《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

《三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象》

教学案例

太原二中 王 桓

课题：三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象 教材分析：三角函数是继指数函数、对数函数和幂函数之后，高中学习的又一个基本初等函数的模型，同时，他又是高中数学中最后一个基本初等函数模型，因此，正弦函数、余弦函数的图象和性质的研究方法可以借鉴以前所学过的函数图象和性质的研究经验，同时这节课又可以作为以前所学方法的巩固课；再者，这节课中的正弦函数图象的作法可以将描点作图法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点展示的淋漓尽致。这节课的内容在整个高中数学的函数部分中起到不可忽视的作用。

正弦函数的图象作为三角函数的图象与性质的起始课，是在已学习了三角函数线知识的基础上来研究的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数y Asin( x )的图象和性质的知识基础和方法准备，因此具有非常重要的地位。

学情分析：

1. 学生在学习了必修1和必修3的基础上，在高一下学期第三学段学习本节内容，已经具备了研究函数的一般思维基础和能力基础，对问题的探究兴趣比较浓厚。

2. 学生对于三角函数的定义、三角函数线、诱导公式等基础知识理解比较到位。

3. 学生对于在平面直角坐标系中描出“无理点”的问题第一次遇到，如

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

何准确描点成为了学生学习的难点。

教学目标：

1. 经历利用单位圆中的正弦线画出正弦函数y sinx的函数图象的过程，进一步体会弧度制引进的意义，同时体会三角函数线在解决三角函数问题中的作用，理解描点法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点。同时体会数形结合思想在数学中的应用意义，形成严谨的思维习惯，体会动与静的辩证关系。

2. 经历将一个周期内的函数图象平移拓展至整个定义域内的函数图象的过程，理解周期函数图象的特点，同时体会变换思想在函数图象研究过程中的作用。

3. 经历“五点法”画出函数y sinx，x [0,2 ]的图象的简图的过程，体会“作函数图象的简图，可以通过作出其关键点来作图”这一方法，学会用“五点法”作出函数y Asin( x )一个周期内的函数图象。

4. 经历将正弦函数图象平移得出余弦函数图象的过程，体会正弦函数与余弦函数的关系，同时能够运用类比思想用“五点法”画出余弦函数的图象，同时体会数学知识间的联系性在解决问题中的作用，体会转化思想在数学中的应用方法，提高由已知向未知转化的能力和分析问题、解决问题的能力。 教学重点：理解正弦函数、余弦函数图象的作法

教学难点：理解用“将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点”和“将正弦曲线平移得到余弦函数图象”的方法分别得出正弦函数、余弦函数的图象。

教学策略：提出问题——分析问题——解决问题

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

通过类比二次函数问题的研究方法引入三角函数的图象问题，再类比二次函数的图象画法得出“描点法”画函数图象，进而解决描“无理点”的问题，然后类比二次函数的“五点法”作简图的方法用“五点法”作图，层层推进，最后，用诱导公式将余弦函数的图象问题转化为图象的平移问题，使问题迎刃而解。

教学过程：

一、复习回顾，提出问题

师：我们前段时间学习的三角函数的定义

是什么？

生：如图1所示，设 是一个任意角，它

的终边与单位圆的交点是P（x,y)，则

(1)sin y

(2)cos x (3)tan (x 0)

