大物B课后题02-第二章 质点动力学

习题

2-1

质量为0.25kg的质点，受力为F?ti(SI)的作用，式中t为时间。t?0时，该质点以

v0?2jm?s?1的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____.

解 因为

dvFtit于是有???4ti,所以dv??4t?id，

dtm0.25?vv0dv???4ti?dt，

0tv?2t2i?2j；又因为

r?dr?v，所以dr??2t2i?2j?dt，于是有?dr???2t2i?2j?dt，dt23ti?2tj?C，而t=0时质点通过了原点，所以C?0，故该质点在任意时刻的位置323矢量为r?ti?2tj。

3

2-2

一质量为10kg的物体在力f?(120t?40)i(SI)作用下，沿x轴运动。t?0时，其速度

v0?6im?s?1，则t?3s时，其速度为（ ）

A. 10im?s B. 66im?s C. 72im?s D. 4im?s 解 本题正确答案为C 在x方向，动量定理可写为所以 v?v0??1?1?1?1??120t?40?dt?mv?mv030，即mv?mv0?660

660660?6??72?m?s?1?。 m10 1

2-3

一物体质量为10kg。受到方向不变的力F?30?40t(SI)的作用，在开始的2s内，此力的

冲量大小等于______;若物体的初速度大小为10m?s ，方向与F同向，则在2s末物体的

?1速度大小等于_______.

解 在开始的2s内，此力的冲量大小为 I???30?40t?dt?140(N?s)

02由质点的动量定理得

I?mv?mv0

当物体的初速度大小为10m?s，方向与F同向时，在2s末物体速度的大小为 v?

?1I140?v0??10?24(m?s?1) m102-4

一长为l、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。若使其长度的1/2悬于桌边下，由静

止释放，任其自由滑动，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（） A.

2gl B.

13gl C. 23gl D. 22gl m，若选取桌面为零势能点，l解 本题正确答案为B。

根据题意作图2.15.设链条的质量为m，则单位长度的质量为则由机械能守恒定律得

??m?l???m???l??l?1???????g?????????l??g????mv2

?4??2?2??l?2???l??其中v为链条全部离开桌面时的速度。解之得 v?13gl 22-5

一弹簧原长为0.5m，劲度系数为k，上端固定在天花板上，当下端悬挂一盘子时，其长度为0.6m，然后在盘子中放一物体，弹簧长度变为0.8m,则盘中放入物体后，在弹簧伸长过程中

2

弹性力做功为（） A.

?0.80.80.30.6kxdx B. ??0.6kxdx C.

?0.1kxdx D. ??0.30.1kxdx

解 本题正确答案为D 因为弹力所做的功为W???0.8?0.5?0.3?0.6?0.5???kx?dx???0.1kxdx

2-6

x?Acos?tv?dxdt??A?sin?t

a?dvdt??A?2cos?t???2xF?ma??m?2x 选C

2-7

选错的 选D

2-8

说的是“静摩擦力”，应和重力构成平衡力。 选A

3

2-9

动量定理fdt?mdvdvdvdt?dxdvdxdt?vdxfdx?mdvdvdtdx?mvdxdx?mvdvfdx?mvdv两边同时积分fxv0?0e?kxdx?m?0vdvf0k(1?e?kx)?12mv2?Ekx趋于无穷大，Ef0k最大值为k选B

动能定理fx?kx0?0edx??Ekf0(1?e?kx)? k?Ekx趋于无穷大，Ef0k最大值为k

4

2-10

选C

2-11

5

A,B,C3个物体，质量分别为mA?mB?0.1kg,mC?0.8kg，当按图(a)放置时，物体系正好匀速运动。（1）求物体C与水平面间的摩擦系数；（2）如果将物体A移动到物体B上面，如图(b)所示，求系统的加速度及绳中的张力（滑轮与绳的质量忽略不计）。

