九年级数学圆知识精讲

九年级数学圆知识精讲

初三数学圆知识精讲

一. 本周教学内容： 圆

1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理：

（1）垂径定理及其推论。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 （3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4）圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6）切线长定理。

（7）相交弦、切割线、割线定理。

（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 （9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 （11）正n边形的有关计算。

圆这一章中的知识点包括5个B级，13个C级，3个D级水平的共21个知识点，多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。

二. 中考聚焦：

圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：

圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三. 知识框图：

圆的有关性质

直线和圆的位置关系 圆

圆和圆的位置关系 正多边形和圆

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点和圆的位置关系（这是重点）圆的定义

不在同一直线上的三点确定一个圆

轴对称性—垂径定理（这是重点） 圆的有关性质 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系

圆心角定理 圆的有关性质

旋转不变性 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点）

相离

相交

切线的性质（这是重点） 直线和圆的位置关系 切线的判定（这是重点） 相切 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点）

外离 内含

圆和圆的位置关系 相交

内切（这是重点） 相切

外切（这是重点）

两圆的公切线

正多边形定义

正多边形和圆

正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）

正多边形和圆

圆周长、弧长（这是重点）

圆的有关计算 圆、扇形、弓形面积（这是重点）

圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）

【典型例题】

例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：

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安 120m 全

区

爆破中心 域

解： 导火索燃烧的时间为

18

20(s) 0.9

相同时间内，人跑的路程为20 65. 130(m) 人跑的路程130m 120m

∴点导火索的人非常安全

例2. 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。

分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB

。

此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论：

（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：

过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CE＝DE ∵AB∥CD，OE⊥CD

∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高 在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4 OE

OC2 EC2 42 12

7

同理，OF

EF OE OF S梯形ABCD

1

2 6 7 4 4 47 2

（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：

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过O作OE⊥CD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 EF 7

梯形ABCD的面积为4 7 或4

S梯形ABCD

1

2 6 7 4 4 47 2

例3. 如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。

分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为

tan∠ABD·tan∠ABC

ADACAD·AC

· ，则可求。 BDBCBD·BC

解：连结BC、BD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90° ∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC

tanC·tanD tan∠ABD·tan∠ABC 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F 则△AEC∽△ADB

ADACAD·AC

·

BDBCBD·BC

ACAB

AEAD

∴AC·AD＝AE·AB 同理，BD·BC＝BF·AB

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tanC·tanD ∵△APE∽△BPF ∴

AE·ABAE

BF·ABBF

AEAP

BFBP

AP3AE

，∴ 3 BP1BF

∵P为半径OB的中点 ∴

∴tanC·tanD＝3

例4. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上任一点，求证：DB DC

DA

⌒

分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE ∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60°

∵四边形ABDC是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD

在△AEB和△ADC中，

BE CD

∠ABE ∠ACD

AB AC

AEB ADC ∴AE＝AD

∵∠ADB＝60°

∴△AED是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA

说明：本例也可以用其他方法证明。如：

（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。

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（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。

例5. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。

分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。

解：连结OD，BD

⌒⌒

AD DC，∴AD DC

∴∠ABC＝∠AOD ∴OD∥BC ∴

ODEO

BCEB

OD2

，∴OD 8 123

∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO BC 12，∴

∴AB＝16，BE＝24

∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠EDA＝∠EBC ∵∠E是公共角 ∴△EDA∽△EBC ∴

ADEAED

BCECEB

设AD＝DC＝x，ED＝y，则有

xy8 1224x y

解方程组，得：x 4 AD 42 ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝∠F＝90° 又∠DAB＝∠FCB ∴Rt△ADB∽Rt△CFB

ADAB416

，即 CFBCCF12

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CF 2

说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。

例6. 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于

点F、D，过D作⊙O的切线交FC于E，若AF＝7，cosB

3

，求CE的长。 5

解：连结FD

∵AB是直径，∴AD⊥BC

∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB ∵四边形ABDF是圆内接四边形 ∴∠CFD＝∠B ∵∠C是公共角 ∴△ABC∽△DFC ∴

CDDF

AC AB

∵AB＝AC ∴CD＝DF

（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。） ∵DE切⊙O于D ∴∠FAD＝∠EDF

又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB ∴∠CDE＝∠DAB ∴∠CDE＝∠EDF ∵CD＝FD

∴CE＝EF，DE⊥CF

cosB

3

5，∠B ∠C cosC 3

5

在Rt ACD中，cosC

CDAC 3

5

∴设CD＝3x，AC＝5x

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在Rt CDE中，cosC EC

EC3EC

，即 CD53x

9

x 518x 5

AC AF 2CE 5x 7

x 5 ∴EC＝9

例7. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。

解：∵公共弦AB＝120 a4 R6 120

a 222

r6 R6 4 60 60

2

O1 60，a4 120，R4

o

2

AB 60 2

2

a 2

r4 R4 4

2

2

602

602 60，∠O2 90o

S弓形AmB S扇形AO2B S AO2B

90 R214 a4r4 1800 3600

3602

S弓形AnB S扇形AO1B S AO1B

60 R216

a6r6 2400 36003

3602

S阴影 S弓形AmB S弓形AnB 4200 36001 3

两圆相交弧间阴影部分的面积为4200 36001 3cm

例8. （2003年黄冈市中考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。

2

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（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）。

（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果

精确到0.1cm，取173.

