2012高考数学冲刺(技巧篇2)

例27、 ABC的三边a,b,c满足等式acosA bcosB ccosC，则此三角形必是（）

A、以a为斜边的直角三角形 B、以b为斜边的直角三角形

C、等边三角形 D、其它三角形

解析：在题设条件中的等式是关于a,A与b,B的对称式，因此选项在A、B为等价命题

都被淘汰，若选项C正确，则有1111 ，即1 ，从而C被淘汰，故选D。 2222

7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值

扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。

例28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为

3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起

的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160

元。根据以上数据，08年该地区人均收入介于 （ ）

（A）4200元~4400元 （B）4400元~4460元

（C）4460元~4800元 （D）4800元~5000元

12解析：08年农民工次性人均收入为：1800(1 0.06)5 1800(1 C5 0.06 C5 0.062

1800(1 0.3 0.036) 1800 1.336 2405

又08年农民其它人均收入为1350+160 5=2150

故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。故选B。

说明：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，

其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合

起来进行解题，会使题目求解过程简单化。

2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。“不择手段，多快好省”是

解选择题的基本宗旨。

（二）选择题的几种特色运算

1、借助结论——速算

例29、棱长都为2的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A、3 B、4 C、3 D、6

解析：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）

若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径

R 3，从而求出球的表面积为3 ，故选A。 2

2、借用选项——验算

3x y 12, 2x 9y 36, 例30、若x,y满足 ，则使得z 3x 2y的值最小的(x,y)是 （ ）

2x 3y 24,

x 0,y 0,

A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4）

解析：把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且z 3x 2y的值最小，故

选B。

3、极限思想——不算

例31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ，侧面与底面所成的二面角的平

面角为 ，则2cos cos2 的值是 （ ）

3 2

解析：当正四棱锥的高无限增大时， 90, 90，则A、1 B、2 C、－1 D、

2cos cos2 2cos90 cos180 1.故选C。

4、平几辅助——巧算

例32、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线

共有 （ ）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

解析：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以A（1，

2）为圆心，1为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，2为半径作圆B。由平面几何知识易知，

满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。

5、活用定义——活算

例33、若椭圆经过原点，且焦点F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为 （ ）

A、3 4 B、2 3 C、1 2 D、1 4

解析：利用椭圆的定义可得2a 4,2c 2,故离心率e

6、整体思想——设而不算

4234c1 .故选C。 a2例34、若(2x ) a0 a1x a2x a3x a4x，则(a0 a2 a4)2 (a1 a3)2

的值为 （ ）

A、1 B、-1 C、0 D、2

解析：二项式中含有，似乎增加了计算量和难度，但如果设

a0 a1 a2 a3 a4 a (2 )4，a0 a1 a2 a3 a4 b (2 3)4，则待求式子 ab [(2 3)(2 3)]4 1。故选A。

7、大胆取舍——估算

例35、如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边

长为3的正方形，EF∥AB，EF=3，EF与面ABCD的距离为2，2

D、则该多面体的体积为 （ ） A、9 2B、5 C、6 15 2

＝解析：依题意可计算VE ABCD

6，故选D。

8、发现隐含——少算 11SABCD h 3 3 2 6，而VABCDEF EVAB CD33

y2

1交于A、B两点，且kOA kOB 3，则直线AB的方例36、y kx 2与x 22

程为 （ ）

A、2x 3y 4 0 B、2x 3y 4 0

C、3x 2y 4 0 D、3x 2y 4 0

解析：解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是y kx 2，它过

定点（0，2），只有C项满足。故选C。

9、利用常识——避免计算

例37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。某

人在2001年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息

共计10180元，则利息税的税率是 （ ）

A、8% B、20% C、32% D、80%

解析：生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。

（三）选择题中的隐含信息之挖掘

1、挖掘“词眼”

