2019-2020学年河北省邢台十九中九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)

2019-2020学年河北省邢台十九中九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

1.下列方程中，是一元二次方程的为()

A. x2+3x=0

B. 2x+y=3

C. 1

x2

?x=0 D. x(x2+2)=0

2.已知a：b：c=2：3：4，则a?b+c

b

的值()

A. 1

2B. 1 C. ?1 D. 1

2

或?1

3.用配方法解一元二次方程2x2?12x?9=5，则方程可变形为()

A. 2(x?6)2=43

B. (x?6)2=43

C. 2(x?3)2=16

D. (x?

3)2=16

4.已知AB//CD，AD与BC相交于点O.若=，AD=10，则AO=

A. 4

B. 6

C. 8

D. 9

5.若关于x的方程x2?2x+a=0有一个根为1，则a的值为()

A. 0

B. ?1

C. 1

D. 2

6.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长

线于点E，则与△AEF相似的三角形有()

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

7.已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2?16x+55=0的根，则第三边长是()

A. 5

B. 11

C. 5或11

D. 16或22

8.如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：

(1)AB

AD =AC

AE

，(2)AB

AD

=BC

DE

，

(3)∠B=∠D，(4)∠C=∠AED，

其中能判定△ABC∽△ADE的个数为()

A. 1

B. 2

C. 3

D.

4

9.如图，在平行四边形ABCD中，BE：EC=3：4，AE交BD于点

F，则FE：FA为()

A. 3：7

B. 3：4

C. 4：3

D. 4：7

第19页，共19页

10.若关于x的一元二次方程x2?2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的

大致图象可能是()

A. B.

C. D.

11.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形，设矩形的一边长为xcm，则方程为()

A. x(40?x)=64

B. x(20?x)=64

C. x(40?x)=32

D. x(20?x)=32

12.若x1，x2是一元二次方程x2?x?6=0的两个根，则x1·x2的值是()

A. 1

B. 6

C. ?1

D. ?6

13.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD：BC=1：2，AC、BD交于

点O，记△AOD、△AOB、△BOC、△COD的面积分别为S1、S2、S3、

S4，下列结论正确的是()

A. S1：S2=1：4

B. S1：S3=1：2

C. S1?S3=S22

D. S1+S2=S3

14.一元二次方程x2?4x?8=0的解是()

A. x1=?2+2√3，x2=?2?2√3

B. x1=2+2√3，x2=2?2√3

C. x1=2+2√2，x2=2?2√2

D. x1=2√3，x2=?2√3

15.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖

直放置时影长1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一

楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上

影长为21米，留在墙上的影高为2米，旗杆的高度为()

A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

第18页，共19页

16.如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP=∠B；

②∠APC=∠ACB；③AC

AB =AP

AC

；④AB

AC

=BC

CP

；其中能判断△APC∽△

ACB的有()

A. ①②④

B. ①③④

C. ②③④

D.

①②③

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.已知点P是线段AB上的黄金分割点，PB>PA，PB=2，那么PA=______．

18.若一个等腰三角形的三边长均满足方程y2?6y+8=0，则此三

角形的周长为______．

19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，以

AC为斜边作Rt△ACC1，使∠CAC1=30°，Rt△ACC1的面积记为

S1，则S1=______；再以AC1为斜边作Rt△AC1C2，使∠C1AC2=30°，

Rt△AC1C2的面积记为S2，……，以此类推，则S n=______.(含n

的式子表示)

三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

20.解方程：

(1)x(x?2)+3(x?2)=0；

(2)x2?2x?3=0；

(3)x2?x?1=0；

(4)x2+2x?1=0．

21.关于x的方程3x2+mx?8=0有一个根是2

3

，求另一个根及m的值．

第19页，共19页

第18

页，共19页

22. 如图，

D 、

E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点．AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =3

