七数培优竞赛讲座第13讲 一次方程组

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第十三讲 一次方程组

一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，教材只介绍了二元一次方程组、三元一次方程组的概念、解法，类似地我们可得到四元一次方程组、五元一次方程组等，尽管元数可以增加，但是它们的解法却是一样的．“消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法．

解一些复杂的方程组(如未知数系数较大、方程个数较多等)，需要观察方程组下系数特点，着眼于整体上解决问题，常用到整体叠加、整体叠乘、设元引参、对称处理、换元转化等方法技巧．

对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数．基本思路是通过消元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．

例题

【例1】 给出下列程序： ，且已知当输入x值为1时，输出值为1；输入的x值为一1时，输出值为一3，则当输入的x值为

1

时，2

输出值为 ． (南通市中考题)

思路点拨 建立关于k，b的方程组，解方程组先求出k、b的值．

注：方程、方程组是代数研究的主要内容，当未知数增加、未知数的次数增高，就得到复杂的方程组和高次方程，这是后续学习的主要内容，但解法的思想却不变，即消元与降次．

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程蛆的解的基本方法．透彻理解方程蛆的概念并能灵活适用，是解与方程组的概念相关问题的关键．

5x2 2y2 z2

【例2】 若4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0(xyz≠0)，则代数式的值等于222

2x 3y 10z

( )． A．

119 B． C．—15 D．—13 22

(全国初中数学竞赛题)

思路点拨 视z为常数，解关于x、y的方程组，这是解本例的关键． 【例3】 解下列方程组：

x y 7 (1)

2x 3y 1

(2)

1995x 1997y 5989

1997x 1995y 5987

pq6

p q5

3 qr

(3)

q r4 rp 2 r p3

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思路点拨 对于(1)解关于x、y的方程组，对于(2)运用整体叠加法解；对于(3)通过取倒数、拆分得到关于

111

、、的方程组． pqr

y kx b

【例4】 k、b为何值时，方程组

y (3k 1)x 2

(1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?

思路点拨 通过消元，将方程组的解的情况的讨论转化为一元一次方程解的情况讨论． 注： 所谓“整体叠加”就是说在解一些复杂的方程组，若方程组未知数系数规律可循，可直接把方程作加或作减，而不必拘泥于一般意义上的代入法、加减法，就能达到简化方程组目的．

【例5】 已知m是整数，方程组

4x 3y 6

有整数解，求m的值．

6x my 26

( “华杯赛”试题)

思路点拨 先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．

5x y 3 5x by 3

【例6】已知方程组 与 有相同的解，则a,b的值为( )

x 2y 5ax 5y 4

A．

a 1 a 4 a 6 a 14

B． C． D．

b 2 b 6 b 2 b 2

5x y 3思路点拨 由方程组的解的意义可知，它的解满足方程组

x 2y 5

解之得

a 14 x 1 ax 5y 4

，代入 得解 ，故选D．

b 2 y 2 5x by 1

【例7】 (全国初中联赛题)若a、c、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，

那么a+b+c+d的最大值是( )

A．－1 B．－5 C．0 D． 1

a 3b

思路点拨 有条件得 c 2b，∴a+b+c+d=－5b

d b

∵b是正整数，其最小值为1，于是a+b+c+d =－5b的最大值是－5．

故选B．

(x y) 1989(y z) 1990(z x) 0 (1) 1988

【例8】(全国通讯赛试题)已知： ， 222

1988(x y) 1989(y z) 1990(z x) 1989 (2)

求z-y的值．

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思路点拨∵x-y=(x-z)+(z-y)，代入方程组并化简得

2(x z) (z y) 0 (3)

2(1988 1990)(x z) (1988 1989)(z y) 1989 (4)

（4）－(3)×(1988+1990)得z-y=1989

学力训练

1．（1）方程组

x 2(x 2y) 4

的解是 ．

x 2y 2

(荆州市中考题)

(2)若关于x的方程m(x一1)＝2001一n(x一2)有无数个解，则m2003+n2003＝ ． 2．(1)已知方程组

ax 5y 15 (1)

，由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为

4x by 2 (2)

x 3 x 5

；乙看错了方程②中的b得到方程组的解为，若按正确的a、b计算，则原

y 1 y 4

方程组的解为 ． (2)若3a

2n m

5

和都是2a的同类项，则2(nm) (nm) (nm)的值

3

52

12

53

是．

3．若x y 与x y 3互为相反数，则(x+y)2001＝ ． ( “希望杯”邀请赛试题)

3x 5y 2a

4．当a＝ 的解x、y互为相反数，方程组的解

2x 7y a 18

为 ． (天津市竞赛题)

5．已知x-y=4，x y 7，那么x+y的值是( )． A．土

311

B．土 c．士7 D．土11 22

(宁波市中考题) 6．关于x、y的方程组

ax 3y 9

无解，则a的值为( )．

2x y 1

A．一6 B．6 C．9 D．30

ax by 7 x 2

7．若 是方程组 的解，则a与c的关系是( )．

bx cy 5y 1

A．4a+c＝9 B．2a+c＝9 C．4a一c＝9 D．2a—c＝9 8．已知(x一y+1)2十2x y 7＝0，则x2一3xy+2y2的值为( )．

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A．0 B．4 C．6 D．12 (重庆市竞赛题) 9．解下列方程组：

3 4

10 361x 463y 102 3x 2y2x 5y

(1) （2）

52 463x 361y 102 1 3x 2y2x 5y

（3）

x 1 y 2 6

x 1 2y 4

10．已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程(a一b)x一(a十b)y＝a+b 有一组公共解，求这个方程的公共解． (江苏省竞赛题) 11．若a b 2,a c

193

，则(b c) 3(b c) ．

24

c＝．

13．m为正整数，已知二元一次方程组 ＝ ．

(“希望杯”邀请赛试题)

14．当k、m的值符合条件时，方程组

mx 2y 10

有整数解，即x、y均为整数，则m2

3x 2y 0

y kx m

至少有一组解．

y (2k 1)x 4

15．若方程组

2x 3y 7 ax by 6

与方程组 有相同的解，则a、b的值为( )．

ax by 4 4x 5y 3

A．a=2,b=1 B．a=2,b=-3 C．a=2.5,b=1 D．a=4,b=-5

(“信利杯”竞赛题)

16．设a.0,b 0,c 0，若x

A．

abc

，则x的值为（ ） b ca ca b

13

B．1 C． D．2 22

1999

17．满足y z z x

1999

x y

2000

2的整数组(x,y,z)有（ ）组

A．3 B．5 C．8 D．12 18．已知：a,b,c三个数满足（ ）

ab1bc1ca1abc

, , ，则的值为a b3b c4c a5ab bc ca

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A．

1121 B． C． D． 6121520

19．解下列方程组：

ab 1 bc 2

x(y z) 27 x y 1

（1） cd 3 （2） （3） 求方程组 y(x z) 35的正整数解．

x 2y 3 z(x y) 28 de 4

ea 6

20．若x1~x5满足下列方程组：

2x1 x2 x3 x4 x5 6 x 2x x x x 1212345

x1 x2 2x3 x4 x5 24 x x x 2x x 48

2345

1 x1 x2 x3 x4 2x5 96

求3x4 2x5的值． (美国数学邀请赛试题)

21．对于有理数x、y定义一种运算“Δ”：xΔy=ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3Δ5＝15，4Δ7＝28，求1Δ1的值． 22．已知x x y 10 (1)，y x y 12 (2)， 求x+y的值． (江苏省竞赛题)

参考答案

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新课标七年级数学竞赛讲座

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t6tj.html