应用数理统计练习试题及答案

应用数理统计复习题

1.设总体X~N(20,3)，有容量分别为10，15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于0.3的概率.

解：设两样本均值分别为X,Y，则X?Y~N(0,)

21 P(|X?Y?|0.3?)?2. 设总体X具有分布律 X p (0.4?24?)?(0.?42 4)0.328 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，求?的矩估计和最大似然估计.

解：（1）矩估计：EX??2?2?2?(1??)?3(1??)2??2??3

X?13(1?2?1)?43

56令EX?X，得???（2）最大似然估计：

.

L(?)??2??2?2?(1??)?2?5?2?6

dln(?)d?56?10??12?45?0

得???

2

3. 设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望?和方差?均未知，抽查10件，测得重量为Xi斤i?1,2,?,10。 算出

X?1101010?i?1Xi?5.4

?i?1(Xi?X)?3.6

2给定检验水平??0.05 ，若该厂产品的平均重量为5.0斤，是否合格？

附：t1-0.025(9)=2.2622 t1-0.025(10)=2.2281 t1-0.05(9)=1.8331 t1-0.05(10)=1.8125 解: 检验统计量为T=|X-m0S/n|

将已知数据代入，得t=5.4-5.03.6/9(9=)10=2

t1-a/2(n-1)=t0.9752.26>2 22 所以接受H0。

4. 在单因素方差分析中，因素A有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差

分析表，在显著水平??0.05下对因素A是否显著做检验。 来源 因素A 误差 总和 解： 来源 因素A 误差 总和 平方和 4.2 2.5 6.7 自由度 2 9 11 均方和 2.1 0.28 F比 7.5 平方和 4.2 2.5 6.7 自由度 均方和 F比 F0.95(2,9)?4.26，F?7.5?4.26，认为因素A是显著的.

5. 现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得

x?0.125,y?45.7886,Lxx?0.3024,Lxy?25.5218，Lyy?2432.4566.

????x； ???（1）建立y关于x的一元线性回归方程y01（2）y对x回归系数?1做显著性检验（??0.05）.

??解：（1）?1lxylxx?25.52180.3024?84.3975

??y???x?35.2389 ?01??35.2389?84.3975x 所以，y?l?2432.4566?84.3975?25.5218?278.4805 （2）Qe?lyy??1xy?? ?2Qen?2?278.4805?19.89 1514?? ?19.891?54 .46t???1??lxx?84.39754.460.3024?10.4060

t0.025(14)?2.1604 t?10.4060?2.1604

拒绝原假设，故回归效果显著. 6.某正交试验结果如下 列号 试验号 A B C 1 2 3 结果yi 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 （1） 找出对结果y影响最大的因素； （2） 找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好） （3） 写出第4号实验的数据结构模型。 解：

列号 试验号 A B C 1 2 3 结果yi 1 2 3 4 Ⅰ Ⅱ R 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 13.25 16.54 12.11 18.75 29.79 25.36 32.0 30.86 35.29 28.65 1.07 9.9 3.35 （1） 对结果y影响最大的因素是B； （2） “算一算”的较优生产条件为A2B2C1 （3） 4号实验的数据结构模型为

y???a2?b2?c1??4，?4~N(0,?)

27.设总体G1~Np(?1,?),G2~Np(?2,?)，样品为X.已知 ?1.0??4.2??2.30??????1?2?5.5，??0.25 ?1??2.2， ?????6.8??0.47?5.4??????0.250.600.040.47??x1??1.8??????0.04，X?x2?3.6 ??????????0.60??x3??7.0?（1） 求线性判别函数?(X)；

（2） 对样品X的归属做判别.

?2.30??1解：（1）???(?1??2)?0.25??0.47??2.6?????3.9

???6.1???0.250.600.040.47???3.2???8.8??????0.04?3.3??2.8

?????????0.60????1.4???2.5??(X)??(X??)??8.8(x1?2.6)?2.8(x2?3.9)?2.5(x3?6.1)；

T（2）?(X)??8.8?(?0.8)?2.8?(?0.3)?2.5?0.9?5.63?0 所以，X?G1.

8.掷一枚硬币100次，观察到正面出现58次，能否认为该枚硬币是均匀的？(??0.05) 解：设正面出现的概率为p，则

H0:p?0. 52??(58?50)5022?(42?50)502?2.56

??(r?1)??2.56??20.050.05(1)?3.841

(1)，故接受H0，可以认为该枚硬币是均匀的.

??(??1)9.设总体的密度函数p(x;?)??cx,x?c,c?0，c为已知参数，??0为未知参数.

当样本容量为n时，求?的C?R下界. 解：lnp(x;?)?ln???lnc?(??1)lnx

?lnpx(?;??)?1?lnc?lnx

?

?lnp(x;?)??22??1?2

??2lnp(x;?)?1? I(?)??E?. ?22?????所以，?的C?R下界为

1nI(?)??2n.

10.假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为yi??xi??i,i?1,2,?,n，

2?i~N(0,?)且相互独立，求?的最小二乘估计.

n解：令 Q??(yi?1ni2??xi)

?Q????2?(yi??xi)xi?0

i?1n??解得 ??xyii?1ni.

2i?xi?111.设X1,X2,?,Xn,Xn?1是来自N(?,?)的样本，Xn?1n2(Xi?Xn)，试求常数C，使得tc?c21nn?Xi?1i，

S?2n?n?1i?1Xn?1?XSn服从t分布，并指出分布的

自由度.

解：Xn?1?Xn~N(0,??2?2n)，

(n?1)Sn2?2~?(n?1)

2(Xn?1?Xn)/n?1n~t(n?1)，c?故t?nn?1Sn. 12.总体X~U(?,2?)，其中??0是未知参数，X1,?,Xn是取自该总体的样本，X为样本均值，证明：???证明：E???E??223X是参数?的无偏估计和相合估计.

22??2???? X?＝EX?3323?? 所以??是?的无偏估计. 44DX? D???99nDX??0

9?1n2?42 所以??是?的相合估计.

13.总体X~N(?,?2)，?2已知，问样本容量n取多大时才能保证?的置信水平为95％的置信区间的长度不大于k.

解：?的置信水平为1??的置信区间为[x?u1??/22?n,x?u1??/2?n]

L?2u1??/2??2??3.92??22?k?n????u1??/2??? n?k??k?214.设X1,?,Xn是来自N(?,4)的样本，考虑如下假设检验问题 H0:??2,H1:??5

若拒绝域为W?{X?3}，样本容量n?16时，求该检验犯两类错误的概率. 解：??P(X?3|??2)

?3?2???1??(2)；

?4/16? ?1??? ??P(X?3?|? )5 ????3?5???1??(4)

?4/16?15.为了检验事件A发生的概率是否为p，对A进行了n次观察，结果A发生了nA次，若检验水平为?，试写出检验统计量和拒绝域.

?1,A发生解：设X?? 即要检验X的分辨率是否为

?0，A不发生 X 1 0 p q 根据卡方检验法，检验统计量 ??2(nA?np)np2?(n?nA?nq)nq2?(nA?np)npq2

22拒绝域：????(n?1)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t8cd.html