高一数学作业-立体几何初步

高一数学作业

第3章 立体几何初步 第37课 棱柱、棱锥和棱台

【基础平台】

1．观察图中各物体的形状，指出从它们抽象出几何体的类型.

2．正方体可以看作 平移，平移的距离 形成的几何体. 3．下列命题正确的是 （ ）

（A）棱柱的底面一定是平行四边形 （B）棱锥的底面一定是三角形

（C）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 （D）棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

4．如图，ABCD是一个正方形，E、F分别是AB和BC的中点，沿折痕DE、EF、FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？

D C F E 第4题图

A B

【自主检测】

1． 棱柱的侧面是 形，棱锥的侧面是 形，棱台的侧面是 形. 2． 如图所示，四棱柱的底面是 ； 侧棱是 ；

侧面是 . EHDBGFC

3．由 的几何体叫多面体.

A 观察课本P8.图1－1－10，说说食盐晶体、石膏晶体分别是什么几何体？ ；明矾晶体是由 组成的. 4．下列空间图形哪些是棱台（ ）

① ② ③ ④ （A）①② （B）②③ （C）①③ （D）②④ 5．画一个三棱柱和一个五棱台.

【拓展延伸】

1．将一块长方体豆腐切三刀，这块豆腐最少被切成几块？最多呢？.

2．你能用6根等长的火柴棍搭成4个三角形吗？（这4个三角形的边长都等于火柴棍长）.

第38课 圆柱、圆锥、圆台和球

【基础平台】

1． 写出你在生活中见过的圆柱、圆锥、圆台、球等实物名称： . 2． 右图是一个圆柱，请标出它的底面、轴、母线，并指出它是怎样生成的.

3．圆台是由 绕着 的直线旋转一周而形成的几何体.类比于棱台，圆台也可以看作是用 圆锥底面的平面去截圆锥， 之间的部分. 4．什么叫做球？什么叫做球面？试说出两者的实物模型.

【自主检测】

1.一个直角三角形绕斜边所在直线旋转360o形成的空间几何体为（ ） (A)一个圆锥 (B)一个圆锥和一个圆柱 (C)两个圆锥 (D)一个圆锥和一个圆台 2.下列说法不正确的是（ ） ．．．

（A）用一个平行于底面的平面去截圆锥所得的截面是一个圆面 （B）用一个平面去截一个球所得的截面是一个圆面 （C）用一个平面去截一个圆柱所得的截面是一个圆面 （D）用一个过轴的平面去截圆台所得的截面是一个等腰梯形

3.下图为实验室用的砝码、建筑用的铅垂以及螺栓的简图，指出它们分别由哪些简单几何体构成.

4.如果一个“空壳”圆柱内部恰好放下一个球，试作出它们的轴截面图形.

5.如图，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360o.试指出这个旋转体是哪些简单几何体构成的，并画出这个旋转体的直观图.

C B A

6.把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，求圆锥的母线长.

【拓展延伸】

1． 一个球形西瓜，横向切2刀，纵向切2刀，呈“井”字形，问：可以切成几块西瓜？

共有几块瓜皮？

2． 在平面几何中，不共线三点确定一个圆.那么在立体几何中，具备怎样的条件可以确

定一个球面呢？

第39课 中心投影和平行投影

【基础平台】

1.投影是光线（ ）通过物体，向选定的面（ ）投射，并在该面上得到图形的方法.

2． 的投影称为中心投影，它能形成非常逼真的直观图； 的投影称为平行投影，平行投影可分为 和 . 3.给出几何体如图，则它的主视图为 ，俯视图为 ，左视图为 .

正前方 ① ② ③

4.三视图中图形之间要注意以下联系： . 【自主检测】

1.关于三视图，判断正确的是（ ）

（A）物体惟一确定它的三视图 （B）物体的三视图惟一确定物体 （C）俯视图和左视图的宽相等 （D）主视图和左视图的长对正 2.如图是一个几何体的三视图，则对此几何体的描述正确的是（ ） （A）一个正立的圆锥 （B）一个倒立的圆锥

（C）一个倾倒的圆锥 （D）一个倒立的圆台

主视图 左视图 俯视图

3.如图所示放置的几何体（均由完全相同的立方体拼成）中，主视图和俯视图完全一样的是（ ）

A B C D

4.如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_______。（要求：把可能的图的序号都填上）

5.画出下列几何体的三视图.

