第十章大题

1、一轻弹簧的下端挂一重物，上瑞固定在支架上，弹簧伸长了

l?9.8cm，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有

1m?s的向下的速度，它就上下振动起来。试证明作简谐振动。 解：由题得：mg?kl?0，当物体运动至x时弹簧伸长l?x根

?1d2x据牛顿第二定律有：mg?k?l?x??m2，整理得

dtkd2xkd2xk2?x?0。令??则2?x?0由此可证明物理2mdtmdtm做简谐振动。

振动方程为：x?0.1cos10t??

2、 如图（计算题2图）所示为弹簧振子的x-t图线，根据图中给出的数据，写出其运动方程。 解：由图知：A?0.1m，

?2?m

当t?0时，x0?0.05m；当t?1时，x0?0.05m带入

x0?Acos?(t??)得cos??0.5,????3

又t?0时，?0??A?0sin?，由v0?0,sin??0得????

3t?1，0?0.1cos(???),?????,所以??5?

3326简谐振动方程为：x?0.1cos5?t??

63os?t（m）和x3、两分振动分别为x，cos??t??（m）1?c2?32?若在同一直线上合成，求合振动的振幅A及初相位?。 解：因为????2??1????????2，故振幅

A?2A12?A2?2A1A2cos??2??2(m)。合振初相位：

??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2????3 ??arctan

4、一平面简谐波的波动表达式为y?（1）0.01cos?10t??求：???x?10?该波的波速、波长、周期和振幅；（2）x=10m处质点的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度；（3）x=20m，60m两处质点振动的相位差。 解：（1）表达式写成标准式y?0.01cos2?(5t?x)

20所以振幅A?0.01m,波长??20m，周期T?0.2s，波速

???T?100(m?s?1)

（2）将x?10m代入则y?0.01cos(10?t??) 对时间求导u??0.1?sin(10?t??)将t?2s代入u?0 （3）x?20m,60m相位差????2??1??5、某平面简谐波在t=0和t=1s时的波形如（计算题5图）图所示，试求：（1）波的周期和角频率；（2）写出该平面简谐波的表达式。

2??(x2?x1)??4?

解：（1）A=0.1m，??2m，由移动?4得周期T=4s，

??0.5m?s?1角频率??2?T??2(rad/s)。（2）简谐波表达式y?Acos?t????x?????0.1cos2t?2??x

=-0.04m/s。试求：

???6、质量m?0.02kg的小球作简谐振动，速度的最大值，振幅A=0.02m，当t?0时，??0.04m/smax?(1) 振动的周期；(2) 谐振动方程.

A?解(1)根据v?max??，

则周期T?22?22?v02???(s)(2)由振幅A?x0?2，得

?2?，

20222v.04radmax0 ??2()sA0.02v?0.04

x?A?(0.02)?()?00.02?0cos?又由x，得0?Acos?，即cos??0，??0?A?3?或 22m，所以取??0时，0?v?0.04因为t?s3?x?0.02cos(1.5t?)2

3?谐振动方程为2，

7、一平面简谐波沿x轴正向传播，波速

?=6m/s．波源位于x轴原点处，波源的

振动曲线如（计算题9图）图中所示。求：(1)波源的振动方程；(2)波动方程．

解：（1）由图得：A=0.01m，T=2s，则??2?t=0时，由旋转矢量法得初相????则振动方程为y0?0.01cos?t??2t??s?1，当

。波源位于x轴原点，

?2?

（2）将已知代入简谐波动方程得y?0.01cos?t?x??????

