初中数学 - 初一 - 一元一次方程的应用（工程、盈利、储蓄、分配、行程问题）（修复的）

一元一次方程的工程问题

【解题思路】

1、审——读懂题意，找出等量关系。 2、设——巧设未知数。 3、列——根据等量关系列方程。 4、解——解方程，求未知数的值。

5、答——检验，写答案（注意写清单位和答话）。 6、练——勤加练习，熟能生巧。触类旁通，举一反三。

工作总量＝工作时间×工作效率； 工作时间＝工作总量÷工作效率； 工作效率＝工作总量÷工作时间 甲的工作量＋乙的工作量＝甲乙合作的工作总量，

工程问题常把工作总量看做“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率。

例：检修一处住宅的自来水管理，甲单独完成需要14天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需12天，前7天由甲，乙合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙丙合作完成。问乙中途离开了几天？ 分析：工程问题中，工作总量用1表示。工作效率指的是单位时间内完成的工作量。 解法一：设乙中途离开了x天，则乙一共做了（7-x+2）天。

根据题意得

解法二：设乙一共工作了x天，则

工程问题常把工作总量看做“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率。 例1：填空：

（1） 一件工作，10天完成，工作效率是______， （2） 一本书，25天看完，每天看全书的______，

（3） 一件工作，甲独做20小时完成，m小时完成的工作量是______，

（4） 一件工作，甲独做5天完成，乙独做7天完成，二人合作______天完成。

例:2：一项工程甲独做需6天完成，则：

（1） 甲独做一天可完成这项工程的__________,

（2） 若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成这项工程的_______， （3） 若甲乙合作完成这项工程需要_______天。

练习：1.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分要几小时完成？

2.一项工程，甲独做20小时完成，乙独做15小时完成，丙独做10小时完成，三队合作若干天后，丙另有

任务剩下的由甲、乙完成，这样，完成全部工程共用6小时，丙实际工作了几小时？

例3：一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？

练习1. 一袋米，甲、乙、丙三人一起吃，8天吃完，甲一人24天吃完，乙一人36天吃完，问丙一人几天吃完？

2.一套家具，由一个老工人做40天完成，由一个徒弟做80天完成。现由2个老工人和4个徒工同时合作，几天可以完成？

例4：已知某水池有进水管和出水管各一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完；

（1） 如果单独打开进水管，每小时可以注入的水占水池的几分之几？ （2） 如果单独打开出水管，每小时可以放出的水占水池的几分之几？ （3） 如果将两管同时打开，每小时的效果如何？如何列式？

（4） 对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？

练习：1.有一个水池，用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池。

（1） 如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？ （2） 假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，

多少小时才能把一空池注满水？

2.一个水池上有两个进水管，单开甲管，10小时可把空池注满，单开乙管，15小时可把空池注满。现先开甲管，2小时候后把乙管也打开，再过几小时池内蓄有

3的水？（原为空池） 4

习题：

1、一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？

2、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?

3、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

4、修一条路,原计划每天修75米,20天修完,实际每天计划多修

5、一项工程300人共做, 需要40天,如果要求提前10天完成,问需要增多少人?

6、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的2,问甲、乙两队单独做,各需多少天?

3

2 ,问可以提前几天修完? 3一元一次方程的分配型问题

1、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？

2、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来甲、乙

两个水池各有多少吨水？

3、今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？

一元一次方程的储蓄问题

①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率，利息的20%付利息税；

②纯利息=本金×利率×期数×（1－利息税率）； 利息 = 本金×利率×期数； 本息和=本金+利息，或：本息 = 本金×（1+利率×期数）； 利息税=利息×税率（20%）。 例：小颖的父母存三年期教育储蓄，三年后取出了5000元钱，你能求出本金是多少吗？

例：为了准备小颖6年后上大学的费用5000元，她的父母现在就参加了教育储蓄。下面有

两种储蓄方式：（1）直接存入一个6年期；（2）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存一个3年期。你认为那种储蓄方式？开始存入的本金少？

1.某学生按定期一年存入银行100元，若年利率为2.5%，则一年后可得利息______元；本息和为_______元（不考虑利息税）；

2.小颖的父母给她存了一个三年期的教育储蓄1000元，若年利率为2.70%，则三年后可得利息_ ___元；本息和为__ ___元；

3.某人把100元钱存入年利率为2.5%的银行，一年后需交利息税______元；

4.某学生存三年期教育储蓄100元，若年利率为p%，则三年后可得利息_______元；本息和为_______元；

5.小华按六年期教育储蓄存入x元钱，若年利率为p%，则六年后本息和______________元；

6. 李阿姨购买了25000元某公司1年期的债券，1 年后扣除 20%的利息税之后得到本息和为 26000 元，这种债券的年利率是多少？

7.为了使贫困学生能够顺利完成大学 学业,国家设立了助学贷款.助学贷款分0.5～1年期、1～3年期、3～5年期、5～8年期四种，贷款利率分别为5.85％，5.95％，6.03％，6.21％，贷款利息的50％由政府补贴。某大学一位新生准备贷6年期的款，他预计6年后最多能够一次性还清20000元，他现在至多可以贷多少元？

8. 王叔叔想用一笔钱买年利率为2.89%的3 年期国库券，如果他想 3 年后本息和为 2 万元，现 在 应买这种 国库券多少元？

9．一年定期的存款，年利率为1.98%, 到期取款时须扣除利息的20%,作为利息税上缴国库，假如某人存入一年的定期储蓄1000元，到期扣税后可得利息多少元？

一元一次方程的盈利问题

商品利润= 商品售价－商品进价； 利润率=商品利润÷商品进价×100%； 商品售价＝标价×折扣数÷10； 商品售价=商品进价×(1+利润率)。 一、填空

1、商品原价200元，九折出售，卖价是 元. 2、商品进价是30元，售价是50元，则利润是 元.