6.如图是一个零件的直观图（单位：mm），画出它的三视图.

Ф18 18 36

【拓展延伸】

1.如图，设P是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1的延长线上一点，PA1＝AA1.以P为投影中心，以ABCD为投影面，作出正方形A1B1C1D1的中心投影.

PD1C1

A1B1DCBA

2.表示地形常用等高线图，实际上就是地形的一种直观图，请查阅有关等高线图的知识材料.

第40课 直观图画法

【基础平台】

1. 平面图形中，水平线OA与直线OB垂直，在斜二测画法中，这两条直线所成角为 .

2. 下列关于斜二测画法的论述不正确的是（ ） ．．．

（A） 原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，且长度不变 （B） 原图形中平行于z轴的线段，其对应线段平行于z′轴，且长度不变 （C） 画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成135° （D） 画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同 3. 如图所示的直观图对应的平面图形是 （A） 等腰梯形 （B） 直角梯形 （C） 平行四边形 （D） 矩形

4. 用斜二测画法画出长、宽、高分别为2cm、

4cm、3cm的长方体的直观图.

【自主检测】

O B′ C′ x′ y′ A′ D′ 1．有以下三个命题：①在中心投影中，两平行线经投影后仍保持平行；②在斜投影中，两平行线经投影后仍保持平行；③在斜二测画法中，直观图的线段和原线段长度之比是1：1或1：2.其中真命题的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

2．有以下四个命题：①相等的角在直观图中仍然相等；②相等的线段在直观图中仍然相等；③平行四边形的直观图仍然是平行四边形；④水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形.其中正确的命题序号为 .

3．空间图形的斜二测画法规则与平面图形的斜二测画法规则相比较，就是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，且在斜二测画法中，平行于z轴的仍旧保持 、 . 4．如图表示水平放置图形的直观图

（1）画出它原来的图形；（2）求出它的面积.

y′ C′ 1 B′ 1 O′ 2 A′ x′

5．已知几何体的三视图用斜二测画法画出它的直观图

主视图

左视图

俯视图

【拓展延伸】

已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为 A.

第41课 平面的基本性质（1）

【基础平台】 1．填表

位置关系 点P在直线AB上 点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 符号表示 323262a B. a C. a D. 2426a2

C?AB AB?平面AC AA1?平面AC ????l 2．平面几何中，直线是无限延伸的，直线没有粗细；那么平面是 ， 平面没有 . 3．下列命题正确的是（ ）

A.立体图形中的虚线是辅助线 B.一张白纸是一个平面 C.一个平面将空间分成两个部分 D.三点确定一个平面 4．看图填空：

A 平面ABC，A 平面BCD，BD 平面ABD, BD 平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝ ，

ADBC

平面 ∩平面 ＝BC. 【自主检测】

1．若点A在平面α内，直线l在平面α内，点A不在直线l上，则集合符号表示以上语句正确的为（ ）

A. A?l,l??,A?? B.A?l,l??,A?? C. A?l,l??,A?? D.A?l,l??,A??

2．已知平面α与平面β和平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有（ ） A. 1条或2条 B.2条或3条 C.1条或3条 D.1条或2条或3条

3．将“平面α与平面β相交于直线l，直线m，n分别在α、β内，且直线m与n相交于点O”用数学符号语言可表示为 ，并用图形来表示.

4．分别根据下列条件画出相应的图形： （1）P??,Q??,P?l,Q?l;

（2）????l,△ABC顶点A?l,B??,B?l,C??,C?l.

5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并说明

D1 A1

B1 理由.

C1

D

C

A

B

6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1=O1,B1D∩平面A1BC1＝P， 求证：点B、P、O1共线.

D1 A1 P

D C

O1 B1 C1

A 【拓展延伸】

B

如图所示，一空间四边形ABCD，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点. A G H

D B

F E

C

第42课 平面的基本性质（2）

【基础平台】

1．“将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整”的理论根据是 ； “照相机支架只需三条腿就够了”的理论依据是 ； “用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的 底端在同一平面内”的理论依据是 . 2．平面几何中“平行直线”的定义是 . 3．下列判断正确的是（ ）

A.一条直线和一点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.三条平行直线确定一个平面 D.两条相交直线确定一个平面 4．下列图形中不一定是平面图形的是 （A）三角形 （B）菱形 （C）梯形 【自主检测】

1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条平行直线可以确定一个平面 （ ） （3）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （4）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （5）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （6）若四点不共面，那么其中任意三个点一定不共线 （ ） 2．（1）空间四点中任何三点不共线，则该四点不在同一平面内； （2）两两平行的三条直线，最多可确定三个平面； （3）在空间，两组对边平行的四边形是平行四边形； （4）在空间，两组对边相等的四边形是平行四边形. 上述四个命题中，正确的命题个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

3．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，与对角线B′ D共面的棱共有 条.