628、平面简谐波的振幅为3.0cm，频率为50HZ，波速为200m/s，沿X轴负方向传播，以波源(设在坐标原点O)处的质点在平衡位置且正向y轴负方向运动时作为计时起点．求：(1)波源的振动方程；(2)波动方程。

解：（1）??2???100??rad/s?，由初始条件：t=0时，

0?y0?Acos?得????2因为?0???Asin??0得初相

???2，波源振动方程：y0?0.03cos100?t??2。（2）波动

方程为：Y?Acos?t?x?????????0.03cos?100?t??x???

u229、一物体沿X轴作简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，t=0 时位移为0.03m ，且向X轴正向运动，求：t=0.5s 时物体的位移、速度和加速度。

解：由题得：A=0.06m，T=2s则???rad/s。在t=0时，

x0?Acos??0.03m，u0??A?sin??0得????3。振动方程为：x?0.06cos?t??u?dxdtt?0.5?3?。位移x=0.06m，速度

3??0.06?sin?t1??????0.03?(m/s)。加速度：

d2xa?2dt

t?0.5s??0.06?2cos?t1??????0.51(m/s) 3210、如（计算题12图）图所示，一劲度系数为k簧，竖直悬挂一质量为m的物体后静止，再把物体向下拉，使弹簧伸长后开始释放，判断物体是否作简谐振动?

的轻弹

d2x解：由虎克定律：mg?kl，得mg?k(l?x)?m2，令

dt2dxk??km得2?x?0此式是简谐振动的微分方程，说明

dtm2物体在做简谐振动。其周期为：T?2?11、一平面简谐波以速度u=20m.s

?1??2?m k沿直线传播。已知在传播路径上

某点A（如图14）的简谐运动方程为y=(3。（1）以点A?10m)cos(4?s)t?2?1为坐标原点，写出波动方程；（2）以距点

A为5m处的点B为坐标原点，写出波动方程；(3）写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程（各点间距见图一）；

??x??解：（1）yA?3?10?2cos?4??t???

??20????x?5?? （2）yB?3?10?2cos?4??t???

20????（3）yC?3?10?2cos?4?t?2.6??，yD?3?10?2cos?4?t?1.8??

12、已知谐振动方程为：x，振子质量为m，振?Acos(??t?)幅为A，试求(1)振子最大速度和最大加速度；(2)振动系统总能量；(3)平均动能和平均势能。

解：（1）v?dxdv???Asin??t???，a????2Acos??t???dtdt最大加速度为am??2t （2）总能量： E? （3）平均动能：Ek?

121kA?m?2A2 2211m?2A2，平均势能：Ep?m?2A2 4413、一弹簧振子沿x轴做谐振动，已知振动物体最大位移为Xm=0.4m，最大回复力为Fm=0.8N，最大速度为Vm=0.8m/s，又知t=0时的初位移为0.2m，且初速度与所选x轴方向相反。试求(1)振动能量；(2)振动方程。

解：振幅A?xm?0.4m，劲度系数k?角频率??Fm?2N/m， AFm12?(rad/s)；（1）振动能量为E?kA2?0.16J A23，振动方程为x?0.4cos?2?t?（2）由已知得???????? 3?14、质量为0.10 kg 的物体，作振幅为0.01m的简谐振动，其最大加速度为4.0 m / s。求：（1）振动的周期；（2）物体在何处时动能和势能相等；（3）物体位于A/ 2处时，其动能为多少？

2

解：（1）周期T?2????10?0.314(s)，（其中am??2A,??am） A （2）动势能相等时有

121112Akx0?E??kA2，得x0????7.07?10?3 222222A21?A?3物体于A/2处动能：Ek?E?Ep?k?k???E

22?2?4.0?10m15、一物体作谐运动，其质量为2，.0?10kg、振幅为2.0?10m周期为4.0s。当t=0时，位移为2。求t=0.5s时，物体所

在的位置及其所受的力、动能、势能、总能量。

?2?2?2解：A?2.0?10?2m,??x2???rad/s，??arccos0?arccos1?0；T2A???得x?2?10?2cos?t?。t=0.5时位置x?1.4?10?2(m)；所受力

?2?d2xF?m2??m?2x??6.9?10?2dt1?dx?m???Ek?m??????Asin??4.8?10?6J

2?dt?2?2?Ep?121kx?m?2x2?4.8?10?6J，E?Ek?Ep?9.6?10?6J 2222

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