河北省保定市2015届高三上学期期末调研考试数学（文）试题含答案

2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试

数学试题（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、若复数z?21?3i，则z?（ ）

A．

13 B． C．1 D．2 22x2、已知集合M?{x|2?1},N?{x|x?2}，则MN?（ ）

A．?1,2? B．??2,??? C．?0,2? D．?0,2? 3、已知函数f?x??sin(wx?)(w?0)的最小正周期为?，则f()?（ ）

4811A．1 B． C．-1 D．?

22??4、在区间??5,5?内随机取出一个实数a，则a??0,1?的概率为（ ） A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.1

5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ） A．2014 B．2013 C．1008 D．1007

?x?y?5?0?6、已知实数x,y满足约束条件?x?y?0，则z?2x?4y的最大值是（ ）

?y?0?A．2 B．0 C．-10 D．-1 5

7、如图e1,e2为互相垂直的两个单位向量，则a?b?（ ）

- 1 -

A．20 B．10 C．25 D．15 8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下 一个半径为6cm，深2cm的空穴，则取出该球前，球面上 的点到冰面的最大距离为（ ）

A．20cm B．18cm C．10cm D．8cm 9、已知等比数列?an?中，若4a1,a3,2a2成等差数列，则公比q?（ ） A．1 B．1或2 C．2或-1 D．-1 10、已知函数f?x??a3x?ax2?cx,g?x??ax2?2ax?c,a?0，则它们的图象可能是（ ） 3

2m11、已知函数f?x??log2x,0?m?n，且f?m??f?n?，若函数f?x?在区间??,n??上

的最大值为2，则m?（ ） A．

2131 B．2 C． D． 422cb3a，则?取

bc612、在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且BC边上的高为得最大值时，内角A的值为（ ） A．

??2?? B． C． D．

3263第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。. 13、若x?1时，x??1?1，则?的取值范围是 14、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的

- 2 -

表面积为

15、已知圆C:x2?2ax?y2?0(a?0)与直线l:x?3y?3?0 相切，则a?

16、设互不相等的平面向量组ai(i?1,2,3,②ai?ai?1?0，若Tm?a1?a2?

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）

在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且bsinC?3ccosB?0。 （1）求tanB；

（2）若b?7，求?ABC的周长的最大值。

18、（本小题满分12分） 已知等差数列

)，满足：①ai?2；

?am(m?2)，则Tm的取值集合为 ?an?的前Sn项和为Sn，a1?3,?bn?为等比数列，且

b1?1,bn?0,b2?S2?10，S5?5b3?3a2,n?N?。

（1）求数列?an?，?bn?的通项公式；

19、（本小题满分12分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），其测量数据的茎叶图如下：

规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。 （1）试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；

- 3 -

（2）现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率。

20、（本小题满分12分）

在棱锥A?BCDE中，?BAC?点，AB?AC?BE?2,CD?1. （1）求证：EF?AD； （2）求三棱锥F?ADE的高。

21、（本小题满分13分） 已知函数f?x???2,DC?平面ABC,EB?平面ABC，F是BC的中

a?lnx，其中a?R。 x（1）讨论函数f?x?的单调性；

（2）若不等式f?x??1在x??0,e?上恒成立，求实数a的取值范围。

21、（本小题满分13分）

已知：过抛物线x?4y的焦点F的直线交抛物线于A,B两个不同的点，过A,B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C （1）求证：AB?CF?0； （2）求?ABC的面积的最小值。

22015年保定市高三调研考试文科答案

一.选择题：CBADD BCBCB AD

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二.填空题：13??1; 14. 8?. 15. 3. 16. {0,2,22}

17、解：（1） 因为bsinC?3ccosB?0,?sinBsinC?3sinCcosB?0????2分

因为sinC?0 ,cosB?0

?tanB?3?????????????????????4分

（2）由（1）知，B??3

由72?a2?c2?2accosB,得49?a2?c2?ac，?????7分 所以(a?c)2?3ac?49?3(a?c)2?49 4（当且仅当a=c=7时取等号）所以a?c?14，

所以?ABC周长的最大值为21??????????????10分 18．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

?b1?q?2a1?d?10，?由题意可得：? ??????3分 5?425a??d?5bq?3(a?d)，111?2?解得q=2或q=?17(舍)，d=2． 5?∴ 数列{an}的通项公式是an=2n+1，n?N????????6分 数列{bn}的通项公式是bn?2n?1．n?N ????????7分 （2）Tn=32+52+72+……+(2n+1)2012n?1?