A'AD'B'DBC'C （ ）

（D）四边相等的四边形

4．不共面的四点可以确定 个平面.

5．已知a??,b??,a?b?O,P?b,若PQ∥直线a，那么PQ??.

b a O QP α

6．求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一平面内.

a b α

【拓展延伸】

1．三个平面不可能把空间分成（ ） ．．．

A.4部分 B.5部分 C.7部分 D.8部分 2．证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

B l A 第43课 空间两条直线的位置关系——平行直线

【基础平台】

1．平面内两条直线的位置关系只有 两种，空间两条直线的位置关系有共面和 两种.

2．请你动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置关系？并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否仍成立？ 3．填表

位置关系 相交直线 平行直线 异面直线 是否共面 公共点个数 4．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系是 ，在空间这个结论是否仍成立？ 【自主检测】

1．下列关于两条直线a和b的说法正确的是（ ） A.若a不平行于b，则a与b一定相交. B.若a与b不相交，则必有a∥b.

C.若a与b没有公共点，则必有a∥b.

D.若a不平行于b，且a与b不相交，则a和b是异面直线. 2．两条异面直线指的是（ ）

A.不在同一平面内的两条直线 B.没有公共点的两条直线 C.不同在任何一个平面内的两条直线 D.分别在两个平面内的两条直线 3．若角α与β的两边分别平行，且α＝60°，则β＝ . 4．空间四边形的两条对角线相等，顺次连接四条边的中点所成的四边形一定是

.(从“矩形、菱形、正方形”选出一个填空)

5．在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且

CFCG2??,BD＝6cm. CBCD3（1）求证：四边形EFGH是梯形；

（2）如果四边形EFGH的面积为28 cm2，求平行线EH与FG间的距离.

AHEDBFGC

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为棱CC1、BB1、DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.

D'A'B'GDA

【拓展延伸】

C'ECBF

1． 在三棱锥A－BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：MN∥BD. （注：重心是三角形的特殊点之一，它是三条中线的交点，根据平行线分线段成比例的定理不难推出重心把一条中线分成2：1两段）

AMBNDC

2． 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是棱AB,CD的中点，试比较EF和

1(AD?BC)的大小，并证明你的结论. 2AEBFCD

第44课 空间两条直线的位置关系——异面直线

【基础平台】

1．下列平面几何中成立的命题在空间是否成立？若仍成立，请在后面的括号内打“√”，否则打“×”.

①平行于同一条直线的两条直线互相平行 （ ） ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （ ） ③过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （ ）

④过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （ ） ⑤一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线 （ ） 2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 （ ） A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面

3．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 （ ） A.一定异面 B.一定相交 C.相交或异面 D.平行或异面 4．两条异面直线所成的角的取值范围是 . 【自主检测】

1.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

PQRSRPQSRQRPPQSS

A. B. C. D. 2．下列命题中：

（1）∠ABC＝θ，直线a∥AB，b∥BC，则a与b所成的角为θ； （2）若直线a，b与直线c所成的角相等，则a∥b；

（3）若直线a∥b，且b与c所成的角为θ，则a与c所成的角也是θ； （4）若直线a，b与直线c所成的角不相等，则a与b不平行.

正确的命题的个数是 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与BD1异面的棱共有 条.

4．空间四边形ABCD中，AC与BD所成的角为60o，若AC＝8，BD＝8，M,N分别为AB,CD的中点，则线段MN的长是 .

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，求AE与D1F所成的角.

D1A1DFB1ECC1AB

6．如图所示，已知????a,b??,c??,且b?a?A,c∥a,求证：b，c为异面直线.

α a A c

β

b 【拓展延伸】

在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，M,N分别是BC和AD的中点，试作出异面直线AM与CN所成的角.

