高等代数 - （王萼芳 - 石生明 - 著） - 课后答案 - - 高等教育出版社

高等代数第三版（王萼芳 石生明） 习题解答 首都师范大学 数学科学学院 1100500070

高等代数习题答案（一至四章）

第一章 多项式 习题解答

172621、（1）由带余除法，得q(x)?x?,r(x)???

3999（2）q(x)?x?x?1，r(x)??5x?7

2??p?1?m2?0?q?1?m(2?p?m)?0?m?02、（1）? ， （2）由?得?或?。 22p?q?1??q?m?0?p?m?2?q?1?p?m?0?23、（1）q(x)?2x?6x?13x?39x?109,r(x)??327 （2）q（x）=x?2ix?(5?2i)，r(x)??9?8i

4、（1）有综合除法：f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1) （2）f(x)?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)

（3）f(x)?24(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)?2i(x?i)?(x?i) 5、（1）x+1 （2）1 （3）x?22x?1 6、（1）u（x）=-x-1 ，v（x）=x+2 （2）u(x)?? （3）u（x）=-x-1, v(x)?x?x?3x?2

322342342345243221122x?，v(x)?x2?x?1 33337、??u?0?u??2或?

?t?2?t?38、思路：根具定义证明

证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设?(x)是f（x）与g（x）的任意公因式，下证?(x)d(x)。 由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使 d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而?(x)f(x)，?(x)g(x)，可得?(x)d(x)。即证。

9、证：因为存在多项式u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x），所以

（f（x），g（x））h（x）= u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x）与g（x）h（x）的一个组合。

另一方面，由(f(x),g(x))f(x)知(f(x),g(x))h(x)f(x)h(x)。同理可得

(f(x),g(x))h(x)g(x)h(x)从而(f(x),g(x))h(x)是f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个最大公因式，又

因为(f(x),g(x))h(x)的首相系数为1，所以(f(x)h(x),g(x))h(x)?(f(x),g(x))h(x)。

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1

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10. 证 存在u（x），v（x）使所以(f(x)g(x))?0，由消去律可得

有因为f（x），g（x）不全为0，

所以

11.由上题结论类似可得。

12. 证 由假设，存在

使

（2），将（1）（2）两式相乘得

（1）

。

所以(f(x),g(x))h(x)?1

13. 证 由于

反复应用第12题结论，可得同理可证

从而可得

14. 证 有题设知f(x),g(x)?1，所以存在v（x），v（x）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而 u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以

(f(x),f(x)?g(x))?1同理(g(x),f(x)?g(x))?1再有12题结论，即证 (f(x)g(x),f(x)?g(x))?1

15、?1?3i。 216、（1）由x-2得三重因式 （2）无重因式。

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17、当t=3时有三重根x=1,；当t=18、4p?27q?0 19、a=1，b=-2 。

321?15由二重根x?。

2420、证 因为f（x）的导函数所以于是

从而f（x）无重根。

21、证 因为是

22、证 必要性：设x0是（fx）的k重根，从而是的一重根，并且x0不是充分性 由

而

的根。于是

，，由于a是的k重根，故a

的k+1重根。代入验算知a是g（x）的根。所以s-2=k+1?s=k+3，即证。

的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是

，而

。 ，知x0是

，知x0是

的一重根。又由于

的二重根，以此类推，可知x0是f（x）的k重根。

23、解：例如：设f(x)?24、证 要证明 有题设由

25、当n为奇数时，

1m?1x?1，那么f'(x)?xm以0为m重根。 m?1，就是要证明f（1）=0（这是因为我们可以把x看做为一个变量。

n，所以也就是f（1）=0，即证。

x?1?(x?1)[x?(???当n为偶数时

n2n?1)x?1][x?(???22n?2)x?1].....[x?(?2n?12??n?12)x?1]

n?12x?1?(x?1)(x?1)[x?(???剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：?n2n?1)x?1][x?(???22n?2)x?1].....[x?(?2n?12??)x?1]27、（1）利用

11，? 222 （3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。

28、（1）因为?1都不是它的根，所以x?1在有理数域里不可约

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3

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（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约

第二章 行列式 习题解答

1、均为偶排列 2、（1）i=8，k=3 （2）i=3 k=6 3、

4、当n=4k，4k+1时为偶排列 当n=4k+2,4k+3时为奇排列 5、

n(n?1)?k 26、正号

7、?a11a23a32a44，?a12a23a34a41，?a14a23a31a42 8、（1）原式=?(?1)n(n?1)2n!，（2）?(?1)n?1n! （3）?(?1)(n?1)(n?2)2n!

