2020高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等式的性质及一元二次不等式检测理新人教A版

2020高考数学大一轮复习检测新人教A版

第一节 不等式的性质及一元二次不等式

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A 级 基础夯实练

1.(2018·运城模拟)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )

A ．ac ＞bd

B ．ac ＜bd

C ．ad ＜bc

D ．ad ＞bc

解析：选B.根据c ＜d ＜0，有－c ＞－d ＞0，由于a ＞b ＞0，两式相乘有－ac ＞－bd ，ac ＜bd .

2.(2018·安徽淮北一中模拟)若(x －1)(x －2)＜2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是

( )

A ．(0，3)

B ．[－4，－3)

C ．[－4，0)

D ．(－3，4]

解析：选C.由(x －1)(x －2)＜2解得0＜x ＜3，令f (x )＝(x ＋1)·(x －3)＝x 2－2x －3(0

＜x ＜3)，则f (x )图象的对称轴是直线x ＝1，故f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，f (x )在x ＝1处取得最小值－4，在x ＝3处取得最大值0，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．

3.(2018·福建连城检测)已知a 1＞a 2＞a 3＞0，则使得(1－a i x )2

＜1(i ＝1，2，3)成立的x 的取值范围是( )

A.?

????0，1a 1 B ．? ????0，2a 1 C.? ????0，1a 3 D ．? ??

??0，2a 3 解析：选B.由(1－a i x )2＜1，得a 2i x 2－2a i x ＜0，得a 2i x ? ????x －2a i ＜0，其解集为? ??

??0，2a i ，又2a 1＜2a 2＜2a 3，所以使得(1－a i x )2＜1(i ＝1，2，3)成立的x 的取值范围是? ??

??0，2a 1，故选B. 4.(2018·桂林二模)若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a

”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

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解析：选A.对于0＜ab ＜1，如果a ＞0，则b ＞0，a ＜1b

成立，如果a ＜0，则b ＜0，b ＞1a 成立，因此“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a

”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a ＜1b 或b ＞1a ”成立，但条件0＜ab ＜1不成立，因此“0＜ab ＜1”不是“a ＜1b 或b ＞1a

”的必要条件，即“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a

”的充分不必要条件． 5.(2018·聊城三模)已知a ∈Z，关于x 的一元二次不等式x 2

－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )

A ．13

B ．18

C ．21

D ．26

解析：选C.设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则?????f （2）≤0f （1）＞0，即?????f （2）＝4－12＋a ≤0f （1）＝1－6＋a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z，所以a ＝6，7，8，所有符合条件的a

的值之和是6＋7＋8＝21.选C.

6.(2018·深圳中学模拟)已知a ＞b ＞0，c ＜0，下列不等关系中正确的是( )

A ．ac ＞bc

B ．a c ＞b c

C ．log a (a －c )＞log b (b －c )

D ．a

a －c ＞

b b －c

解析：选D.因为c ＜0，a ＞b ，所以ac ＜bc ，故A 错误；当c ＜0时，幂函数y ＝x c 在(0，

＋∞)上是减函数，所以a c ＜b c

，故B 错误；若a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48＜2＜log b (b －c )＝log 26，故C 错误；a a －c －b b －c ＝ab －ac －ab ＋bc （a －c ）（b －c ）＝（b －a ）c （a －c ）（b －c ）

＞0，所以a

a －c ＞

b b －

c 成立，故D 正确．选D.

7.(2018·成都二诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a

的取值范围为( )

A ．(0，＋∞)

B ．[－1，＋∞)

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C ．[－1，1]

D ．[0，＋∞)

解析：选B.解法一：当x ＝0时，不等式1≥0恒成立，

当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0?2ax ≥－(x 2＋1)?2a ≥－? ??

??x ＋1x ， 又－? ??

??x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时，取等号，所以2a ≥－2?a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．

解法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a ，当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立；

当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.

综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．

8.(2018·潍坊模拟)在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (2－y )，若不等式(x ＋m )⊙x ＜1对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：由题意得不等式(x ＋m )(2－x )＜1，

即x 2＋(m －2)x ＋(1－2m )＞0对任意x ∈R 恒成立，

因此Δ＝(m －2)2－4(1－2m )＜0，

即m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.

答案：(－4，0)

9.(2018·扬州模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．

解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4 360＋1 000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7 000.

令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625

≥0， 即?

????t ＋115? ????t －65≥0.又∵t ＋115≥0， ∴t ≥65，∴1＋x %≥65

， ∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20.