AFBECD

第45课 直线与平面的位置关系（1）

【基础平台】

1．填表： 直线与平面的位置关系

位置关系 公共点 符号表示 图形表示 2．直线和平面的公共点的个数可能为 . 3．若两条直线a∥b，b??，则a与平面?的位置关系是（ ） A.a∥? B.a与?相交 C. a∥?或a?? D. a?? 4．若直线a，b都平行于平面?，则a，b的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 【自主检测】

1．已知直线a∥平面?，P∈?，那么过点P且平行于?的直线（ ） A.只有一条，不在平面?内 B.有无数条，不一定在平面?内 C.只有一条，且在平面?内 D.有无数条，一定在平面?内

2．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与面PAD交于EF，则四边形EFBC是（ ）

A.空间四边形 B.平行四边形 C.梯形 D.菱形

3．若直线a∥平面M，直线b?M,则a与b的位置关系是 ；若直线a∥平面M，直线b与平面M相交，则a与b的位置关系是 .

4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1与截面AD1C的位置关系是 ，A1B

FAPEDC直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 B

与平面AD1C的位置关系是 .

5．已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.

已知：a∥b，a∥?,b??.求证：b∥?.

6．设????l,a∥?，a∥?.求证：a∥l .

lD1C1A1DB1CBAa? ?

【拓展延伸】

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

第46课 直线与平面的位置关系（2）

【基础平台】

C1A1B1DCAB1．下列命题中，正确的是（ ）

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 C.若一条直线平行于一个平面，则与这条直线垂直的直线必垂直于这个平面 D.若一条直线平行于一个平面，则与这个平面垂直的直线必垂直于这条直线 2．下列图形中，满足惟一性的是 （ ）

A.过已知直线外一点作直线的垂线 B.过已知直线外一点作与该直线平行的平面 C. 过一点作已知平面的垂线 D. 过平面外一点作与此平面平行的直线 3．若共点的三条线段OA,OB,OC两两垂直，则OA与BC的位置关系是 . 4．一条直线平行于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面 ； 一条直线上有两点到一个平面的距离相等且不为0，则这条直线与这个平面 . 【自主检测】

1．若a，b为直线，α为平面.下列命题中不成立的是（ ） A.若a∥b，a⊥α，则b⊥α C.若a⊥α，b??,则a⊥b

B.若a⊥α，b⊥α，则a∥b D.若a⊥b，a⊥α，则b⊥α

2．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则P到对角线BD的距离为（ ） 13A. 5

17B. 5

C.

29 2

D.

119

5

3．已知直线m、n和平面α、β满足: α∥β, m⊥α, m⊥n, 则n与β之间的位置关系是 . 4．已知△ABC的三边为3，4，5，P为△ABC所在平面α外一点，若它到三个顶点的距离都等于5，则点P到平面?的距离为 .

5．在四面体A－BCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC与BD相交于点O，求证： A1O⊥平面MBD.

【拓展延伸】

1. A、B、C、D是三棱锥的四个顶点，则到这四个顶点距离相等的平面共有 个. 2．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：MN⊥CD；

(3)若∠PDA＝45o，求证：MN⊥面PCD.

第47课 直线与平面的位置关系（3）

【基础平台】

1.圆柱中，任意两条母线互相 ，任意一条母线与底面互相 . 2.设直线l与平面α所成的角为θ，则θ∈ （区间）.

3.直线a与平面α所成的角为30o,直线b在平面α内,若直线a与b所成的角为?,则( ) A.0???30 B.0???90 C.300≤?≤900 D.300≤?≤1800

0000PAMNDBC4.在正方体AC1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上的任意一点，则直线OP与AM所成的角为（ ） A.30o B.45o C.60o D.90o 【自主检测】

1.已知A,B两点到平面α的距离分别为4,1,AB与α所成的角为60o,则线段AB在α上的射影长为（ ）

A.3 B.3 C.

3或53 D.3或5 32. 四面体P--ABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

3. A,B是平面?外的两点，它们在平面?内的射影分别是A1,B1,若A1A＝3,BB1=5, A1B1=10，那么线段AB的长是 .

4.若两条直线a, b在平面α上的射影是两条平行线，则a,b的位置关系是 . 5. 如图，四面体S－ABC中，∠BAC＝90?，∠SAB＝∠SAC＝60?，当SA＝a时，(1) 求SA在平面ABC中的射影长；(2) 求SA与平面ABC所成的角.