例38、过曲线S:y 3x x3上一点A(2, 2)的切线方程为（ ）

A、y 2 B、y 2

C、9x y 16 0 D、9x y 16 0或y 2

错解：f/(x) 3x2 3,f/(2) 9，从而以A点为切点的切线的斜率为–9，即所

求切线方程为9x y 16 0.故选C。

剖析：上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处的切线”，事实上当点A

为切点时，所求的切线方程为9x y 16 0，而当A点不是切点时，所求的切线方程为

y 2.故选D。

2、挖掘背景

例39、已知x R,a R，a为常数，且f(x a) 1 f(x)，则函数f(x)必有一周1 f(x)

期为 （ ）

A、2a B、3a C、4a D、5a

分析：由于tan(x

4) 1 tanx，从而函数f(x)的一个背景为正切函数tanx，取1 tanx

a

4，可得必有一周期为4a。故选C。

40、设tan 、tan 是方程x 33x 4 0的两根，且33、挖掘范围 例

( ,), ( ,)，则 的值为 （ ） 22

2 A、 322 B、 3 C、

3或 2 3D、

3或2 3

错解：易得tan( ) 3,又 (

22,), (

22,), ( , )，从而

3或 2 .故选C。 3

剖析：事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知

tan tan 0,tan tan 0,故tan 0,且tan 0.从而

2 ( ,0), ( ,0)，故 .故选A。 223

4、挖掘伪装

例41、若函数f(x) loga(x2 ax 3)(a 0且a 1)，满足对任意的x1、x2，当

x1 x2 a时，f(x1) f(x2) 0，则实数a的取值范围为（ ） 2

A、(0,1) (1,3) B、(1,3)

C、(0,1) (1,23) D、(1,2)

a时，f(x1) f(x2) 0”实质上就是“函数2

a2单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”。事实上由于g(x) x ax 3在x 2分析：“对任意的x1、x2，当x1 x2

a 1, 时递减，从而 a由此得a的取值范围为(1,2)。故选D。 g() 0. 2

5、挖掘特殊化

2x2x 3例42、不等式C12的解集是（ ） C12

A、 B、{大于3的正整数} C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6}

分析：四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x

值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。

6、挖掘修饰语

例43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间

轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进

行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ）

A、72种 B、36种 C、144种 D、108种

分析：去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站

33成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为2A3 A3 72种。故选A。

7、挖掘思想

2例44、方程2x x 2的正根个数为（ ） x

A、0 B、1 C、2 D、3

23分析：本题学生很容易去分母得2x x 2，然后解方程，不易实现目标。 2事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出y 2x x,y 2的图象，容易发现在x

第一象限没有交点。故选A。

8、挖掘数据

例45、定义函数y f(x),x D，若存在常数C，对任意的x1 D，存在唯一的x2 D，f(x1) f(x2) C，则称函数f(x)在D上的均值为C。已知f(x) lgx,x [10,100]，2

则函数f(x) lgx在x [10,100]上的均值为（ ）

337A、 B、 C、 D、10 2410

f(x1) f(x2)lg(x1x2) C，从而对任意的x1 [10,100]，存在唯一的分析：22

x2 [10,100]，使得x1,x2为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令

1000x1x2 10 100 1000,当x1 [10,100]时，x2 ，由此得 [10,10]0x1

lg(x1x2)3C .故选A。 22

（四）选择题解题的常见失误 使得

1、审题不慎

例46、设集合M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合M P中的元素的个数为 （ ）

A、0 B、1 C、2 D、0或1或2

误解：因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，所以M P

中的元素的个数为0或1或2。故选D。

剖析：本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M，P就是直线与圆，从而错

用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没

有公共元素。故选A。

2、忽视隐含条件

例47、若sin2x、sinx分别是sin 与cos 的等差中项和等比中项，则cos2x的值为 （ ）

1 1 1 331 2 B、 C、 D、 8884

x sin co s② 误解：依题意有2sin2x sin cos ， ① si2n

1 由①2-②×2得，4cos22x

cos2x 2 0，解得cos2x 。故选C。 8A、

剖析：本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由

sin2x sin cos ，得cos2x 1 sin2 0，所以1 33不合题意。故选A。 8

3、概念不清

例48、已知l1:2x my 2 0,l2:mx 2y 1 0，且l1 l2，则m的值为（ ）

A、2 B、1 C、0 D、不存在

2 m () 1，方程无解，m不存在。故选D。 m2

剖析：本题的失误是由概念不清引起的，即l1 l2，则k1k2 1，是以两直线的斜率误解：由l1 l2，得k1k2 1.