3、某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元. 4、某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元. 5、某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是 . 二、计算

1，福州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为9600元。其中一台盈利20%，另一台亏损20%。这次琴行

是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

2、某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

3、某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品？

4、某商场将某种DVD产品按进价提高35%, 然后打出“九折酬宾，外送50元打的费”的广告，结果每台DVD仍获利208元，则每台DVD的进价是多少元？

5、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

行程问题

【基本关系式】

（1） 行程问题中的三个基本量及其关系：

路程=速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（2） 基本类型

① 相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 ② 追及问题：快行距－慢行距＝原距

③ 航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速

顺水的路程 = 逆水的路程

注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。 常见的还有：相背而行；环形跑道问题。

【经典例题】

例1．甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为：

等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。

解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480

解这个方程，230x=390

16 x?1, 23 甲 乙 16 600 答：快车开出1小时两车相遇

23 甲 乙 （2）分析：相背而行，画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，

12由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x=

23 12 答：小时后两车相距600公里。

23 （3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。

解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140－

90)x+480=600 50x=120 ∴ x=2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。 甲 乙 （4）分析：追及问题，画图表示为：

等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 解：设x小时后快车追上慢车。

由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴ x=9.6 答：9.6小时后快车追上慢车。

（5）分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。

解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴ x=11.4

答：快车开出11.4小时后追上慢车。

例2． 某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。

分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清：

（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度； （2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。

相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。

解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 由题意得，

xx?10??72?88?2解这个方程得x?32.5

答：A、B两地之间的路程为32.5千米。

只列方程不计算:

⑴南通和南京相距325千米。两辆汽车分别从南通和南京同时出发，相对而行。从南京开出的汽车每小时行68千米，从南通开出的汽车每小时行62千米。经过多长时间，这两辆汽车在途中相遇？

⑵甲乙两个工程队共同铺铁路，甲队每天铺70米。乙队每天铺64米。铺了多少天后，甲队比乙队多铺36米？

(3)两艘军舰从相距609千米的两个港口同时相对开出。一艘军舰每小时行42千米，另一艘军舰每小时行45千米。经过几小时两艘军舰相遇？

(4)甲、乙两艘轮船同时从一个码头向相反方向开出，甲船每小时行23. 5千米，乙船每小时行21.5千米。航行几小时后两船相距315千米？

(5)两个水管同时向池中放水.大管每小时放水15吨,小管4小时放水52.4吨,经过8小时把水池放满.这个水池能装水多少吨?

(6)两地间的铁路长409.25千米.两列火车分别从两地相对而行,甲车每小时行50.5千米,乙车每小时行45.5千米.甲车先出发0.5小时后,乙车才开出,乙车开出几小时后与甲车相遇?

列方程解应用题

1、A、B两地相距60km，甲乙两人分别同时从A、B两地出发，相向而行，甲每小时比乙多行4km，经过3小时相遇，问甲乙两人的速度分别是多少？

2、敌、我两军相距28km，得知敌军1小时前以每小时8km的速度逃跑，现在我军以每小时14km的速度追敌军，问经过多长时间我军可以追上敌军？

3、甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．

(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？

(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？ (3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？

(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？

3、甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的时速是多少？

4、一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从相遇到车尾离开经过18秒，客车与货车的速度比是5∶3，问两车每秒各行驶多少米？

5、一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米 /小时 ，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时。 （1）求无风时飞机的飞行速度 （2）求两城之间的距离。

6、一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米． （1）甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？

（2）甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？

7、公司徐经理从家里开汽车去火车站，如果每小时走50千米，那么比火车开车时间早到15分钟；如果每小时走40千米，那么比火车开车时间迟到15分钟，现打算比火车开车时间早10分钟到达火车站，那么汽车的速度应是多少？

8、一队学生步行去工厂参观，速度为5千米/时,当走了1小时后,一名学生回校取东西,他以7．5千米/时的

速度回校,取了东西后立即以同样的速度追赶队伍,结果在离工厂2．5千米处追上队伍,求该校到工厂的路程．

10、甲用40秒跑完一环形跑道，乙反向跑，每隔15秒与甲相遇一次，那么乙跑完这个跑道需要__________

秒。

11、一种型号飞机贮油量允许在空中飞行的最长时间为11小时,飞机在静风中的速度是550千米/时,风速为

50千米/时,那么这架飞机最远能飞多少千米就应返回?．(列方程)

12、小明在公路上行走,速度为6千米/时,一辆车身长为20米的汽车从小明背后驶来,经过小明旁边的时间

为1．5秒,求汽车的速度．

13、轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地,原路返回11小时才能到达甲地,已知水流速度为2千米/时,求甲

乙两地的距离．

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