师：根据我们研究二次函数的经验，我们接下来需要研究三角函数的什么元素？

生：图象和性质？

师：具体点？

生：通过画出三角函数的图象，进而再通过观察函数图象获得对它的性质的直观认识。

（师适时进行了表扬：太完美了）

师：我们这节课首先来研究正弦函数的图象。

图1 x yx

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

二、分析问题、解决问题

（一）、函数y sinx的图象

师：我们在以前研究函数图象的时候是通过什么方法画出的图象？

生：列表——描点——连线

师：那你试着做一做吧！有没有信心啊？

生（大声回答）：有。

学生自己试着做。

一分钟后，有位成绩较好的学生甲举手了：老师：我取的是30 、60 的角，但是不会画3。 2

师：别的同学能帮助甲同学解决这个问题吗？

生乙（成绩也不错）：用计算器算一下，取的小数位多一些就可以了。 师：别的同学有赞同乙同学意见吗？

有很多同学表示赞同，不仅翘起大拇指。

师：甲同学，你还有什么想法？能理解乙同学的做法吗？

生甲：我觉得可行，但是不够准确。

师：同学们，我们画函数的图象，更多的是为了研究函数的性质，进而将这些性质运用于实践工业等领域，因此需要我们精确地作出图象，你还坚持这样的做法吗？

生乙：不坚持了，应该通过别的方法来作图。

生丙（比较调皮）：让老师用电脑做出来看的研究性质就行了。

师用几何画板作出函数y sinx的图象（绘制新函数），学生大呼一声“哇”。 师：同学们，我们现在看到的图象也是在原始的列表——描点——连线的

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

基础上经过技术处理的。咱们现在不妨从另一个角度考虑问题，列表中函数值得出的前提是什么？

生：定义。

师：那么，同学们，你能回忆正弦函数的另外的定义方法吗？

生：用三角函数线定义法：

y如图2所示：

角 的终边与单位圆交于点P,

过点作x轴的垂线，垂足为M，

则：

有向线段MP、OM分别称为角

的正弦线和余弦线。 M O P x x

师：那么，同学们，你现在

找到解决描点不准确的有效方法了吗？

生（思考片刻后）：平移正弦线。 图2

师（提出表扬）：很好，这正是我们这节课要解决的第一个问题。我们在无法描出无理数的时候，可以根据具体的实际情况采取几何法通过数形结合思想来解决。

师：你现在能画出图象了吧？试试吧！

（学生没有异议，开始画图象）

（五分钟后）

师：同学们，你作出的函数图象和老师用电脑作出的函数图象、课本上的图象形状一样吗？

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

生：不一样。

师：为什么？

（学生很诧异）

生：作的图象没有问题呀，怎么会不对呢？

师：同学们，相比较一下，你画出来的函数图象怎么样？

生：更扁了点儿。

师：我们现在用几何画板描点。 师根据学生的口述(30 ,)、(60

发现这两个点都不在函数图象上。

师（意味深长）：同学们，正弦函数的定义域是什么？

生：R

师：那么你取的自变量是什么？

生恍然大悟。

师进一步强调：我们只能在平面直角坐标系的坐标轴上找到对应实数的点，而找不到对应角度的点，这就是我们引入弧度制的又一伟大成功之处。

师进一步用几何画板描实点，验证此法的准确性。

师：那么，你现在能不能完成修改图象的任务啊？ 生：,,这些点还是无理数，而同时又没有办法平移，怎么办？ 3621231点，学生)，分别描出了（30）、（60）222

师：回忆1弧度角的定义。

生：在单位圆中，角的弧度数等于它所对的弧长。

师：那咱们不妨用老师发给你的工具（平面直角坐标系中固定的已经12等分的单位圆以及一条没有弹性的细线）来试试？

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

生小组合作完成，师巡视指导。（把用细线把单位圆中的角对应的弧长用细线标记，然后将标记的线段对应到x轴上，以坐标原点O为一个端点，则细线标记的另一个端点就是线段对应的角的弧度数，即所描点的横坐标。）

师鼓励学生。

师再次通过几何画板验证这样作图的准确性、合理性。

师：同学们，你还发现了什么结论？

生甲：老师，不用描太多的点，画出[0,2 ]范围内的函数图象就能看出整个函数图象的变化趋势。函数图象每过2 个单位长度就重复出现一次。

师：你能找出我们已经学习的理论依据吗？

生甲：诱导公式一。

师：非常好，甲同学善于思考的精神值得我们每个同学学习。函数的这个性质成为函数的周期性。我们可以运用这个性质，先画出区间[0,2 ]上的函数图象，然后再将函数图象向左，向右平移（每次2 个单位长度），就可以得到正弦函数y sinx,x R的图象。我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线。