）

解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可。

解：（1）如图（2），作O1E⊥O2O3 O1O2 O2O3 O3O1 0.75 O1E

3

4

33

428

333 3

cm 843321

cm 44

AB 2 AD 7

∴四边形ABCD的面积是：

213 3633 63 cm 2 4416

（2）制作一个烟盒至少需要纸张：

633 633 3 212

8.4 8.4 144.096 144.1 cm 2

1644

例9. 在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。

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H

A B C

G

如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm OH 10cm，BC OC

1

AB 8cm 2

OB2 BC2 2 82 6cm

CH OH OC 10 6 4cm CG OC OG 6 10 16cm 故所求弓形的高为4cm或16cm

例

10. ⊙O的直径AB 2cm，过A点有两条弦AC=2cm，AD

3cm，求

∠CAD所夹圆内部分的面积。

解：符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心O在∠CAD的内部，如图（1），连结OC、OD，过O作OE⊥AD于点E

OA OC 1，AC ∴OC⊥AB

S1 S AOC S扇形BOC OA 1，AE

2

190 1 1

1 1 236024

13AD 22

2

3 112

OE 1 ，即OE OA

22 2

S2 S AOD S扇形BOD

1160 1 3 3 2236046

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S S1 S2

1 3 2 5 2 cm 2446 412

（2）圆心O在∠DAC的外部时，如图（2），有： S S1 S2

1 3 2 2 cm 2446 412

2 5 2 2

2

∠CAD所夹圆的内部的面积为： cm或 cm

12 12 4 4

例11.

o

已知圆O中，AB、CD为两条弦，AC的度数为130，BD的度数为90o,

M、N分别为AB、CD的中点，求 MON的度数。

分析：由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：（1）当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图（1）连结OD、OB。 ∵M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O

OM、ON的延长线平分AB、CD

1 1 mmAB， DON CD BOM22

1 m(AB CD) BOM DON2

AC的度数为130 ，BD的度数为90

CD AB的度数为360 130 90 140

BOM DON 70

m BODBD 90

MON 90 70 160

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图（1）

（2）当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图（2），连结OB、OC

1 1 mmAB， CONCD 同理可证， BOM

22

1 1 mAD CD BC 而 MON BOM CON BOC22 1

(AD DC BC DC) BC

2

1 1

(AC BD

) (130 90 ) 20

22

图（2）

（3）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的内部时，如图（3），∠DPA是圆内角，

1m1

(AD BC) (360 AC BD) 70 则 DPA22

MON 180 70 110

OMP ONP 90

图（3）

（4）当AB、CD相交于点P，且圆心O在∠DPA的外部时，如图（4）

1 1 m(AD BC) (AC BD) 20 ，又 ONP 90 DPA22

NQP MQO 90 20 70 ， MON 20 综上所述， MON的度数为20 或110 或160 。

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图（4）

例12. （长沙市，2000）已知：如图，圆心A（0，-3），圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N：（1）求证△AOB∽△NPB；（2）设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：r2＝3：2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；（3）设点B（x1，0），点B关于y轴的对称点B’（x2，0），若x1·x2＝-6，求过B’、A、B三点的抛物线解析式；（4）若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC＝33时，B点在x轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？

解：（1） AO x轴，MP AB， ABO NBP， AOB NPB

（2） A(0， 3)， OA AP 3 又 r1:r2 AP:PB 32: PB 2，AB 5，BO

52 32 4

ABBO

NBBP

AB BP5 25

NB

BO4253

ON 4

22

3

点N的坐标为（，0）

2

由Rt APM Rt AOB

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AM AB 5， 点M的坐标为（0，2） 设直线MP的解析式为y＝kx＋b，

4 2 k 0 b，

k ，

则有 解得 3 3

0 k b， 2 b 2，

MP的函数解析式为y

2

4

x 2 3

（3）设抛物线为y＝ax＋bx＋c（a≠0）

2

令y＝0，则有ax＋bx＋c＝0 ∵B与B’关于y轴对称， ∴x1＋x2＝0，即b＝0， 又点A（0，-3），∴C=-3 x1 x2 a

c 3

6 aa

1 2

12

x 3 2

抛物线的解析式为y （4）∵MC＝MP

∴可证△APM≌△AOB

MC MP BO 点B的坐标为（3，0）

猜想：圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。

【模拟试题】 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知AB是⊙O的直径，半径EO⊥AB于O，弦CD⊥EO于F点，若∠CDB＝120°，则CD的度数为（ ）

A. 10° B. 15°

C. 30°

D. 60°

⌒

⌒⌒

2. 如图，已知⊙O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且AC、BD的度数为130°、

90°，则∠MON的度数为（ ）

A. 70° B. 90° C. 130°

D. 160°

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D B O

3. 已知△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，若r是内切圆半径，则△ABC的面积可以表示为（ ） A.

