论毕达哥拉斯定理和费尔马大定理的美妙证明

毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式,费尔马大定理是一个正确的定理。

论毕达哥拉斯定理和费尔马大定理的美妙证明

沙寅岳

（ 浙江大学 宁波理工学院 东灵工程技术中心 ）

（中国浙江省宁波市鄞州区横溪镇桃园新村路下9号105室，邮编：315131）

E-mail: shayinyue@http://www.77cn.com.cn 摘 要： 本文采用公式展开和消项的方法，轻而易举地给出了勾股定理（毕达哥拉斯定理）的通解公式，进而给出了二组勾股定理的基本数组，这些数组在勾股定理中具有基础性的地位。 关键词：勾股定理，毕达哥拉斯定理，费尔马大定理，互质数，正整数解。

中图分类号：O156.1

1.勾股定理的研究历史

对于如何求得勾股方程x2 y2 z2的正整数解（即勾股数组），古今中外的数学家们进行了大量探索并给出了各具特色的数学公式．它们分别是：

2毕达哥拉斯公式：x 2n 1，y 2n2 2n，z 2n 2n 1（其中n 1,n N）．

2柏拉图(Plato) 公式：x 2m，y m2 1，z m 1（其中m 2,m N）．

欧几里得(Euclid) 公式：x

并且m,n为完全平方数)． mn ，y 12(m n)， z 12(m n)；（其中m,n同奇偶，

丢番图(Diophantus) 公式：x m 2mn ，y n 2mn ，z m n 2mn；（其中2mn为完全平方数)．

但其中较为便捷的方法当属我国清代数学家罗士琳提出的勾股数组公式：

取m,n为任意正整数，并且m n，则有下面公式：

x m2 n2

y 2mn

z m2 n2

中的x,y,z必然是勾股数组．

在以上的各种公式中，都难以发现所有这些勾股数组之间的发展关系和演变规律．时至今日，寻找一个通用公式，通过简单直观的计算就能够一个不漏的求得勾股方程的全部非零正整数解，进而找到不同勾股数组中x,y,z的内在联系和演变规律，仍然是勾股数组性质研究中需要解决的难点． 这里我们利用公式展开法和消项法轻而易举地完成了对勾股方程的通解公式的巧妙推导，而且通俗易懂，文字不多，稍有数学知识的人都能看懂．

毕达哥拉斯公式可能是采用这一方法得出的，但由于保密而早已失传，所以我的推导方法或许就是重演了毕达哥拉斯公式的推导过程，这种方法还为费尔马大定理的美妙证明提供了很好的数学基础，这就是这篇论文再来研究勾股方程的通解公式的原因．