师：同学们，你画正弦曲线累不累啊？

生：累。

师：对于二次函数，我们是如何解决同样的问题的？

生：画出关键的五点来确定二次函数的大致形状。

师：你能不能类比二次函数找到确定函数图象的若干个关键点，从而在要求不太精确的情况下画出函数的简图？

0），（2 ,0）生讨论后得出结论：五点法：与x轴的交点：(0,0)，（ ，；最高点：

3 （，1）（， 1），最低点：。 22

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

师：我们在以后要求不太精确的情况下，就可以通过画出以上的五点来画出函数y sinx在[0,2 ]上的简图，这种方法成为“五点（画图）法”。

（二）知识应用

用五点法画出函数y sinx 1,x [0,2 ]的简图。

给学生时间，学生用两种不同的方法（“五点法”直接列表描点和平移图象）画出了函数图象。

（三）函数y cosx的图象 师：请同学们作出y sin(x ),x [0,2 ]上的函数图象。 2

学生很顺利的完成任务。

师：我们这节课除了研究正弦函数的图象，还要研究余弦函数的图象，你能试着画出函数y cosx的图象吗？

生丁：我们由诱导公式可以知道，余弦函数也是周期函数。先画出y cosx,x [0,2 ]上的函数图象，在进行左右平移。

师：好，丁同学类比的非常好，值得学习。 学生实施上述方法作图，要求与函数y sin(x ),x [0,2 ]在同一直角坐标2

系中作图。

30秒后，学生发现规律，两个函数图象完全重合。

师：是巧合吗？ 生乙：不是，因为sin(x ) cosx 2

生丙：将正弦曲线向左平移个单位长度即可得到函数y cosx的图象。 师用几何画板验证。

师：函数y cosx的图象叫做余弦曲线。同样，它也能用“五点法”画出简 2

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

图吗？

生：能。五点是：与x轴的交点：(,0)，（2

（ ， 1）最低点： 3 ，0）；最高点：（0，1），（2 ,1)，2

师：非常好！

三、课时小结，提炼方法

师：同学们，你这节课有什么收获？能和大家交流交流吗？

生：我们学习了：

1、正弦函数、余弦函数的图象。

首先通过画出y sinx,x [0,2 ]的图象，然后将图象向左右平移得到函数y sinx,x R的图象——正弦曲线，将正弦曲线向左平移 个单位长度就得到了2

函数y cosx的图象。

其次，通过五点法画出了y sinx,x [0,2 ]和y cosx,x [0,2 ]的简图。

2、思想方法

类比思想、数形结合思想

师补充：我们在描点的过程中遇到了“无理点”画不出来的情况，用三角函数线平移和学具解决了，这也就启发我们，在以后的学习中，要充分的运用知识间的联系性，合理的运用转化、类比的数学思想，将数和形有机地结合在一起，借助适当的媒体克服困难，这样一切问题就会迎刃而解。

教后反思：

这节课，我采用了放手让学生作图象，跟着学生的思路走的方法进行。学生在这节课中，整体上还是积极思考，勇于探究的。

通过这节课的教学，我深深体会到：

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

1、作为教师，在课前认真客观的分析学情，并且根据学情对教材作出适当的处理尤为重要。同时，在课堂教学中，还给学生时间，给学生自由，远远比牵着学生的鼻子进行教学更有效果。根据布鲁纳认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的认知结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功。一方面，如果在教学中，教师不顾学生实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些知识点就会被排斥或“校正”后吸收。所以，在高中数学教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展的学生的主动精神，同时培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶。

2、由于我在以前的课堂上运用几何画板作过函数的图象并且运用它探究过函数的性质，因此，这节课就有学生提出用电脑作图，这是以前积累的结果，但是，学生的这一举动同时又使我反思：是不是这样做，会导致学生懒于自己描点，而是通过电脑来完成呢？这就启发我在以后的教学中要引导学生回归本