4，求DE 的长．

23. 某科研所研制一种新型环保产品，需A 、B 两种原料若干千克，且B 种原料的质量是A 种原料

的质量的6倍，计划投入9.9万元采购A 、B 两种原料，现从原料商家了解到，A 种原料每千克的价格为3000元，B 种原料每千克的价格为600元．

(1)求最多能购买多少千克A 种原料？

(2)根据实际需求，科研所购买A 、B 两种原料的质量分别在(1)中能购买最多量的基础上都增加a%，商家在价格方面做了调整，A 种原料的价格每千克下降35a%，B 种原料的价格每千克下降5a 元，实际投入资金与计划投入资金相同，求a 的值．

24. 如图，已知O 是坐标原点，点B 、C 两点的坐标分别为(3,?1)、(2,1)．

(1)以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原来的2倍得到△O B′C′；

第

19页，共19页 (2)如果△OBC 面积为m ，则△O B′C′的面积为___________________；

(3)若线段BC 上有一点P(a,b)，请直接写出点P 的对应点P′的坐标____________．

25. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，点D 是射线CA 上的一个动点(不与A 、C 重

合)，DE ⊥直线AB 于E 点，点F 是BD 的中点，过点F 作FH ⊥直线AB 于点H ，连接EF ，设AD =x 2=4+2√2?4．

(1)若点D 在CA 边上且x =√2，求FH 的长。

(2)若点D 在射线CA 上，当△BEF 的面积为△ABC 面积的18时，求S ΔEFB =1

8S ΔABC 的值．

(3)若点D 在CA 边上，点P 是AB 边上的一个动点，DP 与EF 相交于O 点，当DP +FP 的值最小时，猜想DO 与PO 之间的数量关系，并加以证明．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：(1)含有一个未知数；(2)未知数的次数最高项的次数是2；(3)二次项系数不为0；(4)是整式方程．解答此题根据一元二次方程的条件判断即可．

【解答】

解：A.x2+3x=0，符合一元二次方程定义，故是一元二次方程；

B.2x+y=3，含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元二次方程；

C.1

x2

?x=0不是整式方程，故不是一元二次方程；

D.化简后方程为x3+2x=0，未知数的最高次数是3，故不是一元二次方程．

故选A．

2.答案：B

解析：解：解法一：由a：b：c=2：3：4，得

b=3a

2

，c=2a．

a?b+c

b =a?

3

2

a+2a

3a

2

=

3a

2

3a

2

=1，

解法二：由a：b：c=2：3：4，

设a=2k，b=3k，c=4k(k≠0)，

a?b+c

b =

2k?3k+4k

3k

=

3k

3k

=1

故选：B．

根据比例性质，可用a表示b，用a表示c，根据分式的性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b=3a

2

，c=2a是解题关键．3.答案：D

解析：解：∵2x2?12x?9=5，

∴2x2?12x=14，

x2?6x=7，

则x2?6x+9=7+9，即(x?3)2=16，

第18页，共19页

故选：D．

先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．

本题考查了配方法解一元二次方程的运用．

4.答案：A

解析：

【分析】

本题考查了相似三角形的性质和判定.根据AB//CD得出△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．

【解答】

解：∵AB//CD，

∴△AOB∽△DOC

∴AO

OD

=

BO

OC

∵AD=10，BO

OC =2

3

∴

AO

10?AO

=

2

3

∴AO=4．

故选A．

5.答案：C

解析：解：把x=1代入方程x2?2x+a=0得1?2+a=0，

解得a=1．

故选：C．

根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一元一次方程，然后解此一元一次方程即可．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6.答案：C

解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，AD//BC，

由AF//CD，可以推出△EAF∽△EDC，

由AE//BC，可以推出△AEF∽△BCF，

故选C．

第19页，共19页

根据平行四边形的性质、以及相似三角形的判定方法即可判断．

本题考查相似三角形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，属于基础题．

7.答案：A

解析：

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，三角形的三边关系，求出方程的解x1=11，x2=5，分为两种情况：①当x=11时，此时不符合三角形的三边关系定理；②当x=5时，此时符合三角形的三边关系定理，即可得出答案．

【解答】

解：x2?16x+55=0，

(x?11)(x?5)=0，

x?11=0，x?5=0，

解得：x1=11，x2=5，

①当x=11时，三角形的三边是4、7、11，

∵4+7=11，

∴此时不符合三角形的三边关系定理，舍去；

②当x=5时，三角形的三边是4、7、5，

∵此时符合三角形的三边关系定理，

∴第三边长是5．

故选A．

8.答案：C

解析：

【分析】

先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理判定即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