6.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1. (1)求异面直线A1C与BCl所成的角； (2)试求BCl与平面AA1C1C所成的角.

D1

ADBA1B1C1C

【拓展延伸】

1.已知a，b是异面直线，在下列命题中，假命题是（ ）

A、一定存在平面?过a且与b平行 B、一定存在平面?过a且与b垂直 C、一定存在平面?与a、b成等角 D、一定存在平面?与a、b距离相等

2.若直角∠ABC的一边BC平行于平面α ，另一边AB与平面α斜交于点A，判断∠ABC在平面α上的射影（正投影）是锐角、直角还是钝角？证明你的结论.

第48课 平面与平面的位置关系（1）

【基础平台】

1．填表： 两个平面的位置关系

位置关系 公共点 符号表示 图形表示 2．“工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的”，这种检测原理是 . 两平面平行 两平面相交

2．在直二面角??l??的棱l上取一点A，过A分别在面?,?内作与l成45o角的直线，则所作的两条直线所成的角是（ ）

A.45o B.60o C.90o D.120o

3．已知?,?是两个平面，直线l??,l??,若以①l??,②l∥?，③???中的两个为条件，另一个为结论，则能构成的真命题是 （用符号表示出所有你认为正确的答案）

4．如图，已知：平面α⊥平面β，直线l??,l??,求证：l∥α .

?

l?

5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分别为棱A1D1，A1B1，AB，

BB1的中点，求证：平面PQS⊥平面B1RC.

6．已知长方形ABCD中，AB＝a，AD＝2a，AD、BC的中点分别为E、F，沿EF将此长方形折成直二面角，求翻折后直线AF与BC所成的角.

【拓展延伸】在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1∥平面C1DE； （2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE； （3）求二面角B—C1D—E的余弦值.

第51课 空间图形的展开图

【基础平台】

1.在初中我们学过圆柱的侧面展开图是一个 形，圆锥的侧面展开图是一个 形. 2. 叫做直棱柱，正棱柱是指 ，所以两者关系用集合符号表示为{正棱柱} {直棱柱}（用刭,3.下列说法正确的是（ ） A.正棱锥就是底面为正多边形的棱锥

B.棱柱的平面展开图的面积就是这个棱柱的侧面积

C.棱锥的平面展开图的面积就是这个棱锥的表面积（或称全面积） D.球的表面也可以象圆柱、圆锥、圆台一样展开为平面图形 4. 完成箭头图，并记住.

S正棱台侧＝填空）

1(c?c')h' 2

S正棱台侧＝

【自主检测】

1(c?c')l??(r?r')l 2

1.中心角为?，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A:B等于（ ） A.11:8 B.3:8 C.8:3 D.13:8

2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）

34A.

1?2?1?4?1?2?1?4? B. C. D. 2?4??2?3.棱长都为1的正三棱锥的全面积是（ ） A.33 B.3 C.2 D.3 44.一个正三棱台的上底和下底的周长分别为12cm，30cm，而侧面积等于两底面积之差，则斜高等于 cm.

1

5.圆台侧面展开图是外半径为75，内半径是45的圆环的 ,则该圆台的高为 .

36.长方体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点A出发的三条棱长分别是AD=3,AA1=4,AB=5， 则从点A沿表面到点C1的最短距离为 .

7.已知圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，底面圆周上有一点A，求一个小虫P自A点出发在侧面上绕一周回到A点的最短路程.

8. 如图,三棱锥P－ABC中,AP＝AC,PB＝2,将此三棱锥沿三条侧棱剪开,其展开图是一个直角梯形P1P2P3A．

(1) 求证：侧棱PB⊥AC；

(2) 求侧面PAC与底面ABC所成二面角的余弦值．

A P P1

B B A

P2 P3

C C

【拓展延伸】

1．如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB，CD在原来正方体中的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直 C.相交且成60o的角 D.异面且成60o的角

A B D C

2．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （2）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

第52课 柱、锥、台、球的体积（1）

【基础平台】

1．完成柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

V台体＝h(S?SS'?S')

1

2．正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的 时，它的体积是原来的（ ）

21111A. B. C. D. 24822

3．已知圆锥的高和底面直径都等于a，则该圆锥的体积为（ ）

13A.