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

质，让其明白：电脑也是建立在前人手动研究基础上的结果。要认识事物的本质，还得通过自己积极动脑思考、动手操作才能真正实现。电脑软件只是我们研究问题时发挥启发性作用的一个媒体而已，我们只能够借助它。同时，我们要引导学生认识到：在研究具体问题时，可以借助各种媒体（如：物理仪器、生活用品等）来处理、来解决。

3、在这节课中，我给予了学生主动地位，使学生一直自主探究、合作学习，真正做到了课堂的主人，同时有效地渲染了课堂气氛。在学生提出“用电脑作图”之后，我给出了结果。而后我指出了学生手动的必要性，使得学生在合理要求得到满足的同时，有兴趣进一步探究，起到了引领作用，比较成功。

4、本节课，我始终引导学生将三角函数的问题类比“二次函数”的问题解决方案来自主探究，引导学生更加熟练地掌握“类比”方法在数学研究中的应用，同时使学生感到这种方法对于知识结构整合的有效性，从而培养学生在数学学习过程中运用“类比”这种方法的意识和习惯的同时，启发学生在生活中运用“比较”这种哲学思维进行思考的意识。

5、这节课中余弦函数的图象的处理问题上，我认为是比较成功的，因为诱导公式sin(x ) cosx属于变名公式，学生应用意识不强，因此，我首先给出习2

题“作出函数y sin(x ),x [0,2 ]的图象”让学生完成，学生既可以通过它巩2

固“五点法”画函数图象，又可以为后续接受知识做准备。与此同时，我引导学生经历类比“正弦函数图象的作法”作出余弦函数图象的过程，使学生在合作中体会三角函数线的作用，同时增强学生的合作意识和沟通能力。通过发现规律，突破难点——将正弦曲线向左平移个单位长度得到余弦曲线这一方法的理解。

2

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

6、周期性是三角函数特有的性质，但是学生在以前没有接触过周期性的概念和具有周期性的函数模型。如何突破周期性的运用——为什么要将[0,2 ]上的函数图象扩展至整个实数集上，就成了这节课的一个难点，学生不免想不到“终边相同的角的三角函数值相等”这一结论，因此，我巧妙地借助几何画板来实现这一跨越，使问题得以解决。

7、对于将角在弧度制下描点这一问题，我还是放手让学生去做，在学生没有提出点的横坐标不会描的情况下，我让学生自主画图，然后对比，发现问题后再解决，使学生思想上加深了对“画函数图象的前提是遵循函数的定义域”。这点突破比较成功，促使学生通过自我反思，自我实践的过程提升自己。

8、描“无理点”成为了这节课的又一难点，我采取让学生交流后启发引导学生找思路解决问题的方式进行，通过学生的交流，使得在我提出解决方案之后，学生顺利接受，同时将数学的严谨性贯彻到学生的思想中，引导学生形成严谨的科学态度。另外，这个问题的解决过程中，学生对于寻求问题的解决方法之一——联系已知知识，将未知转化成已知的方法有了较深的体会，同时对于学生理解“事物是普遍联系的”这一哲学观点具有较深的积极影响。

9、在这节课的引入上，我充分考虑学生现有知识结构和认知水平，做出了调整。由于学生物理课程中还没有学习匀速圆周运动和简谐振动等知识，因此学生很难从简谐振动的实验中得出结论——简谐振动是三角函数模型，进而得到简谐振动的图象就是三角函数的图象。这就启发我：如果从这个角度来使学生感知三角函数的图象必然适得其反，必然冲淡了这节课的主题，因此，我采用了借助媒体——几何画板来解决这个问题。同时，引入方面，我采用了一般到特殊的思维方法类比二次函数的研究程序来直接引入课题。这样做，既简明

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

扼要，直奔主题，又可以引导学生自觉主动地用研究函数的一般方法研究三角函数，为后续三角函数的性质和正切函数的图象的教学打下基础，有利于学生整合知识。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t8b4.html