都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。当m=0

时，显然有l1 l2；若m 0时，由前面的解法知m不存在。故选C。

4、忽略特殊性

例49、已知定点A（1，1）和直线l:x y 2 0，则到定点A的距离与到定直线l的

距离相等的点的轨迹是 （ ）

A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线

误解：由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。

剖析：本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线l上。故选D。

5、思维定势

例50、如图1，在正方体AC1中盛

满水，E、F、G分别为A1B1、BB1、BC1

的中点。若三个小孔分别位于E、F、G

三点处，则正方体中的水最多会剩下原

体积的 （ ）

A、11 12B、7523 C、 D、 8624

1

8误解：设平面EFG与平面CDD1C1交于MN，则平面EFMN左边的体积即为所求，由三棱柱B1EF—C1NM的体积为V正方体，故选B。

剖析：在图2中的三棱锥ABCD中，若三个小孔E、F、G分别位于所在棱的中点处，

则在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图2的思维定势，即过三个

小孔的平面为截面时分成的两部分中，较大部分即为所求。事实上，在图1中，取截面BEC1

时，小孔F在此截面的上方，VB1 BEC1

6、转化不等价

例51、函数y x x2 a2(a 0)的值域为 （ ）

A、( ,0) (0, ) B、[a, ) C、( ,0] D、[ a,0) [a, ) 1V正方体，故选A。 12

x2 a2

误解：要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数f(x) ，2x

1

所以x 0，故选A。

剖析：本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由y x x2 a2，两

y2 a2

边平方得(y x) x a，这样的转化不等价，应加上条件y x，即y ，进2y而解得，y a或 a y 0，故选D。 222

2012高考数学冲刺

4、能力考查与重点题型复习举例

（1）加强抽象概括能力的考查。

2 例1.点P在直线l:y x 1上，若存在过P的直线交抛物线y x于A,B两点，

且|PA |AB|，则称点P为“A点”，那么下列结论中正确的是

（ ）

A．直线l上的所有点都是“A点”

B．直线l上仅有有限个点是“A点”

C．直线l上的所有点都不是“A点”

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A点”

解析：如图，如果P点在点(0, 1)时，当PAB x轴，

AB ，当PAB与抛物线相切时，AB 0，直线l的

P点是“A点”，斜率是运动、连续、变化的，AB [0, )，

一般地如果直线l上的P任意时，同理上述。直线l上的所

有点都是“A点”，选A。

例2.已知函数f x ,x R满足f 2 3，且f x 在R

上的导数满足f‘ x 1 0，则不等式fx2 x2 1的解

为___________________.

解析：由f‘

2222及fx2 x2 1可化为， fx x f(2) 2即gx g(2)得x 2，解

为 结合f 2 3，得f(2) 2 1 x 1 0得g(x) f(x) x在R是减函数，

( ,) , )

(2).切实提高运算能力。

运算能力是高考四大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题

例3． 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c

，a=8,b = 10,

ΔABC则△ABC中最大角的正切值是_________.

解析：或

例4．某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元）与日产里x(单位:吨）满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R(单位:元）与日产量x满足函数关系式

已知每日的利润y = R－C，且当x=30时y =-100.

(I)求a的值；

(II)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大,并求出最大值

解：（Ⅰ）由题意可得：

因为x=30时，y=－100，

所以a=3。

所以当x (0,90)时，原函数是增函数，当x (90,120)时，原函数是减函数。 所以当x=90时，y取得最大值14300。

当x≥120时，y=10400－20x≤8000。

所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元。

(3).空间想象能力

直观感知,强化运算。

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