解 （1）由于系统按图2.7（a）放置时，物体系正好匀速运动，所以有mBg???mA?mC?g，物体C与水平桌面间的摩擦系数为

??mB0.11???0.11

mA?mC0.1?0.89（2）如果将物体A移到物体B上面，分析受力如图2.7(b)所示，则 对物体A、B有：?mA?mB?g?T??mA?mB?a 对物体C有： T??mCg?mCa 解之可得系统的加速度 a?mA?mB??mCg?1.1?m?s?2?

mA?mB?mC绳子的张力 T?m )g?1.7(NC?a???2-12

已知条件如图2.8所示，求物体系加速度的大小和A、B两绳中的张力（绳与滑轮的质量及所有的摩擦均忽略不计）。

解 受力分析如图2.8所示。由于绳子不可伸长，所以设物体系的加速度为a，则由牛顿第二运动定律可得

对于水平运动的物体有 TB?2ma 对于竖直运动的物体有 TA?TB?mg?ma

6

对于斜面上运动的物体有

2mgsin45??TA?2ma 联立以上三个方程可得物体系的加速度为 a?2mgsin45??mg2?1 ?5m5A、 B两绳子的张力分别为

232?2mg,TB? TA?5?2?15?mg

2-13

长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小球，使小球从悬挂着的铅直位置以水平初速度v0开始运动，如图 所示。用牛顿运动定律求小球沿逆时针转过?角使的角速度和绳中的张力。

解 小球在任意位置是的受力分析如图 所示，则由牛顿第二运动定律可得

?v2?对法向有： T?mgco?s?m??

?l?对切向有： ?mgsin??m??dv?? ?dt?对切向方程两边同乘以d?，得

?dv??d??mgsin?d??m??d??mdv??dt??dtd?dv?d(l?)?ld?,??dt?mgsin?d??ml?d?亦即

???

gsin?d???l??d? 于是有

??0gsin?d????l??d?

?0?积分可得 g?1?cos???1212l?0?l? 22所以小球沿逆时针转过?角时的角速度为

7

2???0?g?cos??1??2l12v0?2gl?cos??1? l将v?l?代入法向方程可得绳中的张力为

2?v0? T?m??2g?3gcos??

?l?

2-14

质量均为M的3只小船（包括船上的人和物）以相同的速度沿一直线同向航行，

时从中间的小船向前后两船同时以速度u（相对于该船）抛出质量同为m的小包。从小包被抛出至落入前、后两船的过程中，试分析对中船。前船、后船建立动量守恒方程。 解 设3条小船以相同的速度v沿同一直线同向航行，根据题意作图。则由动量守恒定理得 对于前船有

Mv?m(v?u)?(M?m)V前 对于后船有

Mv?m?v?u??(M?m)V后 对于中船有

Mv?m(v?u)?m(v?u)?(M?2m)V中 所以抛出小包之后3船的速度变为 V前?v?mmu,V中?v,V后?v?u

M?mM?m2-15

一质量为0.25kg的小球以20m?s的速度和45°的仰角投向竖直放置的木板，如图所示。设小球与木板碰撞的时间为0.05s。反弹角度与入射角相同。小球速度的大小不变，求木板

对小球的冲力。

解 建立坐标系如图 所示。由动量定理得到小球所受的平均冲力为

?11?F??mvcos45????mvcos45?????x?????t ?

