随机过程期末知识点（李裕奇）

1、一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志，她的顾客每天按比率 ＝6的Possion过程来订约，他们分别1/2,

1/3, 1/6的概率订阅一年，二年或三年，每个人的选择是相互独立的，对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一年，她得到1元手续费，令X(t)表示她在[0,t]内从销售订阅得到的总手续费，求X(t)的均值函数和方差函数

例1 设X(t)?Acos?t?Bsin?t,t?0,A,B相互独立同服从区间[?1,1]上的均匀分布，令Y(t)??t0X(s)ds,求{Y(t),t?0}的均值函数和协方差函数.

例2 设{W(t),t?0}是参数为1的Wiener过程，令X(t)?

例二解

?t0W(s)ds,t?0，求{X(t),t?0}的均值函数与相关函数.mX(t)?E?W(s)ds??EW(s)ds?0 .

00ttRX(s,t)??

s02?R0utW(u,v)dudv

??s0??0s0stmin(u,v)dudv

0??2?du?min(u,v)dv ??2?du?min(u,v)dv

0ut??

2?s0du?vdv??0u2??udv(s?t)

0ust??2s26(3t?s) ,(s?t)

由 s 与 t 的对称性

??2s23t?s?,0?s?t;???6RX?s,t???22

??s?3s?t?,0?t?s.??6

例4：求随机相位正弦波X(t)?acos(?t??) ???t???,?1 0???2?? 解：由假设?的概率密度为：f?????2??? 0 其他

??～U(0,2?)?的均值函数、方差函数和自相关函数。2?1acos?t???于是?X(t)?E[X(t)]?E???????0acos??t????2?d??0

RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[a2cos(?t1??)cos(?t2??)]

2??a2?cos(?t1??)cos(?t2??)?1d?

02?2212aa＝＝＝cos?? ?cos?(t2?t1)22222a ?X(t)?RX(t,t)??X(t)?RX(t,t)?2??t?t ?Xn,n?0,1设,2,?是一齐次马氏链，则 对任意的u,v?T??0,1,2,?有： ?u?v???u??v?P??PP i,j?1,2,ijikkj k?1 这就是著名的chapman?kolmogorov方程， 简称C?K方程例1：设?Xn,n?0?是具有三个状态0,1,2的齐次马氏链，???一步转移概率矩阵为????341401412340??1?4??1?4? 初始分布pi?0??P?X0?i??1i?0,1,23试求： ?1? P?X0?0,X2?1,X4?1?;?2? P?X2?1,X4?1,X5?0|X0?0?;?3? P?X2?1,X4?1,X5?0?

5?85P?2??P2??解：由C?K方程可得二步转移概率矩阵为：?163??165161291611631614??? ???5?1?5 ?1? P?X0?0,X2?1,X4?1??p0?0?P01?2?P11?2??1316296

?2? P?X2?1,X4?1,X5?0|X0?0??P01?2?P11?2?P10?5?1?1?51624128

?3? P?X2?1,X4?1,X5?0??P?X2?1?P11(2)P10

?{p0(0)P01(2)?p1(0)P11(2)?p2(0)P21(2)}P11(2)P10 ?1(5?1?9)?1?1?1131621624192例4：某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行

状态，收集了24个小时的数(共作97次观察)，用1表示正常状态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：

11100100111111100111101111110011111111100011 01101111011011010111101110111101111110011011 111100111

设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链. 求(1)一步转移概率矩阵;

(2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0，问在此条件下，从此时段起，该计算机能连续正常工作45分钟(3个时段)的条件概率.

解: (1) 设Xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态，可以认为它是一个齐次马氏链，状态空间I={0,1}， 96次状态转移情况是：

0→0：8次； 0→1：18次； 1→0：18次； 1→1：52次； 因此一步转移概率可用频率近似地表示为：

P00?P?Xn?1?0|Xn?0??8?8,

8?1826P01?P?Xn?1?0|Xn?1??18?18

8?1826

P10?P?Xn?1?1|Xn?0??P11?P?Xn?1?1|Xn?1???8?26即:P???18??7018?26?? 52?70??18?18,

18?527052?52 18?5270

(2)某一时段的状态为0,定义其为初始状态,即X0?0,所求概率为:

P?X1?1,X2?1,X3?1|X0?0?

?P?X1?1|X0?0?P?X2?1|X0?0,X1?1??P?X3?1|X0?0,X1?1,X2?1??P01P11P11?185252?0.382

267070设任意相继的两天中,雨天转晴天的概率为13,晴天转雨天的概率为12,任一天晴或雨是互为逆事件.以0表示晴天状态,以1表示雨天状态, Xn表示第n天状态(0或1).试写出马氏链{Xn,

n?1}的一步转移概率矩阵.又已知5月1日为晴天,问5月3日为晴天,5月5日为雨天的概率各等于多少?由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转

晴天的概率为13,晴天转雨天的概率为12, 故一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为?13,i?1,j?0?23,i?1,j?1? P?Xn?jXn?1?i???12,i?0,j?0???12,i?0,j?101 0?1212?P??1?1323??0又由于

10?512712?

P2??1?7181118??故5月1日为晴天,5月3日为晴天的概率为P00(2)?512?0.4167,

又由于

4010?0.40050.5995?

P??,1?0.39970.6003??

故5月1日为晴天,5月5日为雨天的概率为 P01(4)?0.5995.

甲乙两人进行某种比赛,设每局比赛中甲胜的概率为p,乙胜的概率为q.(p?q?r?1)设每局比赛后,胜者得1分,负者得?1分,平局不记分.当两人中有一个人得到2分时比赛结束.以{Xn,n?1}表示比赛至第n局时甲获得分数，则{Xn,n?1}为齐次马尔可夫链.

　(1)写出状态空间;　　　(2)求2步转移概率;　　　(3)问在甲获得1分的情况下,最多再赛2局可以结束的概率.

(1)S???2,?1,0,1,2?.

(2)?2?1012rqprq0pr??? ??p?1??12?2?1?1??qP(1)?0??1?2??

P (1)?

?2?1?2?1??22?1?q?rpr?pq2prp??2220?q2rqr?2pq2prp?.??1?q22qrr2?pqp?pr?2?1???(3)在甲获得1分的情况下,再赛2局,甲胜,所求

(2)概率为p?p12?p?pr?p(1?r).

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t7sf.html