数学建模作业1

更新时间：2023-09-20 09:47:01 阅读量：医药卫生文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

雨中行走问题

1. Some people prefer to live in a small town. Others prefer to live in a b

ig city.

2. Some students prefer to study alone. Others prefer to study with a group

of students.

3. Should university students take part-time jobs?

4. Some people choose friends who are different from themselves. Others cho

ose friends who are similar to themselves. COMSOL Multiphysics V4.3b

更新1

建议：

四个人一组：两个正方，两个反方，辩论时间共7分钟左右。 There are three segments:

1.Opening (正方30秒，反方30秒) 2.Free debate (5 分钟左右)

3.Closing (反方30秒, 正方30秒，)

徐永干 20124003 李聪 20123997

一问题重述

人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少？

将人体简化成一个长方体，高a?1.5m (颈部以下)，宽b?0.5m,厚c?0.2m.设跑步距离D?1000m,跑步最大速度v?5ms,雨速u?4ms,降雨量w?2cmh,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论。

二、问题分析

（1）如何度量一个人的形体？（2）如何度量雨下的大小？

三、问题假设

1、降雨的速度和降水的强度保持不变； 2、人在雨中行走的速度是定量； 3、风速保持恒定； 4、人体视为一个长方体

5、假设产生的影响各个因素相互独立；

四、符号说明

D:人在雨中行走的距离（米） t：人在雨中行走的时间（秒） v：人在雨中行走的速度（米/秒）

- 1 -

a,b,c：人的高度，宽度和厚度（米）

w：降雨量（降雨强度，单位时间平面上的降下雨水的厚度，厘米/小时） C:淋雨的总量（升） u：雨滴落下的速度

p：雨滴的密度（p?1,p?1时意味着大雨倾盆）。

?：降雨的角度（雨滴落下的方向与行走的方向之间的夹角）利用新的记号，w?pu

（注：以上是本文中的全局变量符号说明，在建模过程中引入的局部变量在论文中局部说明）

五、模型的建立与求解

模型建立：

问题一：不考虑降雨的角度影响：

模型一：

当不考虑降雨角度时，假设淋雨的部位时全身所有部位，因此淋雨的面积为S?bc?2(ab?ac)。淋雨时间为：t?D/v，淋雨量为：

DSwD?bc?2(ab?ac)?wC?twS??

vv问题二：考虑降雨的角度影响（迎面）：

模型二：0????2，淋雨的部位为顶部和前方。

头顶部淋雨量为：C1?(D/v)bc(pusin?)，前方的淋雨量为：

Dbp?cusin??a(usin??v)?，总的淋雨量为：C?C1?C2?C2?(D/v)ab(p(usin??v))，

v从表达式可以看出，雨中行走的速度越快，淋雨量越小。问题三：考虑降雨的角度影响（背面）：

模型三：?/2????，雨滴将从身后落下（设???/2??）

（1）:v?usin? 行走的速度慢于雨滴的水平运动速度。淋在后背上的雨水量为

C3?pabD(usin??v)/v，淋雨总量为：C?pbD?uccos??a(usin??v)?/v。由于v的限制，最大的行走速度为vm?usin?，雨水量C?pbD(uccos?)/vm

（2）:v?usin? 行走的速度快于雨滴的水平运动速度，此时可以想象人在追赶雨滴，雨水淋在胸前，淋雨量为C4?pbDa(v?usin?)/v。总的淋雨量为C?C1?C4?pbD?uccos??a(v?usin?)?/v。

这样得到淋雨量的数学模型为：

?a(uss?i?v)?n/v?/2????,v?us?in?C1?C3?pbD?ucc?o C???a(vs?us?i)?/vn?/2????,v?us?in?C1?C4?pbD?ucc?o两个式子都是速度的减函数，第二个式子中关于v的增减性取决于ccos??asin?是否大于零，而这需要看人的体形决定。模型求解：

5.1 问题一的求解

m,a?1.5m,b?0.5mc?0.2m,w?0.2cm/h,v?5m/s将上述数据代入模型一 D?1000

- 2 -

DSwD?bc?2(ab?ac)?w?vv进行求解，有

1000*?0.5*0.2?2(1.5*0.5?1.5*0.2)?*0.21000?*?2.444L5360000C?twS?5.2问题二的求解：

由模型二知：雨中行走的速度越快，淋雨量越小。所以取vm?5m/s时淋雨量最少。

Dbp?cusin??a(usin??v)??0.069L 当??0?时: C?C1?C2?v当??30?时: C?C1?C2?5.3问题三的求解：

由模型三可知当速度越快时，淋雨量越少。所以取vm?5m/s时淋雨量最少。当??30?：

(1) v?usin?:C?pbD(uccos?)/vm?0.096L;

(2) v?usin?时ccos??asin?小于零，是关于v的增函数，所以速度应当最小，即速度为v?2m/s，此时C?pbD?uccos??a(v?usin?)?/v?0.024L 5.4问题四、问题五的求解：

1. 人行走的路线为直线,行走距离为d, 跑步最大速度vmax?u?5ms

选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v?(u,0,0)，则行走的时间为 lu。 2. 雨的速度不变,记为：w??vx,vy,vz? 相对速度： v?w?u??vx?u,vy,vz?