?F?1??mvsin45????mvsin45???y???t??代入数值计算可得

8

??Fx??141(N)

Fy?0?因此木板对小球的冲力为F??141iN。

2-16

一质量为m的滑块，沿图2.12所示的轨道一初速v0?2Rg无摩擦地滑动，求滑块由A运动到B的过程中所受的冲量，并用图表示之（OB与地面平行）

解 因为轨道无摩擦，所以滑块在运动过程与地球构成的系统机械能守恒，于是

1212mv0?mgR?mvB 22而v0?2Rg，因此vB?2Rg，方向竖直向上。 滑块由A运动到B的过程中所受的冲量为

I?mvB?mv0?m2Rgj?2mRgi?mRg(?2i?2j) 如图2.12所示。

2-17

一质量为60kg的人以2m?s为的水平速度从后面跳上质量为80kg的小车，小车原来的速度为1m?s，问：（1）小车的速度将如何变化？（2）人如果迎面跳上小车，小车的速度又将如何变化？

解 若忽略小车与地面之间的摩擦，则小车和人构成的系统动量守恒。 （1）因为m车、人v车、人?m车v车?m人v人 所以v车、人?1?1m车v车?m人v人??1.43m?s?1，车速变大，方向与原来相同。

m车、人（2）因为m车、人v车、人?m车v车?m人v人 所以v车、人?m车v车?m人v人??0.286m?s?1，车速变小，方向与原来相反。

m车、人 9

2-18

原子核与电子间的吸引力的大小随它们之间的距离r而变化，其规律为F?运动到r2(r1?r2)的过程中，核的吸引力所做的功。 解 核的吸引力所做的功为 W?k，求电子从r1r2?r2r1F?dr??Fcos?dr???r1r2r2r1r1?r2k dr?kr2r1r22-19

质量为 的子弹，在枪筒中前进受到的合力为 ，单位为N，x的单位为

m，子弹射出枪口时的速度为 ，试求枪筒的长度。 解 设枪筒的长度为l，则根据动能定理有

12Fdx?mv ?02l

8000?1??32 400?xdx??2?10?300??0?92??l819???0即?l???0 ，得l?0.45(m) l?0.9l?400?20?22所以枪筒的长度为0.45m。

2-20

从轻弹簧的原长开始第一次拉伸长度L。在此基础上，第二次使弹簧再伸长L，继而第三次

又伸长L。求第三次拉伸和第二次拉伸弹簧时做的功的比值。 解 第二次拉伸长度L时所做的功为 W2?1132k?2L??kL2?kL2 222 第三次拉伸长度L时所做的功为 W3?11522k?3L??k?2L??kL2 222所以第三次拉伸和第二次拉伸弹簧时做的功的比值为

W25?。 W33 10

2-21

用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对钉的阻力与钉进木板之深度成正比。在第一次锤击时，钉被击入木板1cm。假定每次锤击铁钉时速度相等，且锤与铁钉的碰撞为完全弹性碰撞，问第二次锤击时，钉被击木板多深？

解 据题意设木板对钉子的阻力为?kx，锤击铁时的速度为v，则由功能原理可知在第一次锤击时有

0.01l121mv??kxdx；在第二次锤击时有mv2??kxdx，联立这两个方程可得

00.0122第二次锤击时钉被击入的深度为l?0.01?4.14?10?3(m)。

2-22

如图2.13所示，两物体A和B的质量分别为mA?mB?0.05kg，物体B与桌面的滑动摩擦系数为?k?0.1，试分析用动能定理和牛顿第二运动定律求物体A自静止落下h?1m时的速度。

解 用牛顿第二运动定律求解。分析物体受力如图2.3所示，则 对物体A有：mAg?T?mAa 对物体B有：T??kmBg?mBa 解之得：a? 因为v?所以 v?1??kg 22v0?2ah,v0?0,

gh?1??k??9.8?1??1?0.1??2.97?m?s?1?