?3???3a B. a3 C. a3 D. a 346124．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与底面所成的角是45o，则这个正三棱台的体积等于（ ） A.

231428 B.14 C. D.

933【自主检测】

1．已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为（ ） A. 82 B.8 C.16 D.162

2．若正方体的棱长为a，过有公共点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A.

1325113a B. a3 C. a3 D. a 236123．已知矩形的长为2a，宽为a，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为（ ） A.

a3?

a3B.

2?a3C. 或

?2?a3D.

a3?或?a

34．圆锥的中截面把圆锥分成一个小圆锥和一个圆台，则上、下两部分的体积之比是 . 5．一盛满水的无盖圆柱水桶，母线长为5dm，底面半径为4dm，将其倾斜45o后，能够流出水 dm3.

6．如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA、BC的公垂线ED＝h. 1

求证：三棱锥P－ABC的体积V＝ l2h .

6

PEADB

【拓展延伸】

1

用上口直径为34mm、底面直径为24mm、深为35mm的水桶盛得的雨水正好为桶深的 ，

5问此次的降雨量约为多少（精确到0.1mm）？（降雨量是指单位面积的水平地面上降下雨水的深度）

17

C35 h 12

第53课 柱、锥、台、球的体积（2）

【基础平台】

1.若球的半径扩大为原来的2 倍，则球的体积比原来增加（ ） A.2倍 B.4倍 C.22 倍 D.（22 －1）倍 2.棱长为a的正方体的外接球的表面积是（ ） A.4πa2 B.3πa2 C.2πa2 D. πa2

3.已知三个球的半径之比为1：2：3，则最大球的表面积是其余两球表面积之和的 倍.

4.若将球的表面积扩大为原来的4倍，则该球的体积扩大 倍. 【自主检测】

1.湖面上漂着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则可以推知该球的表面积为（ ）

A.169πcm2 B.256πcm2 C.576πcm2 D.676πcm2

2.圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的小球浸没于容器的水中.若同时取出这两个小球，则水面下降（ ）

5824A. cm B. cm C. cm D. cm 3333

3.若一个等边圆柱（即轴截面为正方形的圆柱）的侧面积和一个球的表面积相等，则这个圆柱与这个球的体积之比是（ ）

A.1:1 B.3:4 C.4:3 D.3:2 4.正方体的内切球与外接球的表面积之比是 .

5.若一圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为 . 6.表面积相等的正方体和球相比，体积较大的几何体是 ；体积相等的正方体和球相比，表面积较小的几何体是 .

7.已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱的底面半径、高分别为何值时，它的侧面积最大？

8.圆柱的底面直径与高均等于球的直径，求证： （1）球的表面积等于圆柱的侧面积; 2（2）球的表面积等于圆柱的全面积的 .

3

【拓展延伸】

1.一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则R与r的比值为 .

2.如图所示，直角梯形O2BAO1内有一个内切半圆O，把这个平面图形绕直线O1O2旋转一周得到圆台内有一个内切球.已知圆台全面积与球的表面积之比为k（k>1）,求圆台与球的体积之比.

rO1AMOO2RB

第54课 本章小结与复习（1）

【基础平台】

1．如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面上的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）

A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 2．对于直线m、n和平面?，下面命题中的真命题是

A．如果m??,n??,m、n是异面直线，那么n//? B．如果m??,n??,m、n是异面直线，那么n与?相交 C．如果m??,n//?,m、n共面，那么m//n D．如果m//?,n//?,m、n共面，那么m//n

（ ）

3．填空题

（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平

行线有 条；平行平面有 个.

（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；

平行线有 条；平行平面有 个.

4．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：

①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α； ②若l∥α，则l平行于α内所有直线；

③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；④若l?β，且l⊥α，则α⊥β；⑤若m?α，l?β，且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是________． 【自主检测】

1．设m、n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m??，n//?，则m?n

②若?//?，?//?，m??，则m?? ③若m//?，n//?，则m//n ④若???，???，则?//?

其中正确命题的序号是 ( )

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④

2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是

A．三角形

B．四边形

C．五边形

（ ） D．六边形

3．α、β是两个不同的平面, m、n是α、β之外的两条不同直线, 给出四个论断: ①m⊥n; ②α⊥β; ③n⊥β; ④m⊥α. 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题 .