2.毕达哥拉斯定理的美妙证明

柏拉图——毕达哥拉斯定理：

当 n为2时，不定方程：A↑2＋B↑2 ＝ C↑2 的正整数通解公式为：

2×A ＝ D×（E↑2 －1）

柏拉图公式：设E＝2N，那么，有：A＝4N↑2－1，C＝4N↑2＋1，B＝4N。

毕达哥拉斯公式：设E＝2N＋1，那么，有：A＝2N↑2＋2×N，C＝2N↑2＋2N＋1，B＝2N＋1。 1

毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式,费尔马大定理是一个正确的定理。

证明：设A、B和C为两两互质数，那么，有：

A↑2 ＋ B↑2 ＝ C↑2 ＝（A＋D）↑2 ＝ A↑2 ＋ D×（2×A＋D）

式中A和D为互质数，否则， A和C不是互质数。简化上面公式，有：

B↑2 ＝ D×（2×A＋D）＝ D↑2× E↑2

（2×A＋D）＝ D× E↑2

2×A ＝ D×（E↑2 －1）

柏拉图公式：设E ＝ 2×N，那么，有：

2×A ＝ D×（E↑2 －1）＝ D×（4×N↑2 －1），D ＝ 2，

A ＝ 4×N↑2 －1，C ＝ 4×N↑2 ＋1，B ＝ 4×N ＝ 2×E：

N ＝ 1：E ＝ 2，A ＝ 3，C ＝ 5，B ＝ 4；

N ＝ 2：E ＝ 4，A ＝ 15，C ＝ 17，B ＝ 8；

N ＝ 3：E ＝ 6，A ＝ 35，C ＝ 37，B ＝ 12；

毕达哥拉斯公式：设E ＝ 2×N＋1，那么，有：

2×A ＝ D×（（2×N＋1）↑2 －1）＝ D×（4×N↑2＋4×N），

A ＝ D×（2×N↑2＋2×N），D ＝ 1，

A ＝ 2×N↑2＋2×N，C ＝ 2×N↑2＋2×N＋1，B ＝ 2×N＋1 ＝ E：

N ＝ 1：E ＝ 3，A ＝ 4，C ＝ 5，B ＝ 3；

N ＝ 2：E ＝ 5，A ＝ 12，C ＝ 13，B ＝ 5；

N ＝ 3：E ＝ 7，A ＝ 24，C ＝ 25，B ＝ 7；

3.费尔马大定理的美妙证明

命题一：设不定方程：A↑n＋B↑n ＝ C↑n，A、B、C和n为正整数，如果A、B和C三个数中任意二个数能被正整数D整除，那么，第三个数也必能被正整数D整除。

证明：设 A ＝ a×D，B ＝ b×D，那么，有：

C↑n ＝ A↑n＋B↑n ＝ （a×D）↑n＋（b×D）↑n

＝（a↑n×D↑n）＋（b↑n×D↑n）＝ D↑n×（a↑n＋b↑n）

显然，C↑n 能被 D↑n整除，所以，第三个数C能被正整数D整除。由此，对于不定方程：A↑n＋B↑n ＝ C↑n，所有的正整数解都可简化为两两互质的正整数解。

命题二：当 n为大于2的正整数时，不定方程：A↑n＋B↑n ＝ C↑n 无正整数解。

证明：设A、B和C为两两互质数，那么，有：

A↑n＋B↑n ＝ C↑n ＝（A＋D）↑n

＝ A↑n ＋ n×A↑（n－1）×D ＋ n×（n－1）/ 2 ×A↑（n－2）×D↑2 ＋ E×D↑3 式中E为正整数，A和D为互质数，否则，A和C不是互质数。简化上面公式，有：

D×（ n×A↑（n－1）＋ n×（n－1）/ 2×A↑（n－2）×D ＋ E×D↑2 ）

＝ B↑n ＝ D↑n×F↑n

n×A↑（n－1）＋ n×（n－1）/ 2×A↑（n－2）×D＋E×D↑2 ＝ D↑（n－1）×F↑n 式中F为正整数，只有当 D＝n 时，n×A↑（n－1）才能被D整除，简化上面公式，有： n×A↑（n－1）＋n×（n－1）/ 2×A↑（n－2）×n ＋E×n↑2 ＝ n↑（n－1）×F↑n A↑（n－1）＋ n×（n－1）/ 2×A↑（n－2）＋E×n ＝ n↑（n－2）×F↑n

2×A↑（n－1）＋ n×（n－1）×A↑（n－2）＋ n×2×E ＝ n↑（n－2）×2×F↑n

当n 为大于2的整数时，n↑（n－2）×2×F↑n可以被n整除，n×（n－1）×A↑（n－2）可以被n整除，n×2×E可以被n整除，而2×A↑（n－1）不能被 n 整除，由此可知：此等式不能成立。因此，不定方程：A↑n＋B↑n ＝ C↑n，当n大于2时无正整数解。

4.结论

通过上面的一些研究，我们发现，毕达哥拉斯公式和柏拉图(Plato) 公式都是基础性的勾股数组的通解公式，费尔马大定理是一个正确的定理。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t6un.html