9、解：行列式展开得一般项可表示为a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，列标j3j4j5只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。

10、解：含有x的展开项中只能是a11a22a33a44，所以x的系数为2；同理，含有x的张开项中只能是

443a12a21a33a44，所以x3的系数为-1。

11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。 12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，所以若该行列式的第一行展开时含有xn?1的对

应项系数恰为(?1)n?1 乘一个范得蒙行列式

111a1a2a122a2........a1n?2n?2....a2..................于是，由a1,a2,a3....an?1为互不相同

2n?2an?1an....an?1?1的数即知含有xn?1的对应项的系数不为零，因而p（x）为一个n-1次的多项式。

3322513、（1）?294?10 （2）?2(x?y) （3）48 （4）160 （5）xy （6）0

14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。

4

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15、（1）A11=-6，A12=0，A13=0，A14=0，A21=12，A22?6，A23=0，A24=0，A31=15， A32=-6，A33=-3，

A34=0，A41=7， A42=0，A43=1，A44=-2

（2）A11=7，A12=-12，A13=3， A21=6，A22?4，A23=-1， A31=-5， A32=5，A33=5，A34=0。 16、 （1）1 （2）?313 （3）-483 （4）

812nn?117、（1）按第一行展开，原式=x?(?1)yn。

（2）从第二列起个人列减去第一列：

当n?3时，原式=0，当n=2时，原式=(a2?a1)(b2?b1)，当n=1时，原式=a1?b1

（3）(?x?m)(?m)ii?1nn?1

（4） （-2）（n-2）！

（5）各列加到第一列得：(?1)n?11(n?1)(n?1)! 2

18、提示：（1）分别将第i（i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行?（2）从最后一行起，分别将每一行乘以x后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解：

1 ai?1第 5 页 共 26 页 5

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19、（1）d=-70，d1=-70，d2=-70，d3=-70，d4=-70 x1?

dd1dd=1 x2?2=1 x3?3=1 x4?4=1 dddd

（2）d=324，d1=324，d2=648，d3=-324，d4=-648 x1?dd1dd=1 x2?2=2 x3?3=1 x4?4=-2 dddd（3）d=24，d1=96，d2=-336，d3=-96，d4=-168， d5=312

x1?

ddd1dd=4 x2?2=-14 x3?3=-4 x4?4=-7 x5?5=13 dddddd5=212

（4）d=665，d1=1507，d2=-1145，d3=703，d4=-395， x1?dd212d11057dd7922937= x2?2=? x3?3=- x4?4=? x5?5= d665ddd133d66513335得

20、证明：由

这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式

为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。

21、13.56 13.48

第三章 线性方程组 习题解答

1、（1）无穷多解 （2）无解 2、（1）??（3）（-8,3,6,0） （4）无穷多解 （5）无解 （6）无穷多解

5111?1??2??3??4 （2）???1??3 4444使

成立，这与

显然

。事实线性无

3、证 有题设，可以找到不全为零的数上，若

，而

不全为0，使

关的假设成立，即证

6

。故

即向量?可由

线性表出。

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4、证 设有线性关系带入分量，可得方程组

由于

5、证：设有线性关系

，故齐次线性方程组只有零解，从而?1,?2,....?n线性无关。

则

当r=n时方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列

式为一个范德蒙行列式，即

由定理得：方程组有唯一解，就是说

当r

线性无关。

则由上面（1）的证明可知

的延长向量所以

6、证：由线性关系，

。再由题设知也线性无关。

是线性无关的。而是

则

线性无关，所以

解得

7、

，所以

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线性无关

7

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证：设是都可由

中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量 线性表出就可以了。

是线性无关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾。这说明 ，再由

得任意性，即证。

所以

，且等于r。又因为

的一个极大线性无关组。

线性无关，故而

事实上，向量组

8、证：有题设知

9、

证： 将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。

若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量?不能由向量组（2）线性表出，此时将?添加到向量组（2）中去，得到向量组（3），且向量组（3）是线性无关的。

进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4）。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。 10、 证（1）由于（2）因为

线性无关。

再令

齐次方程组存在非零解，即11、解（1）

带入已知向量后，由于相应的其次线性方程组的系数行列式为0，因而该

线性相关，所以

可由

线性表出。

的对应分量不成比例，因而

且由

线性无关。

可解得

所以

对矩阵A做初等行变换，可得：

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所以

极大线性无关组。 （2）同理可得

为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3.

的秩为3，且即为所求

13、设?1,?2,....?n的秩为r?n，因而从而r=n。故?1,?2,....?n线性无关。

的秩为n，有题设和上题知n?r

14、证：必要性。设?1,?2,....?n线性无关，但是n+1个n维向量对于任意n维向量?，他必可由?1,?2,....?n线性表出。

充分性：任意n维向量?1,?2,....?n可由线性表出，特别的单位向量出，于是有上题结果即证?1,?2,....?n线性无关。 15、

证:充分性:有克莱姆法则即证. 必要性:记

,

必线性相关，于是

可由?1,?2,....?n线性表

则原方程组可表示成

,有题设知,任意向量?都可由?1,?2,....?n表出,因此由上题结果可

知?1,?2,....?n线性无关.

进而,下述线性关系, 16. 由于

个数必定相等，这样

与

有相同的秩，因此他们的最大线性无关组所含向量

的最大线性无关组也必为

的极大线性

,仅有唯一零解,故必修有

,即证.