4．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD，或任何能推出这个条件的其他条件，例如________时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)

5．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，

P E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （Ⅰ）证明PA//平面EDB；

F E （Ⅱ）证明PB⊥平面EFD；

（Ⅲ）求二面角C—PB—D的大小.

D C

A B

6．三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3， （1）求证：AB ⊥ BC； （2）设AB=BC=23，求AC与平面PBC所成角的大小.

【拓展延伸】

1．已知a、b为不垂直的异面直线，则a、b在?上的射影有可能是 . ?是一个平面，

①两条平行直线 ③同一条直线

②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 2．下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.

第55课 本章小结与复习（2）

【基础平台】

1．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积是 （ ）

a3a3A． B． 612

3323C．a D．a12122．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，

它们的侧面积比为1∶2，那么R＝ （ ）

A．10 B．15 C．20 D．25 3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

4．一条长为4cm的线段AB夹在直二面角?－EF－?内，且与?,?分别成30?，45?角，那么A、B两点在棱EF上的射影的距离是 . 【自主检测】

1．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）

A．π2π2a B．a 32 C．2πa2 D．3πa22．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ]

A．323 B．283 C．243 D．203

3．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 ( )

A.

10 5 B.

15 5C.

4 5 D.

2 3D1A1B1C1EDyFAOB C4．设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为3，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为 . 5．如右下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1. D1 C1 （Ⅰ）求二面角C—DE—C1的正切值;

B1 （Ⅱ）求直线EC1与FD1所成的余弦值.

A1

D C

F

A E B

6．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动. （1）证明：D1E⊥A1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为

【拓展延伸】

1．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

?. 4AB=BC=2，BB1=2，?ABC?90，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 2．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

D C

?MNA

本章复习题

A组

EB1.在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF和GH能相交于点P，

那么

（A）点P必在直线AC上 （B）点P必在直线BD上 （C）点P必在平面ABC内 （D）点P必在平面上ABC外 2.用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是 ．．．

（A）六边形 （B）菱形 （C）梯形 （D）直角三角形 3.空间两直线l、m在平面?、?上射影分别为a1、b1和a2、b2，若a1∥b1，a2与b2交 于一点，则l和m的位置关系为

（A）一定异面 （B）一定平行 （C）异面或相交 （D）平行或异面 4.下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面．．．

的一个图是

SPSPSPSSPSSPRPQRQSPRPRRPRPRQRRQPPQPRSQQQQQPPPSRQQQSR

SSQRSRSRQSR

Q

（A） （B） （C） （D）

5.有三个平面?，β，γ，下列命题中正确的是 （A）若?，β，γ两两相交，则有三条交线 （B）若?⊥β，?⊥γ，则β∥γ

（C）若?⊥γ，β∩?=a，β∩γ=b，则a⊥b （D）若?∥β，β∩γ=?，则?∩γ=?

6.正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC中点，N为D1C1的中点，则NB1与A1M所成的角

等于

（A）300 （B）450 （C）600 （D）900 7.在直二面角??MN??中，等腰直角三角形ABC的斜边BC??，一直角边AC??，BC与?所成角的正弦值为（A）

6，则AB与?所成的角是 4???? （B） （C） （D） 6342BαMAβCN

（第7题图）

8.已知正方形ABCD，沿对角线AC将△ADC折起，设AD与平面ABC所成的角为β，当

β取最大值时，二面角B―AC―D等于

（A）1200 （B）900 （C）600 （D）450

9.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，

则四棱锥B－APQC的体积为 VVVV（A） （B） （C） （D）

2345A1PB1QACC1B （第9题图）

10.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 a3a3a3a3 （A） （B） （C） （D）

3461211.正方体的两个面上的两条对角线所成的角为 ． 12.在三棱柱ABC－A1B1C1中，P，Q分别为AA1，BB1上的点，且A1P=BQ，

则（VC－ABQ+VC－ABP）∶VABC?A1B1C1? ． 13. 如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC.DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB，SB=BC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.

14. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足. （Ⅰ）求证：AF⊥DB;

（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于3?，求直线DE与平面ABCD所成的角.