1?mA?mB?v2 2用动能定理求解。对于物体A,B构成的系统动能定理可写为 mAgh??kmBgh?所以

v?2?mA??kmB?gh2??0.05?0.1?0.05??9.8?1??2.97?m?s?1?

mA?mB0.05?0.05 11

2-23

一弹簧劲度系数为k，一段固定在A点，另一端连结一质量为m的物体，靠在光滑的半径为a的圆柱体表面上，弹簧原长AB，如图 所示，再变力的作用下物体极其缓慢的沿圆柱体表面从位置B移到了C，试分别用积分法和功能原理两种方法求力F所做的功。 解 利用积分法求解。

分析物体受力如图2.14所示，由于物体极其缓慢地沿光滑表面移动，所以有 F?mgcos??kx?mgcos??ka? 因此力F所做的功为 W???01Fds???mgcos??ka??d?a???mgasin??ka2?2

02?利用功能原理求解，力F所做的功为 W?EMC?EMB?mgasin??122ka? 22-24

如图所示，已知子弹的质量为m?0.02kg，木块的质量为M?8.98kg，弹簧的劲度系数

k?100N?m?1，子弹以初速v0射入木块后，弹簧被压缩了l?10cm。设木块与平面间的

滑动摩擦系数为?k?0.2，不计空气阻力，试求v0的大小。

解 设子弹与木块碰撞后共同前进的速度为v，因碰撞过程中动量守恒，所以有 mv0??m?M?v 在子弹与木块一同压缩弹簧时，由功能原理得 ??k?m?M?gl?121kl??m?M?v2 22联立以上两式可得子弹的初速度为

v0?12kl??k?m?M?gl?12?319(m?s) 21?m???2?m?M? 12

2-25

质量为M的物体静止于光滑的水平面上，并连接有一轻弹簧如图 所示，另一质量为M的物体以速度v0与弹簧相撞，问当弹簧压缩到最大时有百分之几的动能转化为势能， 解 当弹簧压缩到最大时系统以同一速度v前进，此过程中系统的动量守恒，所以有

1Mv0??M?M?v于是v?v0，故弹簧压缩到最大时动能转化为势能的百分率为

211?1?2Mv0??M?M??v0?22?2??50%

12Mv0222-26

如图 所示，一木块M静止于光滑的水平面上，一子弹m沿水平方向以速度v0射入木块内一段距离S?后停止于木块内。（1）试求在这一过程中子弹和木块的动能变化是多少？子弹和木块之间的摩擦力对子弹和木块各做了多少功？（2）证明子弹和木块的总机械能的增量等于一对摩擦力之一沿相对位移S?做的功。

解 （1）如图 所示。设子弹停止于木块内，二者一同前进的速度为V,因为子弹与木块碰撞的过程中动量守恒，所以有mv??m?M?V,解之可得V?因此在这一过程中子弹和木块的动能变化为

mv

m?M11?mv?12?M ?Ek?mv2??m?M????mv?22?m?M?2?m?M子弹和木块之间的摩擦力对子弹所做的功为

2?? ?22?1?mv?1212??mv?? ?f??S?S??m???mv?mv????1??0

2?m?M?22m?M??????子弹和木块之间的摩擦力对木块所做的功为

1?mv?1m?2? f?S?M??0?Mv????0 2?m?M?2m?M?? （2）子弹和木块的总机械能的增量为

22?1??1?mv?212?m?12?M?2??EM??Mv???0???m???mv???mv??

2?m?M??m?M?????2???2?m?M?2?22 13

而摩擦内力所做的总功为

W??f??S?S???f?S??f?S??正好等于一对摩擦力之一沿相对位移S?做的功。

12?Mmv?2?m?M?? ?2-27

证明：在光滑的台面上，一个光滑的小球撞击（撞击可认为是完全弹性碰撞）另一个静止的光滑小球后，两者总沿着互成直角的方向离开，设光滑的小球质量相等（除正碰外）。 证明 如图 所示，由于在光滑台面上光滑的小球间的碰撞为完全弹性碰撞，所以动能和动量守恒。

由动量守恒，得

mv0?mv1?mv2 （1） 由动能守恒，得

121212mv0?mv1?mv2 （2） 222（1）式两边平方，得

22 v0?v12?v2?2v1?v2 （3）

将（3）式与（2）式比较，得v1?v2?0，而v1和v2均不为零，所以有v1?v2。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t723.html