【解答】

解：∵∠1=∠2，

∴∠BAC=∠DAE．

∵∠B=∠D，

第18页，共19页

∴△ABC∽△ADE，∵∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE，

∵AB

AD =AC

AE

，

∴△ABC∽△ADE，

故选：C．

9.答案：A

解析：

【分析】

此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

由在?ABCD中，且BE：EC=3：4，易得BE：AD=3：7，△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

【解答】

解：∵BE：EC=3：4，∴BE：BC=3：7，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴BE：AD=3：7，△ADF∽△EBF，

∴FE

FA =BE

AD

=3

7

．

故选A．

10.答案：B

解析：【解答】

解：∵x2?2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=4?4(kb+1)>0，

解得kb<0，

A.k>0，b>0，即kb>0，故A不正确；

B.k>0，b<0，即kb<0，故B正确；

C.k<0，b<0，即kb>0，故C不正确；

D.k>0，b=0，即kb=0，故D不正确；

故选：B．

11.答案：B

第19页，共19页

解析：

【分析】

此题考查一元二次方程的应用，因矩形的一边长为xcm，根据矩形的周长可以用x表示另一边的长，然后根据面积公式即可列出方程．

【解答】

解：∵矩形的一边长为xcm，

∵矩形的周长为40cm，

∴另一边长为=(20?x)(cm)，

根据题意得，x(20?x)=64，

故选B．

12.答案：D

解析：

【分析】

本题考查根与系数的关系．

根据根与系数的关系可得：两根之积为c

a

，即可得答案．

【解答】

解：根据根与系数的关系可得：

x1·x2=c

a

=?6，

故选D．

13.答案：C

解析：

【分析】

本题主要考查了相似三角形的判定及性质有关知识，根据AD//BC得到△AOD∽△COB，可得相似三角形相似比，

再利用同高的三角形面积比等于底边比，可求面积比．

【解答】

解：∵AD//BC，

∴△AOD∽△COB，

∴OA：OC=AD：BC=OD：OB=1：2，

∴S1：S2=OD：OB=1：2，

同理，S1：S3=(AD

BC )

2

=1

4

，

第18页，共19页

∴S1：S2：S3=1：2：4，

∴S1?S3=S22．

故选C．

14.答案：B

解析：解：一元二次方程x2?4x?8=0，

移项得：x2?4x=8，

配方得：x2?4x+4=12，即(x?2)2=12，

开方得：x?2=±2√3，

解得：x1=2+2√3，x2=2?2√3．

故选：B．

方程利用配方法求出解即可．

此题考查了解一元二次方程?配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15.答案：B

解析：

【分析】

过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD=CE=21，CD=BE=2，设AE=x，则1：1.5=x：21，求出x即可解决问题．

本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用：物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

【解答】

解：过C作CE⊥AB于E，

∵CD⊥BD，AB⊥BD，

∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°，

∴四边形CDBE为矩形，

∴BD=CE=21，CD=BE=2，

设AE=x，则1：1.5=x：21，

解得x=14，

∴旗杆的高AB=AE+BE=14+2=16米．

故选B．

16.答案：D

第19页，共19页

解析：解：①∠ACP=∠B，∠A=∠A，可证△APC∽△ACB，故①符合题意；

②∠APC=∠ACB，∠A=∠A，可证△APC∽△ACB，故②符合题意；

③AC

AB =AP

AC

，∠A=∠A，可证△APC∽△ACB，故③符合题意；

④AB

AC =BC

CP

，∠A=∠A，不能证明△APC∽△ACB，故④不符合题意；

故选：D．

由相似三角形的判定依次判断可求解．

本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．

17.答案：√5?1

解析：

【分析】

根据黄金分割的概念和黄金比值是√5?1

2

计算即可．

本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB 和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．

