统计建模期末考试题（附答案）

第一部分 基本理论和应用

1、计算题(满分10分)

设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率.

2、计算题（满分10分）

设某种电子元件的使用寿命服从正态分布N(?, ?2)，现随机抽取了10个元件进行检测， 得到样本均值x?1500(h)，样本标准差S?14(h). 求总体均值?的置信概率为99％的置信区间

3、计算题（满分10分）

从正态总体X~N(3.4, 62)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

4、计算题（满分10分） 设总体X的概率密度为：

?(??1)x?,0?x?1, (???1) f(x;?)??0,其他，?X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，求参数?的矩估计量和极大似然估计量.

5．（15分）设总体X服从区间[0，?]上的均匀分布，?＞0未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本,（1）求?的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？

6. （15分）设X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn是取自总体的简单随机样本，X为样本均值，S为样本二阶中心矩，S为样本方差，问下列统计量：（1）

2n222nSn?2，（2）

X??Sn/n?1，

?(X（3）

i?1ni??)2各服从什么分布？

?2

7. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

9. （10分）某商品的每包重量X~N(200,?2).若要求P{195?X?205}?0.98,则需要把?控制在什么范围内.

10. （15分）设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为串联,并

联和备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图7.1所示.L1和L2的寿命为X和Y,分别有密度pX(x)??e??xI(0,??)(x)和pY(y)??e??yI(0,??)(y),其中??0,??0且???.请就这三种联接方式分别写出系统L的寿命Z的密度.

答案

第一部分 基本理论和应用 1、计算题(满分10分)

设电路供电网内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关是相互独

立的，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900与7100之间的概率. 解：设同时开着的灯数为X，X?b(10000,0.7) ……………2分

X?10000*0.7?N(0,1)（近似） ……………3分

10000*0.7*(1?0.7)100)?1?0.971 …………5分 2100 P{6900?X?7100}?2?(2、计算题（满分10分）

设某种电子元件的使用寿命服从正态分布N(?, ?2)，现随机抽取了10个元件进行检测，得到样本均值x?1500(h)，样本标准差S?14(h). 求总体均值?的置信概率为99％的置信区间. 解： T?X??n?t(n?1) P{T?t0.005(n?1)}?0.99 ………4分 SSSt0.005(n?1)?X?X?t0.005(n?1)}?0.99 ………………4分 nn P{X? 所求为（1485.61，1514.39） …………2分

3、计算题（满分10分）

从正态总体X~N(3.4, 62)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值位于区间 (1.4，5.4) 内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？ 解： X?3.4n?N(0,1) ………………3分 6P{1.4?X?5.4}?P{X?3.42nnn?}?2?()?1 ……………4分 663解2?(n)?1?0.95 得n?34.6 n至少取35 ……………3分 3

4、计算题（满分10分） 设总体X的概率密度为：

?(??1)x?,0?x?1, (???1) f(x;?)??其他，?0,X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，求参数?的矩估计量和极大似然估计量.

解： E(X)??10(?+1)x??1dx???1 ……………3分 ??2 解

2X?1??1?X，得?的矩估计量为 ……………2分 ??21?Xn L(?)＝（??1）(?x)ii?1n? lnL?nln（??1）+??lnx ……………2分

ii?1nndlnLn 令???lnxi?0 得?的极大似然估计量为?1?d???1i?1n?lnXi?1n …………3分

i5．（15分）设总体X服从区间[0，?]上的均匀分布，?＞0未知，X1,X2,?,Xn是来自X的样本,（1）求?的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？ 解：（1）EX??2，令

?2??2X； ……………5分 ?X，得?的矩估计量?1?1?n,0?x1,x2,?,xn?? 似然函数为：L(x1,x2,?,xn;?)?????

?0，其它???max?X,X,?,X??X。 其为?的单调递减函数，因此?的极大似然估计为?212n(n)??2EX??，所以??为?的无偏估计量。 ……………5分 （2）因为E?11??x?n?11,0?x???n?又因为X(n)的概率密度函数为：f(n)(x)??? ?????0,其它? 所以EX(n)???0?x?xn?????n?11?dx?n? n?1n?1X(n)为?的无偏估计量。 n?为?的有偏估计量，而??3? 因此?2?2/12?2?? （3） D?1?4DX?4?， ……………5分

n3n???n?1?DXD?3(2)???n?