答案：20

10.已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.

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(1)若关于x 的不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，求实数 a ，b 的值；

(2)若b ＝2，a ≥0，解关于x 的不等式f (x )＞0.

解：(1)∵不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，

∴－1，3是方程ax 2

＋bx －a ＋2＝0的两根，

∴可得?????a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得?????a ＝－1，b ＝2. (2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)，

①当a ＝0时，f (x )＞0，即2x ＋2＞0，∴x ＞－1

②a ＞0，∴(x ＋1)(ax －a ＋2)＞0?(x ＋1)? ????x －

a －2a ＞0， (ⅰ)当－1＝

a －2a ，即a ＝1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； (ⅱ)当－1＞

a －2a ，即0＜a ＜1时，解集为{x |x ＜a －2a 或x ＞－1}； (ⅲ)当－1＜

a －2a ，即a ＞1时， 解集为???

?

??x |x ＜－1或x ＞

a －2a . B 级 能力提升练 11.(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( )

A ．对任意实数a ，(2，1)∈A

B ．对任意实数a ，(2，1)?A

C ．当且仅当a ＜0时，(2，1)?A

D ．当且仅当a ≤32

时，(2，1)?A 解析：选D.若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立．且满足?

????2a ＋1＞4，2－a ≤2，解得a ＞32.即点(2，1)∈A ?a ＞32，其等价命题为a ≤32

?点(2，1)?A 成立． 12.(2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )

A ．a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b

C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2a

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D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a 解析：选B.(特值法)，∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴令a ＝3，

b ＝13，则a ＋1b ＝6，log 2(a ＋b )＝log 2103

＜2， b 2a ＝1323＝124，即a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2a ，故选B. 13.(2018·南昌模拟)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________．

解析：解法一：∵x 2＋ax －2＞0在x ∈[1，5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2， ∴f (0)＝－2＜0，f (x )的图象开口向上，

∴只需f (5)＞0，即25＋5a －2＞0，解得a ＞－235

. 解法二：由x 2＋ax －2＞0在x ∈[1，5]上有解，

可得a ＞2－x 2x ＝2x

－x 在x ∈[1，5]上有解． 又f (x )＝2x

－x 在x ∈[1，5]上是减函数， ∴? ????2x －x min

＝－235，只需a ＞－235. 答案：? ??

??－235，＋∞ 14.(2018·银川质检)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R.

(1)求a 的取值范围；

(2)若函数f (x )的最小值为22

，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，

当a ＝0时，1≥0恒成立．

当a ≠0时，则有?

????a ＞0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0， 解得0＜a ≤1，

综上可知，a 的取值范围是[0，1]．

(2)因为f (x )＝ ax 2＋2ax ＋1＝ a （x ＋1）2

＋1－a ， a ＞0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以

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不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32

， 所以不等式的解集为? ??

??－12，32. 15.(2018·汕头模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．

(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；

(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a

，比较f (x )与m 的大小．

解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，

即a (x ＋1)(x －2)＞0.

当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；

当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．

(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，

∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a

， ∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0.

∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .

C 级 素养加强练

16.已知函数f (x )＝?

????ln （x ＋1），x ＞0，－x 2＋3x ，x ≤0，若不等式|f (x )|－mx ＋2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为________．

解析：由f (x )＝?????ln （x ＋1），x ＞0，－x 2＋3x ，x ≤0知|f (x )|＝?

????ln （x ＋1），x ＞0，x 2－3x ，x ≤0，不等式|f (x )|－mx ＋2≥0恒成立，即|f (x )|≥mx －2恒成立．令g (x )＝|f (x )|，h (x )＝mx －2，则原不等式恒成立等价于y ＝h (x )的图象不在y ＝g (x )图象的上方．

h (x )＝mx －2是过定点(0，－2)的直线系．

如图，l 1与x 轴平行，l 2与曲线y ＝x 2

－3x (x ≤0)相切，易知直线l 1

的斜率k 1＝0，设直线l 2的斜率为k 2，联立方程，得?????y ＝k 2x －2，y ＝x 2－3x ?x 2－3x －k 2x ＋2＝0，即x 2－(3＋k 2)x ＋2＝0，则Δ＝(3＋k 2)2－4×2＝0，故k 2

＝－22－3，(22－3舍去)，

结合图象易知m 的取值范围为[－3－22，0]．

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答案：[－3－22，0]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t7pi.html