B组

1.二面角??l??是直二面角，A??，B??，设直线AB与?、?所成的角分别为∠1和

∠2，则

（A）∠1+∠2=900 B）∠1+∠2≥900 （C）∠1+∠2≤900 （D）∠1+∠2＜900 2.已知边长为a的菱形ABCD，∠A=

已知θ∈[

?，将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ， 3?2?，]，则两对角线距离的最大值是 333333（A）a （B）a （C）a （D）a

4224

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是

（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条 4.斜棱柱底面和侧面中矩形的个数最多可有

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）6个 5.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=

EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为 （A）

915 （B）5 （C）6 （D） 22EF3，2DABC

（第5题图）

6.如图，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC=900，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在

（A）直线AB上 （B）直线BC上 （C）直线AC上 （D）△ABC内部

BACB1A1C1

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为 时，

体积VP－AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．

PEDEACMDCBB A （第7题图） （第8题图）

8.如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB=3DC，M为AE的中

点，设E－ABCD

的体积为

V，则三棱锥

M－EBC

的体积

为 ． 9.四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，给出三个结论：

（1）四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱；（2）底面ABCD为菱形；（3）AC1⊥B1D1． 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，可以得到三个命题，其中正确

命题的个数为 ．

10.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中

点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图形序号）

PMNlMlPNMlMlNPPlNN P M

① ② ③ ④ ⑤

11. 已知：平面??平面??直线a?,?同垂直于平面?，又同平行于直线b.

求证：（Ⅰ）a??;（Ⅱ）b??.

12. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点。 （Ⅰ）证明AD⊥D1F; （Ⅱ）求AE与D1F所成的角; （Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;

（Ⅳ）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积VF-A1ED1.

D1A1B1C1EFDABC

本章测试

（总分150分 时间120分钟）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1、用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般平行四边形 2、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、具有下列性质的三棱锥必定是正棱锥的是（ ） A．顶点在底面的射影是底面各顶点距离相等 B．底面是正三角形且侧面都是等腰三角形 C．相邻两条侧棱间的夹角都相等

D．三条侧棱长相等，侧面与底面所成的角也相等

4、设棱锥的底面面积是8cm2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（ ）

A．4cm2 B．22cm2 C．2cm2 D．2cm2

5、圆台上、下底面积分别为?,4?，侧面积为6?，这个圆台的体积是 （ ）

（A）

23?73?73? （B）23? （C） （D） 3636、有一个长、宽、高分别为6cm、8cm、10cm的长方体，将其分割成两个等体积的小长

方体．则小长方体对角线长不可能是（ ）

A、55cm B、142cm C、152cm D、173cm

7、三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3、4、5，则OP的长为 （ ）

A．53 B．52 C．35 D．25

8、将棱长为3的正四面体的各棱长三等份，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19 9、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有

A、1 B、2 C、3 D、4 10、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方

N 体中①BM与ED平行；②CN与BE异面；③CN

与BM成600角；④DM与BN垂直；以上四个命

D C M 题中，正确命题的序号是（ ）

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④

E A B

11、一个棱柱是正四棱柱的条件是

A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 F B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱

12、在xOy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）,则这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积为 A.

262520? B. ? C. 8? D. ? 333二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上.

13、已知正四面体ABCD的棱长为１，点P在AB上移动，点Q在CD上移动，当PQ的长取最小值时，平面ABQ与平面CDP所成的角为____________．

14、两个平面?,?都与第三个平面?相交，那么它们的交线的条数是 . 15、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是__________.

16、正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AB的中点，CD等于3a，则顶点A1到平面CDC1的距离为________________.

三、解答题:本大题共6小题，74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、(本题满分12分)

已知正四棱锥的底面边长为6cm，体积是363cm3.（1）求侧棱与底面所成角的正切；（2）求此棱锥的全面积.

18、(本题满分12分)

已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.

19、(本题满分12分)

在平行六面体ABCD-A?B?C?D?中，若三棱锥A－A?BD是正三棱锥．（I）求证：AC?⊥平面A?BD；（II）若AB=2cm，A?B=3cm，求八面体A?BDD?B?C的体积．

20、(本题满分12分)

1?如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?AA1，?BAC?90，D为棱BB1的中点．

2（Ⅰ）求异面直线C1D与AC所成的角； 1（Ⅱ）求证：平面A1DC?平面ADC．

C1 A1

B1

D

B C

A

21、(本题满分12分)

如图，在棱长为4的正立方体ABCD－A?B?C?D?中，O是A?B?C?D?的中心，点P在棱CC?上，且CC?=4CP．

（I）求直线AP与平面BCC?B?所成

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