∴2Tn=321+522+723+……+(2n+1)2n????????9分 ∴-Tn=320+221+222+……+22n?1?(2n+1)2n?2n?1?1?(2n+1)2n ∴Tn=(2n-1)2n?1，n?N?????????????????12分

）=17.9?2分 19解：（1）甲厂平均值为（9+18+15+16+19+13+23+20+25+2118+14+15+16+19+10+13+21+20+23）=16.9????4分 乙厂平均值为（所以甲厂平均值大于乙厂平均值????????????5分

（2）记含量为10和13毫克的两件为A,B，其他非优质品分别为C,D,E,F,则“从六件非优质

110110品中随机抽取两件”，基本事件有：

- 5 -

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),

共15个.????????????8分

(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),“至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共9个，???10分

故所求概率P?93?.???????????12分 155E

D F 20. (1)证明：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF， 又∵AB=AC ，F是BC的中点，所以AF⊥BC，∴AF⊥平面BCD

所以AF⊥FE???????????????????2分 在△DEF中，

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

C A B

DE2=BC2?(EB?DC)2?9，DF2?DC2?CF2?3，EF2?EB2?BF2?6，

?DE2?DF2?EF2 所以DF⊥EF，????????5分

∴EF⊥平面AFD，故FE⊥AD???????????????6分 (2) 解：由（1）知DF⊥EF，所以S△DEF=

1132DF×EF=??7分 3?6=222（或：又DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，所以DC∥EB 因为S△DEF=S梯形BCDE-S△DCF- S△BEF=

13(22?3?2?1?2?2)?2??7分） 22在△DEF中，AD?5,DE?3，AE?22 所以，由余弦定理得cos?ADE?9?5?812?,?sin?ADE???9分

2?3555所以S△DEA=

12?3?5??3 2511312?2=?3h S△DEF×AF=?3323a1x?a??2，????????2分 x2xx设三棱锥F—ADE的高h，则

所以h=1，即三棱锥F—ADE的高为1????????12分 21.解：（1）定义域为(0,??),f?(x)??①当a?0时，

x?0,?x?a?0,?f?(x)?0，

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?f(x)在定义域(0,??)上单调递增；????????4分

②当a?0时，当x?a时，f?(x)?0，f(x)单调递增； 当0?x?a时，f?(x)?0，f(x)单调递减。

?函数f(x)的单调递增区间：(a,??)，单调递减区间：(0,a)??????7分

（2）f(x)?1?aa?lnx?1???lnx?1?a??xlnx?x对任意x??0,e?恒成立 xx令g(x)??xlnx?x,x??0,e?，所以由g?(x)??lnx?0得x=1??????10分

?g(x)在x?(0,1]上单调递增，在x??1,e?上单调递减 ?g(x)max?g(1)?1，?a?1????????12分

22. （1）证明：设LAB：y?kx+1,代入x2?4y得x?4kx?4?0

2?xA?xB?4k，xAxB??4????????2分 121A x，?y??x42121?LAC:y?xA?xA(x?xA)42121　LBC:y?xB?xB(x?xB)????????5分 42?xC?2k，yC??1因为y?1①若k?0,则kCF??，所以kAB?kCF??1ky F O B C x uuuruuur所以ABgCF?0?????????????????6分 uuuruuur②若k=0，显然ABgCF?0?????????????7分

（或?CF???2k,2?

??AB?(xB?xA,k(xb?xA))

?AB?CF??2k(xb?xA)?2k(xb?xA)?0??????????7分）

（2）解由（1）知，点C到AB的距离d?|CF|?21?k2???????8分

???

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Q|AB|?|AF|?|FB|?yA?yB?2?k(xA?xB)?4?4k2?4 122?S?|AB|d?4(k?1)2所以，当k=0时，VABC面积的最小值为4.????????????12分3

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