格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用

Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中

的应用

摘要

格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。

关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用

目录

一、引言 ......................................... 1 二、格林（Green）公式的应用 ...................... 1

（一）格林公式的定义 .............................. 1 1、单连通区域的概念 ............................ 1 2、区域的边界曲线的正向规定 .................... 1 3、陈述 ........................................ 1 (二)格林公式的物理原型 ............................ 2 1、物理原型 .................................... 2 2、计算方法 .................................... 2 （三）格林公式与GPS面积测量仪 .................... 3 1.应用曲线积分计算平面区域面积 ................. 3 2.GPS面积测量仪的数学原理 ...................... 4 3.实验结果 ..................................... 5 4.进一步讨论 ................................... 5 （四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 1.扰动重力位的地面边值问题 ..................... 6 2.地面边值问题的格林公式表示 ................... 6

三、Stokes公式的应用 ............................. 8

（一）Stokes公式简介 ............................. 8 （二）环量与环量密度 .............................. 9 （三）环量的应用 .................................. 9

6 1.开尔文定理 ................................... 9 2.开尔文定理的推论 ............................ 10 3.升力 ........................................ 10 （四）旋度 ....................................... 11 （五）旋度的应用 ................................. 12 1. 平面矢量场的旋度 ........................... 12 2.环流量是区域?S内有无漩涡的量度 .............. 12 3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 .............. 13 4.空间矢量场的旋度 ............................ 14

四、Gauss公式的应用 ............................. 16

1、数学中的高斯公式 ........................... 16 2、保守场的推导 ............................... 17 3、高斯公式在电场中的运用 ..................... 17 4、高斯定理在万有引力场中的应用 ............... 19 5.高斯公式推证阿基米德浮力定律 ................ 21 6.高斯公式推证静电场中的高斯定理 .............. 22 7.高斯公式与散度 .............................. 24五、结语 ........................................ 25 六、参考文献 .................................... 26

一、引言

格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们有很强的物理意义即建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，因此它们有许多重要的应用，在数学上它们主要用来简化某些多元函数积分的运算，而在其他各个专业领域它们也有很多重要的应用。接下来将一一介绍它们在不同专业中的应用。

二、格林（Green）公式的应用

（一）格林公式的定义

Green公式反映了第二型平面线积分与二重积分的联系。

1、单连通区域的概念 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域；否则称为复连通区域. 通俗地讲，单连通区域是不含\洞\包括\点洞\与\裂缝\的区域. 2、区域的边界曲线的正向规定 设L是平面区域D的边界曲线，规定L的正向为：当观察者沿的这个方向行走时，平面区域(也就是上面的D)内位于他附近的那一部分总在他的左边. 简言之：区域的边界曲线的正向应符合条件：人沿曲线走，区域在左边，人走的方向就是曲线的正向。 3、陈述 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P?x,y?及Q?x,y?在D上具有一阶连续偏导数，则有 ??P?Q?? (1)????x??y????Pdx?Qdy ?LD? 其中L是D的取正向的边界曲线.公式⑴叫做格林(green）公式.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系，因此其应用十分地广泛[1].

1

(二)格林公式的物理原型

在工科的“高等数学”教材中,格林公式这部分都是先给出定理,然后加以证明、应用。讲这部分内容时,总有学生询问同一问题,即人们怎样想到这个公式,怎样想到曲线积分与重积分会有这样的数值上的联系?能否将格林公式的来源即物理原型加入教材呢?在教学中,试着加入这部分内容，并对公式作了简单的符号记法,简化了公式,降底了出错率,并对应用总结了几个类型。多年的实践证明,效果是很好的,下面就将加入的内容介绍如下[2]:

1、物理原型

在流体物理学中,称满足下述三个条件的“流速场”为“平面稳定流动”。 （1）场中每一点的速度都不随时间改变,只是位t的函数即

???V?P(x,y)i?Q(x,y)j

（2）所论流体介于两个互相平行的平面之间(为方便,不妨设平面间距离为l 个单位)其中之一称为底面(往往底面即为xoy坐标面)。 （3）垂宜于底面的直线上的各点流速相等, 并平行于底面。

在这种“平面稳定流动”中,我们来计算单位时间内流过曲线C的流体体积即流t 密度( 其实是流过以C 为准线、高为l 的柱体的流体体积; 简单用面积表示) 其中C 是平面上一个闭的、无重点, 光滑曲线。无重点, 是指曲线

X??(t),Y??(t),当t1?t2时，点(?(t1),?(t1))与(?(t2),?(t2))总是相异的。

2、计算方法

（1）在C上任取一小段弧线△S,在△t时间内流过△S的流体面积,近似于一个

?平行四边形的面积,它的一个边长是△S另一个相邻边长是流程V??t

?????因此面积为?s?V?t?cos(V?n)??s?(V?n)??t ?其中n是C的单位法向量

????单位时间内流体面积为：V?n??s

??n??cos?,cos?? 由曲线积分定义有总的流体面???V?nds;l为C的全长，设0l???则????Pcos??Qcos??ds

0l设l为点(x,y)处的切线，与x轴夹角cos??sin?,cos???cos?

?????Psin??Qcos??ds??Pdy?Qdx

0l 2

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