2??2?x?n?11?n??xn??dx????? ???0??n?1???????11?(n?2)??2??2?D?1n(n?2)3n2?n?1?????n?2??于是?3

n?1??2X更有效。 X(n)比?1n6. （15分）设X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是取自总体的简单随机样本，X为样本均值，S为样本二阶中心矩，S为样本方差，问下列统计量：（1）

2n22nSn?2，（2）

X??Sn/n?1，

?(X（3）

i?1ni??)22?各服从什么分布？

解：（1）由于

(n?1)S2?221nn?12~?(n?1)，又有S??(Xi?X)2?S

ni?1n22n nS?(n?1)S，因此

2n2nSn?2~?2(n?1)； ……………5分

SnSnn?1（2）由于

X??S/n~t(n?1)，又有X???，因此

Sn/n?1~t(n?1)； ……………5分

Xi??（3）由Xi~N(?,?2)(i?1,2,?,n)得：

n?~N(0,1)(i?1,2,?,n)，由?2分

布的定义得：i?1?(Xi??)2~?2(n) ……………5分

?27. （10分）一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

解：第1个能正确回答的概率是5/8, ………5分

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)?15/56, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)?5/56,

前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)?1/56, …5分 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)?0.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布

X P 0 5/8 1 15/56 2 5/56 3 1/56 8. （10分）设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解：设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是P(X?4).

1) 用二项分布公式计算 …5分

kP(X?4)?1?P(X?4)?1??k?0C1000.04k(1?0.04)100?k?0.5705.

3 2) 用泊松近似律计算 …5分

P(X?4)?1?P(X?4)?1??3Ck0.04k(1?0.04)100?kk?0100?1??3k?04k?4e?0.5665. k!9. （10分）某商品的每包重量X~N(200,?2).若要求P{195?X?205}?0.98,则需要把?控制在什么范围内. 解 设Z?X?200?~N(0,1),则Z~N(0,1). …4分

205?200??195?200P{195?X?205}?P??Z????(5/?)??(?5/?)?2?(5/?)?1.

????P{195?X?205}?0.98?2?(5/?)?1?0.98

?5/????1(0.99)?2.33???5/2.33?2.15. …6分 10. （15分）设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为串联,并

联和备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图7.1所示.L1和L2的寿命为X和Y,分别有密度pX(x)??e??xI(0,??)(x)和pY(y)??e??yI(0,??)(y),其中??0,??0且???.请就这三种联接方式分别写出系统L的寿命Z的密度.

解：X,Y独立,分别服从参数为?和?的指数分布,因此分别有分布函数 …3分

FX(x)?(1?e??x)I(0,??)(x)

和

FY(y)?(1?e??y)I(0,??)(y).

1) 联接的方式为串联时,Z?min{X.Y}, …4分 FS(z)?P{min(X,Y)?z}?1?P{min(X,Y)?z}

?1?P(X?z)P(Y?z)?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]?(1?e?(???)z)I(0,??)(z),

?(z)?(???)e?(???)zsI(0,??)(z). pZ(z)?FZ 2) 联接的方式为并联时,Z?max{X.Y}, …4分 FZ(z)?P{max(X,Y)?z}?P(X?z)P(Y?z)?FX(z)FY(z) ?(1?e??r)(1?e?b?r)I(0,??)(z),

?(z)?(?e??z??e??z?(???)e?(???)z)I(0,??)(z). pZ(z)?FZ 3) 联接的方式为备用时,Z?X?Y, …4分 pZ(z)??????zpX(x)pY(z?x)dx???????e??xI(0,??)(x)??e??(z?x)I(0,??)(z?x)dx

z0 ?I(0,??)(z)??e??x?e??(z?x)dx???e??zI(0,??)(z)?e?(???)xdx.

0 因此,

当???时, pZ(z)???(e??z?e??z)I(0,??)(z), ??? 当???时, pZ(z)??2ze??zI(0,??)(z).

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