2014届高三数学一轮复习：数列的概念与函数特性

课时跟踪检测(三十) 数列的概念与函数特性

1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N ＋)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列

D ．摆动数列

2．(2013·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n

n ＋1，则a 5＝( )

A.56

B.65

C.130

D ．30

3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2

D.n 2

(n －1)2

4．(2012·北京模拟)数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1

x n ＋1－1，则x 2 013＝( )

A ．－1

B ．－12

C.12

D ．1

5．数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，n (a n ＋1－a n )＝a n (n ∈N ＋)，且a 3＝π，则tan S 4等于( )

A ．－

33

B. 3 C ．－ 3

D.33

6．(2013·长春模拟)数列{a n }中，a n ＝n － 2 011

n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小

项分别是( )

A ．a 1，a 50

B ．a 1，a 44

C ．a 45，a 44

D ．a 45，a 50

7．(2013·济南模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1

a n －2

(n ≥3)，则a 2 013＝________.

8．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.

9．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn (b ∈R)，且{a n }是递增数列，则a 的取值范围是________．

10．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

11．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数列{a n}与{b n}的通项公式．

12．设函数f(x)＝log2x－log x2(0＜x＜1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N＋)．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)判断数列{a n}的单调性．

1．(2012·嘉兴质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1a n＝2n(n∈N＋)，则a10＝()

A．64B．32

C．16 D．8

2．(2012·北京高考)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为()

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

3．已知数列{a n }中，a 1＝1，且满足递推关系a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋m a n ＋1

(n ∈N ＋)． (1)当m ＝1时，求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)当n ∈N ＋时，数列{a n }满足不等式a n ＋1≥a n 恒成立，求m 的取值范围．

答 案

课时跟踪检测(三十)

A 级

1．选C ∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，

∴a n ＝0(n ≥2)．

当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0， ∴a n ＝0(n ∈N ＋)

2．选C 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，则a 5＝15×6＝130

. 3．选D 设数列{a n }的前n 项积为T n ， 则T n ＝n 2，

当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2

(n －1)2

. 4．选D x 1＝1，代入x n ＋1＝

1x n ＋1－1得，x 2＝－12，再将x 2代入x n ＋1＝1x n ＋1－1得，x 3＝1，所以数列周期为2，

x 2 013＝x 1＝1.

5．选B 法一：由n (a n ＋1－a n )＝a n 得 na n ＋1＝(n ＋1)a n ，

可得3a 4＝4a 3，已知a 3＝π，则a 4＝43

π. 又由2a 3＝3a 2，得a 2＝23

π， 由a 2＝2a 1，得a 1＝π3

， 故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝103

π， tan S 4＝tan 103

π＝ 3. 法二：∵由n (a n ＋1－a n )＝a n ，

得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1n ＋1＝a n n

， ∴a n n ＝a n －1n －1＝a n －2n －2＝…＝a 33＝π3

. ∴a n ＝π3

n ， ∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3(1＋2＋3＋4)＝103π，tan S 4＝tan 103π＝ 3.

6．选C a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋ 2 012－ 2 011n － 2 012

， ∴当n ∈[1,44]时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝x － 2 011x － 2 012

的图像可知，(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 7．解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2

得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12

， a 6＝12

，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 013＝a 335×6＋3＝a 3＝2. 答案：2

8．解析：由已知条件可得S n ＋1＝2n ＋

1. 则S n ＝2n ＋

1－1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋

1－1－2n ＋1＝2n ，n ＝1时不适合a n ， 故a n ＝?

???? 3，n ＝1，2n ，n ≥2. 答案：?????

3，n ＝1，2n ，n ≥2 9．解析：由题意得b 2≤1或????? 1<b 2<2，a 1<a 2，

即b ≤2或?????

2<b <4，b <3，解得b <3. 答案：(－∞，3)

10．解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.

(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，

解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，

即150是这个数列的第16项．

(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)．

故从第7项起各项都是正数．

11．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合，

∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N ＋)．

∵T n ＝2－b n ，

∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.

当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.

∴数列{b n }是公比为12

，首项为1的等比数列． ∴b n ＝????12n －1.

12．解：(1)由已知得log 22a n －log2a n 2＝2n ，

∴a n －1a n

＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0， 解得a n ＝n ±n 2＋1.

∵0＜x ＜1，即0＜2a n ＜1＝20， ∴a n ＜0，故a n ＝n －n 2＋1(n ∈N ＋)．

(2)∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1

＝n ＋n 2＋1

(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1＜1， 而a n ＜0，

∴a n ＋1＞a n ，

即数列{a n }是关于n 的递增数列．

B 级

1．选B 因为a n ＋1a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n

＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2，

则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2

＝24， 即a 10＝25＝32.

2．选C 依题意S n n

表示图像上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图像可知，当n ＝9时，S n n

最大，故m ＝9. 3．解：(1)∵m ＝1，由a n ＋1＝2a 2n ＋3a n ＋1a n ＋1

(n ∈N ＋)，得 a n ＋1＝(2a n ＋1)(a n ＋1)a n ＋1

＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，

∴数列{a n ＋1}是以2为首项，公比也是2的等比数列． 于是a n ＋1＝2·2n －

1，∴a n ＝2n －1. (2)∵a n ＋1≥a n ，而a 1＝1，知a n ≥1，

∴2a2n＋3a n＋m

a n＋1

≥a n，即m≥－a2n－2a n，

依题意，有m≥－(a n＋1)2＋1恒成立．

∵a n≥1，∴m≥－22＋1＝－3，即满足题意的m的取值范围是[－3，＋∞)．

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