【解答】

解：∵点P是线段AB上的黄金分割点，PB>PA，

∴PB=√5?1

2

AB，

解得，AB=√5+1，

∴PA=AB?PB=√5+1?2=√5?1，

故答案为：√5?1．

18.答案：10或6或12

解析：解：∵y2?6y+8=0

∴y=2，y=4

∴分情况讨论：

当三边的边长为2，2，4，不能构成三角形；

当三边的边长为2，4，4能构成三角形，三角形的周长为10；

当三边都是2时，三角形的周长是6；

当三角形的三边都是4时，三角形的周长是12．

故此三角形的周长为10或6或12．

根据方程y2?6y+8=0得出两边边长，再根据等腰三角形的性质和三边关系讨论求解．

求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应坚决弃之．注意等边三角形也是等腰三角形．

第18页，共19页

第19页，共19页 19.答案：32√3 3n √322n?1 解析：解：∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =4，

∴BC =12AB =2，

∴AC =√3BC =2√3，

∴S △ABC =12?BC ?AC =2√3，

在△ABC 1中，

∵∠CAC 1=30°，

∴CC 1═12

AC =√3， ∵∠BAC =∠CAC 1，∠ACB =∠AC 1C =90°，

∴△ACB∽△AC 1C ，

∴S △ACC 1

S △ABC

=(CC 1CB )2=(√32)2=34， ∴S 1=3

4?S △ABC =

3√32，同理可得，S 2=34?S 1=(34)2?S △ABC ，S 3=(3

4)3?S △ABC ，… 根据此规律可得，S n =(34)n ?S △ABC =3n √3

22n?1， 故答案为32√3；3n √3

22n?1，

首先计算得出△ABC 1的面积，进一步利用含30°角的直角三角形的特性以及勾股定理求得Rt △AC 1C 2和Rt △AC 2C 3的面积，找出规律得出结论．

此题考查勾股定理、含30°角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点，规律型题目，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会找规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 20.答案：解：(1)由原方程，得

(x +3)(x ?2)=0，

则x +3=0或x ?2=0，

解得x 1=?3，x 2=2；

(2)由原方程，得

(x +1)(x ?3)=0，

则x +1=0或x ?3=0，

解得x 1=?1，x 2=3；

(3)∵a =1，b =?1，c =?1，

∴x =1±√(?1)2?4×1×1

2×1=1±√52

，

第18页，共19页 解得x 1=

1+√52，x 2=1?√52；

(4)由原方程，得

x 2+2x =1，

配方，得

x 2+2x +1=1+1，即(x +1)2=2，

开方，得

x +1=±√2，

解得x 1=?1+√2，x 2=?1?√2．

解析：(1)通过提取公因式(x ?2)对等式的左边进行因式分解；

(2)利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；

(3)利用求根公式解方程；

(4)将一元二次方程配成(x +m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解．

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

21.答案：解：∵关于x 的方程3x 2+mx ?8=0有一个根是23，设另一根为a ，

∴23a =?83，即方程另一根a =?4，

则?4+23=?m 3，即m =10．

解析：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.利用根与系数的关系求出另一根，以及m 的值即可． 22.答案：解：

∵AE =1.5，AC =2，

∴AE AC =1.52=34=AD AB ，且∠EAD =∠CAB ，

∴△AED∽△ACB ，

∴DE BC =34，

即DE 3=34，

解得DE =94．

解析：由条件可得AE AC =AD AB ，可证明△AED∽△ACB ，再利用相似三角形的性质可得到DE ． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

第19页，共19页 23.答案：解：(1)设购买A 种原料x 千克，则购买B 种原料6x 千克，

根据题意得：3000x +600×6x ≤99000，

解得：x ≤15．

答：最多能购买15千克A 种原料．

(2)根据题意得：

3000×(1?3

5a%)×15×(1+a%)+(600?5a)×15×6×(1+a%)=99000， 整理，得：8a 2?300a =0，

解得：a 1=0(不合题意，舍去)，a 2=37.5．

答：a 的值为37.5．

解析：本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出关于x 的一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

(1)设购买A 种原料x 千克，则购买B 种原料6x 千克，根据总价=单价×数量结合计划投入9.9万元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；

(2)根据总价=单价×数量结合实际投入资金与计划投入资金相同，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

