随机过程期末知识点(李裕奇)
更新时间:2023-10-11 00:24:01 阅读量: 综合文库 文档下载
1、一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志,她的顾客每天按比率 =6的Possion过程来订约,他们分别1/2,
1/3, 1/6的概率订阅一年,二年或三年,每个人的选择是相互独立的,对于每次订阅,在安排了订阅后,订阅一年,她得到1元手续费,令X(t)表示她在[0,t]内从销售订阅得到的总手续费,求X(t)的均值函数和方差函数
例1 设X(t)?Acos?t?Bsin?t,t?0,A,B相互独立同服从区间[?1,1]上的均匀分布,令Y(t)??t0X(s)ds,求{Y(t),t?0}的均值函数和协方差函数.
例2 设{W(t),t?0}是参数为1的Wiener过程,令X(t)?
例二解
?t0W(s)ds,t?0,求{X(t),t?0}的均值函数与相关函数.mX(t)?E?W(s)ds??EW(s)ds?0 .
00ttRX(s,t)??
s02?R0utW(u,v)dudv
??s0??0s0stmin(u,v)dudv
0??2?du?min(u,v)dv ??2?du?min(u,v)dv
0ut??
2?s0du?vdv??0u2??udv(s?t)
0ust??2s26(3t?s) ,(s?t)
由 s 与 t 的对称性
??2s23t?s?,0?s?t;???6RX?s,t???22
??s?3s?t?,0?t?s.??6
例4:求随机相位正弦波X(t)?acos(?t??) ???t???,?1 0???2?? 解:由假设?的概率密度为:f?????2??? 0 其他
??~U(0,2?)?的均值函数、方差函数和自相关函数。2?1acos?t???于是?X(t)?E[X(t)]?E???????0acos??t????2?d??0
RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[a2cos(?t1??)cos(?t2??)]
2??a2?cos(?t1??)cos(?t2??)?1d?
02?2212aa===cos?? ?cos?(t2?t1)22222a ?X(t)?RX(t,t)??X(t)?RX(t,t)?2??t?t ?Xn,n?0,1设,2,?是一齐次马氏链,则 对任意的u,v?T??0,1,2,?有: ?u?v???u??v?P??PP i,j?1,2,ijikkj k?1 这就是著名的chapman?kolmogorov方程, 简称C?K方程例1:设?Xn,n?0?是具有三个状态0,1,2的齐次马氏链,???一步转移概率矩阵为????341401412340??1?4??1?4? 初始分布pi?0??P?X0?i??1i?0,1,23试求: ?1? P?X0?0,X2?1,X4?1?;?2? P?X2?1,X4?1,X5?0|X0?0?;?3? P?X2?1,X4?1,X5?0?
5?85P?2??P2??解:由C?K方程可得二步转移概率矩阵为:?163??165161291611631614??? ???5?1?5 ?1? P?X0?0,X2?1,X4?1??p0?0?P01?2?P11?2??1316296
?2? P?X2?1,X4?1,X5?0|X0?0??P01?2?P11?2?P10?5?1?1?51624128
?3? P?X2?1,X4?1,X5?0??P?X2?1?P11(2)P10
?{p0(0)P01(2)?p1(0)P11(2)?p2(0)P21(2)}P11(2)P10 ?1(5?1?9)?1?1?1131621624192例4:某计算机机房的一台计算机经常出故障,研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行
状态,收集了24个小时的数(共作97次观察),用1表示正常状态,用0表示不正常状态,所得的数据序列如下:
11100100111111100111101111110011111111100011 01101111011011010111101110111101111110011011 111100111
设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态,可以认为它是一个齐次马氏链. 求(1)一步转移概率矩阵;
(2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0,问在此条件下,从此时段起,该计算机能连续正常工作45分钟(3个时段)的条件概率.
解: (1) 设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态,可以认为它是一个齐次马氏链,状态空间I={0,1}, 96次状态转移情况是:
0→0:8次; 0→1:18次; 1→0:18次; 1→1:52次; 因此一步转移概率可用频率近似地表示为:
P00?P?Xn?1?0|Xn?0??8?8,
8?1826P01?P?Xn?1?0|Xn?1??18?18
8?1826
P10?P?Xn?1?1|Xn?0??P11?P?Xn?1?1|Xn?1???8?26即:P???18??7018?26?? 52?70??18?18,
18?527052?52 18?5270
(2)某一时段的状态为0,定义其为初始状态,即X0?0,所求概率为:
P?X1?1,X2?1,X3?1|X0?0?
?P?X1?1|X0?0?P?X2?1|X0?0,X1?1??P?X3?1|X0?0,X1?1,X2?1??P01P11P11?185252?0.382
267070设任意相继的两天中,雨天转晴天的概率为13,晴天转雨天的概率为12,任一天晴或雨是互为逆事件.以0表示晴天状态,以1表示雨天状态, Xn表示第n天状态(0或1).试写出马氏链{Xn,
n?1}的一步转移概率矩阵.又已知5月1日为晴天,问5月3日为晴天,5月5日为雨天的概率各等于多少?由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转
晴天的概率为13,晴天转雨天的概率为12, 故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为?13,i?1,j?0?23,i?1,j?1? P?Xn?jXn?1?i???12,i?0,j?0???12,i?0,j?101 0?1212?P??1?1323??0又由于
10?512712?
P2??1?7181118??故5月1日为晴天,5月3日为晴天的概率为P00(2)?512?0.4167,
又由于
4010?0.40050.5995?
P??,1?0.39970.6003??
故5月1日为晴天,5月5日为雨天的概率为 P01(4)?0.5995.
甲乙两人进行某种比赛,设每局比赛中甲胜的概率为p,乙胜的概率为q.(p?q?r?1)设每局比赛后,胜者得1分,负者得?1分,平局不记分.当两人中有一个人得到2分时比赛结束.以{Xn,n?1}表示比赛至第n局时甲获得分数,则{Xn,n?1}为齐次马尔可夫链.
(1)写出状态空间; (2)求2步转移概率; (3)问在甲获得1分的情况下,最多再赛2局可以结束的概率.
(1)S???2,?1,0,1,2?.
(2)?2?1012rqprq0pr??? ??p?1??12?2?1?1??qP(1)?0??1?2??
P (1)?
?2?1?2?1??22?1?q?rpr?pq2prp??2220?q2rqr?2pq2prp?.??1?q22qrr2?pqp?pr?2?1???(3)在甲获得1分的情况下,再赛2局,甲胜,所求
(2)概率为p?p12?p?pr?p(1?r).
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