1

a b c r

4

B.

1

a b c r 2

C. a b c r D. 2 a b c r

2

2

2

4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若R d r 2Rd，则这两圆的位置关系为（ ） A. 外离或外切 C. 外切或内切

B. 相交或内切 D. 内切或内含

5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足1

a

，则这个多边形是R

（ ）

A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形

6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ） A.

二. 填空题：（本题共16分，每小题4分）

2 2

B.

5

2 2

C.

52

1

D. 5

2 1

⌒

7. 已知△ABC，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则AD

的度数为_____________。

8. 已知△ABC内接于⊙O，F、E是AB的三分之一点，若∠AFE＝130°，则∠C＝____________度。

9. 已知PA切⊙O于A，∠APO＝30°，若PA 123，OP交于⊙O于C，则PC＝____________。

10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_______。

三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分）

⌒

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11. 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若弦CD把⊙O分为2：1的两部分，且CD 43，求⊙O的直径及AE长。

12. 已知等边△ABC内接于⊙O，E是BC上一点，AE交BC于D，若BD：DC＝2：1，且AB＝6，求DE长。

13. 如图所示，AB是⊙O的弦，EF切⊙O于B，AC⊥EF于C。 求证：AB2 2AC·

AO

⌒

四. 解答题：（本题共24分，每小题8分）

14. 如图所示，AB切⊙O于B，AE过O点交⊙O于E、C，过C作⊙O切线交AB于D，若

AD 2BD。

求证：AE

AB

15. 如图所示，△ABC中，∠A＝90°，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB＝3，AC＝4，求阴影部分的面积。

16. 如图所示，⊙O与⊙O'交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问因割线CAD的位置不确定，∠CBD的大小是否改变？

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五. 解答题：（本题共18分，每小题9分）

17. 如图所示，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B、C，若AC CE，AE交BC于D，且∠BEA＝30°，DB＝1，求AP及PB长。

⌒⌒

18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？

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[参考答案]

一. 选择题。 1. D 2. D 3. B

提示：设△ABC的内切圆的圆心为O

连结OA、OB、OC，则△ABC可分割成三个三角形：△ABO，△BCO，△ACO 则S ABC S ABO S BCO S ACO

1 2a r 12b r 12c r 1

2

a b c r 应选B 4. C

提示：依题意，有：R2

2Rd d2

r2

0 R d 2

r2 0 R d r R d r 0

所以，R d r 0或R d r 0 即R r d，或R r d 两圆内切或外切 5. C

提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a 2R

因为a6 R，a4

2R，所以a6 a a4

则a6 a5 a4，是正五边形，应选C。 6. D

提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE＝EF＝FH

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A E F D

G H

B C

设EF＝x，则根据勾股定理，AE DF 22

x 则有AD AE EF FD 即x 2·

2

2

x 5

x

5

2 1

5 2 1

应选D 二. 填空题。 7. 56° 8. 75°或105° 提示：如图所示：

∵∠AFE＝130°，∴ABE⌒

的度数为260° 则AE⌒

的度数为360o 260o 100o

∵F、E是AFB⌒

的三分之一点

AF⌒ FE⌒ EB⌒

AF⌒ FE⌒ EB⌒

50o

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∠Cm

AFB⌒

150o或∠C 105o

9. 12 10. 3：1

如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r

则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为23

3

r 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方

22

即 2r 2

：

3 3r

3：1

三. 求解下列各题：

11. 解：如图，分两种情况：（1）点E在OA上；（2）点E在OB上

（1）∵直径AB⊥弦CD于E，CD 43 ∴根据垂径定理，有：CE ED 23 A、B分别为CAD⌒和CBD⌒

的中点 ∵CD把⊙O分成2：1两部分

∴CD⌒

的度数为120°，CBD⌒的度数为240°

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连结BC，则∠Bm12AC⌒ 60o 12

30o 在Rt BCE中，BE cot30o

CE

23 6

CE2 AE EB

2

AE

CE 2

2

EB 6

2

AB AE EB 8

（2）当点E在OB上时，AE＝6 ∴直径为8，AE＝6或2

12. 解法一：如图（1），∵△ABC是等边三角形，AB＝

6

图（1）

∴BC＝AB＝AC＝6，∠B＝∠ACB＝60° ∵BD：DC＝2：1 ∴BD＝4，CD＝2 ∴AD·DE＝BD·CD＝8 连结CE，∵∠B＝∠E＝60° ∴∠ACB＝∠E ∵∠CAD是公共角 ∴△ACD∽△AEC

AC2

AD AE 36 AD AD DE AD2

AD DE AD2 28，AD 27

DE BD CDAD 847

2

7 解法二：如图（2），过A作AG⊥BC于G

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