是两个不同的平面，且m//的是

?，n??，则下列叙述正确

（A）若?//?，则m//n （B）若m//n，则?//? （C）若n??，则m?? （D）若m??，则???

9．若sin2?? （A）

?3?510]，则???的值是 ，sin(???)?，且??[,?]，??[?,425107?9?5?7?5?9? （B） （C）或 （D）或 444444AA1上，且HA1?1．在侧面BCC1B110．如图，已知正方体ABCD?A1BC11D1棱长为4，点H在棱

内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平

D1EB1FGC1P运动时，面CDDC HP的最小值是 11距离等于线段PF的长.则当点

（A）21

（B）22 （C）23 （D）25

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

·2·

H2A1PDCAB11．若非零向量a，b满足a?b?a?b，则a，b的夹角的大小为__________．

312．二项式(x?)的展开式中含x的项的系数是__________．（用数字作答）

21x613．在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c?2a，b?4，cosB?面积S?__________．

1，则?ABC的414．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x?0时，f(x)?log3(x?1)．若关于x的不等式

f[x2?a(a?2)]?f(2ax?2x)的解集为A，函数f(x)在[?8,8]上的值域为B，若“x?A”是

“x?B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________．

15．已知曲线C：y?2x?a在点Pn(n,2n?a)（a?0,n?N）处的切线ln的斜率为kn，直线ln交x轴，y轴分别于点An(xn,0)，Bn(0,yn)，且x0?y0．给出以下结论： ①a?1；

②当n?N*时，yn的最小值为③当n?N*时，kn?2sin25； 41； 2n?1 ④当n?N*时，记数列{kn}的前n项和为Sn，则Sn?2(n?1?1)．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；

E（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)．

F17．（本小题满分12分）

如图，?ABC为正三角形，EC?平面ABC，DB//EC，F为

CBEA的中点，EC?AC?2，BD?1．

（Ⅰ）求证：DF//平面ABC；

A（Ⅱ）求平面DEA与平面ABC所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2an?2；数列{bn}满足b1?1，bn?1?bn?2.n?N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

·3·

D（Ⅱ）记cn?anbn，n?N*．求数列{cn}的前n项和Tn． 19．（本小题满分12分）

某大型企业一天中不同时刻的用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0?t?24，单位：小时）的函数y?f(t)近似地满足f(t)?Asin(?t??)?B(A?0,??0,0????)，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间t的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求A，?，?，B的值； （Ⅱ）若某日的供电量g(t)（万千瓦时）与时间t（小时）近似满足函数关系式

g(t)??1.5t?20（0?t?12）．当该日内

供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:

t（时） g(t)（万千瓦时） 10 11 12 2.5 2 11.5 2.48 2.75 11.25 2.462 3.125 11.75 11.625 11.6875 2.496 2.375 2.490 2.563 2.493 2.469 f(t)（万千瓦时） 2．25 2.433 5 3.5 20．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）的右焦点为(22,0)，且椭圆?上一点M到其两焦

ab点F1,F2的距离之和为43．

（Ⅰ）求椭圆?的标准方程； （Ⅱ）设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆?交于不同两点A，B，且AB?32．若点P(x0,2)满足PA?PB，求x0的值． 21．（本小题满分14分）

mx2mx2 已知函数f(x)??，g(x)?m?mx，其中m?R且m?0．e?2.71828lnxe数的底数．

（Ⅰ）当m?0时，求函数f(x)的单调区间和极小值；

为自然对

（Ⅱ）当m?0时，若函数g(x)存在a,b,c三个零点，且a?b?c，试证明： ?1?a?0?b?e?c；

（Ⅲ）是否存在负数m，对?x1?(1,??)，?x2?(??,0)，都有f(x1)?g(x2)成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

·4·

数学（理科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．A；10．B．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．90? 12．?20 13．15 14.[?2,0] 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则

21C2?C441 P(A)???．……………………………………………………………4分 3C6205（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2，则

3C441 P(X?0)?3??……………………………………………………………2分

C620512C2?C4123 P(X?1)??? ………………………………………………………2分 3C6205 P(X?2)?P(A)? ∴X的分布列为

X P

1 ………………………………………………………………2分 50 1 51 3 52 1 5 ∴X的数学期望EX?0?131?1??2??1．…………………………………2分 555E17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：作AC的中点O，连结BO．

//1EC，又据题意知，BD?//1EC． 在?AEC中，FO?z DF22//BD，∴四边形FOBD为平行四边形． ∴FO? ∴DF//OB，又DF?平面ABC，OB?平面ABC．

∴DF//平面ABC．……………………………………4分

·5·

Cy BO Ax

（Ⅱ）∵FO//EC，∴FO?平面ABC．

在正?ABC中，BO?AC，∴OA,OB,OF三线两两垂直． 分别以OA,OB,OF为x,y,z轴，建系如图． 则A(1,0,0)，E(?1,0,2)，D(0,3,1)． ∴AE?(?2,0,2)，AD?(?1,3,1)． 设平面ADE的一个法向量为n1?(x,y,z)，

????2x?2z?0?n1?AE?0 则?，即?，令x?1，则z?1,y?0．

???x?3y?z?0??n1?AD?0 ∴平面ADE的一个法向量为n1?(1,0,1)． 又平面ABC的一个法向量为n2?(0,0,1)． ∴cos

当n?2时，Sn?1?2an?1?2 ?

???得，an?2an?2an?1，即an?2an?1（n?2）． 又当n?1时，S1?2a1?2，得a1?2．

∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，

∴数列{an}的通项公式为an?2?2n?1?2n．………………………………………4分 又由题意知，b1?1，bn?1?bn?2，即bn?1?bn?2 ∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴数列{bn}的通项公式为bn?1?(n?1)?2?2n?1．……………………………2分

·6·

n （Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn?(2n?1)2………………………………………………1分 23 ∴Tn?1?2?3?2?5?2??(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n ?