24.答案：解：(1)如图示，

(2)4m

(3)(?2a,?2b)．

解析：

【分析】

本题综合考查了直角坐标系中的位似变换及点的坐标的确定.注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．

(1)延长BO ，CO 到B′、C′，使OB′，OC′的长度是OB ，OC 的2倍．顺次连接三点即可；

(2)根据相似三角形的性质可得结果；

(3)从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以?2的坐标，根据点P 的坐标为(a,b)，可得点P 的对应点P′的坐标为(?2a,?2b)．

【解答】

解：(1)见答案；

(2)∵BC

B′C′=1

2

，

∴SΔOBC

SΔOB′C′=(BC

B′C′

)=1

4

，

∵△OBC面积为m，

∴△O B′C′的面积为4m．

故答案为4m；

(3)∵点P的坐标为(a,b)，

∴点P的对应点P′的坐标为(?2a,?2b)．

故答案为(?2a,?2b)．

25.答案：解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，

∵DE⊥直线AB，

∴DE=AE=√2

2AD=√2

2

x，

又∵FH⊥直线AB，

∴∠FHB=∠DEB=90°，∵∠HBF=∠EBD，

∴△FHB∽△DEB，

∴FH

DE =BF

BD

=1

2

，

∴FH=1

2DE=1

2

×√2

2

x=√2

4

x，

∵x=√2，

∴FH=√2

4x=1

2

；

(2)∵∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴AB=√AC2+BC2=√42+42=4√2，

以下分两种情况：

第18页，共19页

第19页，共19页 如图1，当点D 在CA 边上时，

∵AE =√22

x ， ∴BE =AB ?AE =4√2?√22

x ， ∴S △EFB =12BE ·FH =12(4√2?√22

x)·√24x =?18x 2+x ， ∴当△BEF 的面积为△ABC 面积的18时，?18x 2+x =18×8，

解得x 1=4?2√2，x 2=4+2√2>4(舍去)； 如图2，当点D 在CA 延长线上时，

∴S △ABC =1

2AC ·BC =8， BE =AB +AE =4√2+

√22x ， ∴S △EFB =12BE ·FH =12(4√2+√22

x)·√24x =18x 2+x ， ∴当△BEF 的面积为△ABC 面积的18时，18x 2+x =18×8，

解得x1=2√6?4，x2=?2√6?4<0(舍去)

综上，当x=4?2√2，或x=2√6?4时，△BEF的面积为△ABC面积的1

8

；

(3)猜想：DO=3PO，证明如下，

如图3，作点F关于AB的对称点F’，连接DF’，交EF于O，交AB于P，此时DP+FP的值最小，

∵FH=1

2

DE，FH=F′H，

∴FF′=DE，

又∵FF′//DE，

∴四边形DEF′F是平行四边形，

∴OD=OF′，

∵∠DPE=∠F′PH=90°，∠DEP=∠F′HP=90°，

∴△DPE∽△F′PH，

∴DP

PF′

=DE

F′H

=2，

∴DP=2PF′，

∴DO+PO=2(OF′?PO)=2(DO?PO)，

化简得：DO=3PO．

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解析：本题考查了相似形的综合运用．关键是利用三角形相似求边长，根据D点的位置分类求函数关系式，根据对称性画图，求当DP+FP的值最小时的图形，根据平行四边形的判定与性质，三角形相似求DO与PO之间的数量关系．

(1)首先证明DE=AE=√2

2AD=√2

2

x，然后证明△FHB∽△DEB，利用相似比求FH；

(2)当点D在CA延长线上时，求出△ABC的面积，由△ADE∽△ABC求DE，AE，再求FH，BE，求S与x的函数关系式，利用△BEF的面积为△ABC面积的1

8

，列方程求解即可，注意分当点D在CA 边上时和当点D在CA延长线上时，两种情况解答；

(3)猜想：DO=3PO.作点F关于AB的对称点F’，连接DF’，交EF于O，交AB于P，此时DP+FP的值最小，可判断四边形DEF′F为平行四边形，DO=OF′，然后说明△DPE∽△F′PH，可得DP=2PF′，即DO+OP=2(DO?OP)，解得DO=3PO．

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