无关组，从而他们有相同的最大线性无关组。 17、

证：只要证明向量组等价即可。有题设，知 现在把这些等式统统加起来，可得（i=1,2，。。。r）即证

等价。

18、（1）4 （2）3 （3）2 （4）3 （5）5

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9

可由

于是

线性表出，从而向量组

线性表出。

，

与

也可由

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19、（1）?=1时 无穷多解 ?=-2时无解

??11(??1)2,x2?,x3? ??1且??-2时方程组解唯一，x1????2??2??2

?3?3?2?15??9?3?12??94?3??3?2?12??9,x2?,x3? ??0且??1时方程组解唯一 ：x1?22?(??1)?(??1)?2(??1)（3）当行列式D?0时，即a?1且b?0时，方程组有唯一解，且为 x1?2b?111?2ab?4b,x2?,x3?

b(a?1)bb(a?1)当D=0时若b=0无解 若a=1时无解 当a=1，b=

1时方程有无穷多解。 220、（1）无穷多解?1?(1,?2,1,0,0),?2?(1,?2,0,1,0),?3?(5,?6,0,0,1) （2）无穷多解?1?(?1,1,1,0,0),?2?(?,,0,1,3) （3）无穷多解??(,1,,7522122131,) 31241454（4）无穷多解?1?(?1,?1,1,2,0),?2?(,0,0,,1) 21、（1） （4）

其中k为任意常数。

（6）

其中为任意常数。

其中k为任意常数。

22、解：对方程的增广矩阵做行初等表换：

10

第 10 页 共 26 页

于是，只有a=0且b=2时，增广矩

阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；当a ?0且b ?2时，原方程组都无解。当a=0，b=2时原

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方程组与方程组同解。且其一般解为

其中为任意常数。

23、证：对方程组的增广矩阵做行初等变换，有

此时A的秩为4，A的秩为4的充分必要条件是

因此，原方程组有解的充分必要条件是

，其次，当

时，原方程组与方程组

，

同解，所以他的一般解为

其中k为任意常数。

24、证：由于两个等价的线性无关组所含向量个数是相等的，不妨设基础解系，且

与他等价，则ai（i=1,2，。。。r）可由

是齐次线性方程组的一个线性表出，从而ai（i=1,2，。。。

r）也是其次线性方程组的解。 又由题设知

组的任意一个解?也可以由

线性无关，且

可由

线性表出，即证

线性表出，从而其次线性方程也是方程组的一个基础解系。

25、证：由于方程组的系数矩阵的秩为r，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n-r。

设则向量组理即证。

第 11 页 共 26 页

11

是方程组的一个基础解系，

的秩仍为n-r，且

也是他的一个极大线性无关组，所以

是方程组的任意n-r线性无关的解向量，

是他的一个极大线性无关组，同与

等价，再由上题

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26、证：线性方程组为有题设，是该

方程组的t个解，现将代入方程组，得

，所以

仍是方程组的一个解。即证。

第四章 矩阵

1、解：（1）

（2）

其中

，

2、

（3）采用数学归纳法，可证

事实上，当n=2时有

当n=k-1时归纳假设结论成立，即

结论成立。

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当n=k时，有

即证成立。

（4）采用数学归纳法：可证

事实上，当n=2时，有

结论成立。

当n=k-1时，有数学归纳法成立，即

于是当n=k时有

其中

，因而有

，同理可得

，

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（8）采用数学归纳法可证

事实上当n=1时，结论显然成立，现在归纳法假设

于是

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结论成立 3、

（2）

4、

于是，所以故c=0，a=d，b任意，从而所有与A

可交换的矩阵为

（2）同理记

其中，a，b为任意常数。

并设

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于是

所以

比较对应的（i，j）元，可得

，

于是所有与A可交换的矩阵为

于是

故得

其中a，b，c为任意常数。

5、

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有

于是与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。

6、证 设

于是与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵。 7、

所以

，

得

因此A时数量矩阵。

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17

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8、

9、

，

即

10、证 设

，

则

因而必有

11、证 AB=BA时有

12、

，即证A=0。

，所以AB是对称矩阵。反之当

时有

13、

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14、

只要取

即可。

。

15、有题设知n维向量空间中的所有向量都是其次线性方程组AX=0的解，故方程组的基础解析含有n个线性无关的解向量，所以r（A）=0，即证A=0。 16、

，由BC=0得

因为其次线性方程组的系数行列式不为零，故他只有唯一零解，即因而B=0

（2）若BC=C，则BC-EC=(B-E)C=0,由（1）知B-E=0，因此B=E。 17、

于是

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18、故有

，

19、证

，即证

20、

所以

。

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所以

所以

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所以

所以

，

，

22

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所以

21、解：

因此， 又由于

，

故

22、解：

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23

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则

而

故

23、

解：

（2）

（3）

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（4）

24、

25、

假定

其中

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26、

即证。

27、

于是

即证。

?1111???1?1?11?1??128、A?

4?11?1?1???1?1?11??方法一：初等行变换。方法二：按A的列分利用分块乘法的初等变换。

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