?(2n?5)?2n?1?(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1 ④

2Tn? 由??④得

1?22?3?23?23 ?Tn?2?2?2?2?2?23 ?Tn?2(1?2?2??2?2n?1?2?2n?(2n?1)?2n?1 …………………1分

?2n?12n)?(2n?1)?2n?1

2?2n?2?(2n?1)?2n?1…………………………………………………1分 ∴?Tn?2?1?2n?1n?1n?1n?1 ∴?Tn?2?2?4?2n?2?2 即?Tn?(3?2n)?2?4 n?1 ∴Tn?(2n?3)2?4

n?1 ∴数列{cn}的前n项和Tn?(2n?3)2?4………………………………………3分

19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知T?12，???6y?yy?y2.5?1.512.5?1.5 A?maxmin??，B?maxmin??2．……………2分

22222 ∴y?0.5sin(．………………………………………………………1分

?6x??)?2．

又函数y?0.5sin( 代入，得??综上，A?即f(t)??6x??)?2过点(0,2.5)．

?2?2k?，又0????，∴???2．…………………………………2分

?1?1，??，??，B?． ………………………………………1分

22621??sin(t?)?2． 262（Ⅱ）令h(t)?f(t)?g(t)，设h(t0)?0，则t0为该企业的停产时间． 由h(11)?f(11)?g(11)?0，h(12)?f(12)?g(12)?0，则t0?(11,12)． 又h(11.5)?f(11.5)?g(11.5)?0，则t0?(11.5,12)．

·7·

又h(11.75)?f(11.75)?g(11.75)?0，则t0?(11.5,11.75)． 又h(11.625)?f(11.625)?g(11.625)?0，则t0?(11.625,11.75)．

又h(11.6875)?f(11.6875)?g(11.6875)?0，则t0?(11.625,11.6875)．…4分 ∵11.6875?11.625?0.0625?0.1． ……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （

也

可

直

接

由

h(11.625)?f(11.625)?g(11.625)?0，

得出t0?(11.625,11.6875)；答案在11．625—11．6875h(11.6875)?f(11.6875)?g(11.6875)?0，

之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）由已知2a?43得a?23，又c?22． ∴b?a?c?4．

222x2y2??1．…………………………………………………4分 ∴椭圆?的方程为

124?y?x?m,?22 （Ⅱ）由?x2y2得4x?6mx?3m?12?0 ① ………………………1分

?1,???124 ∵直线l与椭圆?交于不同两点A、B，∴△?36m?16(3m?12)?0， 得m?16．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2是方程①的两根，

2223m2?123m 则x1?x2??， x1?x2?．

42 ∴AB?1?k2x1?x2?2?923m?(3m2?12)?2??m2?12． 44 又由AB?32，得?32m?12?9，解之m??2．……………………………3分 4 据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y?2的交点．

·8·

设AB的中点为E(x0,y0)，则x0? ?当m?2时，E(?x1?x23mm，y0?x0?m?， ??24431,) 2213??(x?)，即y??x?1． 22 ∴此时，线段AB的中垂线方程为y? 令y?2，得x0??3．…………………………………………………………………2分 ?当m??2时，E(,?)

∴此时，线段AB的中垂线方程为y?321213??(x?)，即y??x?1． 22 令y?2，得x0??1．………………………………………………………………2分 综上所述，x0的值为?3或?1． 21.（本小题满分14分）

2xlnx?x2?解：（Ⅰ）f?(x)??m12(lnx)21x?mx?2xlnx?mx?(1?2lnx)（x?0且x?1）．

(lnx)2(lnx)212∴由f?(x)?0，得x?e；由f?(x)?0，得0?x?e，且x?1．……………………1分 ∴函数f(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e)，单调递增区间是(e,??)．………………2分 ∴f(x)极小值?f(e)??2me.………………………………………………………………1分

2mxemx?mx2emxmmx(mx?2)?,(m?0)． （Ⅱ）g?(x)??2mxmxee∴g(x)在(??,0)上单调递增，(0,∵函数g(x)存在三个零点．

22)上单调递减，(,??)上单调递增． mm?m?0?g(0)?0?2??4???0?m?． ∴?2eg()?0?m?0?m??m?e2?∴0?me?2…………………………………………………………………………………3分 由g(?1)?m?me?m(1?e)?0．

·9·

mmme2e2∴g(e)?m?em?m(1?em)?0．……………………………………………………1分

ee综上可知，g(e)?0,g(0)?0,g(?1)?0，

结合函数g(x)单调性及a?b?c可得：a?(?1,0),b?(0,e),c?(e,??)．

即?1?a?0?b?e?c，得证．…………………………………………………………1分 （III）由题意，只需f(x)min?g(x)max ∵f?(x)?mx(1?2lnx) 2(lnx)1212由m?0，∴函数f(x)在(1,e)上单调递减，在(e,??)上单调递增．

∴f(x)min?f(e)??2me．………………………………………………………………2分 ∵g?(x)?12mx(mx?2)

emx22)上单调递增，(,0)上单调递减．

mm由m?0，∴函数g(x)在(??,∴g(x)max?g(24)?m?2．……………………………………………………………2分 mem4422∴?2me?m?2 ，不等式两边同乘以负数m，得?2me?m?2．

eme442m?∴(2e?1)m?2，即．

e2(2e?1)e2由m?0，解得m??22e?1．

e(2e?1)22e?1)满足题意．……………………………1分

e(2e?1)综上所述，存在这样的负数m?(??,?

·10·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t99w.html