牛顿运动定律瞬时性问题和正交分解法

牛顿运动定律瞬时性问题和正交分解法

a．对于两端均有约束的轻弹簧或橡皮条，若两端约束均未消除，则该一瞬间形变量来不及变化，弹力不变．若有一端解除约束，轻弹簧或橡皮条弹力突变为0．

b．对钢性杆，不可伸长的轻绳上的力可以发生突变．

例1、如图示，球A、B、C质量分别为m、2m、3m，A与天花板间、B与C之间用轻弹簧相连，当该系统平衡后，突然将AB间轻绳绕断，在绕断瞬间，A、B、C的加速度（以向下为正方向）分别为（ ）

A．0、g、g B．－5g、2.5g、0

C．5g、2.5g、0 D．－g、2g、2g

解：

在A、B间轻绳烧断前，A、B、C均处于平衡状态，即： 当A、B间轻绳烧断瞬间：

各弹簧的形变量还来不及变化，故在轻绳烧断瞬间，弹簧的弹力在这一瞬间未变化：

A．

方向竖直向上

B．

方向竖直向下

C． a=0 C

例2、提问：两质量均为m的小球，A图中通过不可伸长的轻绳相连，A、B图中两种情况开始用手拿着顶端的小球，突然释放瞬间．问A、B两种情况下，两球在这一瞬间的加速度．

松手瞬间发生突变：a=a=g a=2g，a=01234

例3、如图所示，两根细线OA、OB共同拉住一个质量为m的小球，平衡时OB细线是水平的，OA细线与竖直方向夹角为θ，若剪断水平细线OB的瞬间，OA线的拉力大小是___________，小球加速度的大小为___________，方向与竖直方向的夹角大小等于___________．

解：因绳子不能伸长，沿绳方向合力为零，剪断OB瞬间，OA绳拉力发生突变：

①剪断OB绳时：沿OA绳合力为零（绳不可伸长）

球所受合力沿绳切线方向mgsinθ=ma1a=gsinθ 方向垂直OA绳向下 ，此时T=mgcosθ 1OA

OB推广：②若剪断OA绳时：a′=g 方向竖直向下 T=0

如图所示，一根轻弹簧和一根细线共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线是水平的．弹簧与竖直方向夹角为θ，剪断细线的瞬间，弹簧的拉力大小是___________，小球加速度的大小为___________，方向与竖直方向夹角大小等于___________．

解：

①剪断细线瞬间，弹簧两端约束还未解除，弹簧弹力来不及变化．

T=mg/cosθ F=mgtanθ a=gtanθ 方向水平向右 弹合

②若剪断弹簧 a′=g 竖直向下

例4、m∶m∶m=1∶2∶3，求绳断瞬时：

ABc

a=? a=? a=? ABC

答案：a=0 a=a=1.2g ABC

二、力的正交分解：

在物体受多个力作用时，常把各力都分解在两个互相垂直的方向（通常把这两个方向分别称为x轴和y轴，但这并不一定是水平和竖直方向），然后分别求每个方向上的力的代数和。满足

样就可把复杂的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算。 这

例5、质量为m的人站在自动扶梯上，扶梯正以加速度a向上加速运动，a与水平方向的夹角为θ，则人所受的支持力大小为________，摩擦力大小为________，方向为________。

a＝acosθ a＝asinθ xy

由牛顿第二定律得 F＝ma F－mg＝ma fxNy

求得F＝macosθ，方向水平向右F＝m(g＋asinθ) fN

练习：

1、如图所示，质量为m的小球用水平弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态．当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为（ ）

A．0 B．大小为，方向竖直向下

C．大小为，方向垂直于木板向下 D．大小为，方向水平向右

2、一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时1s，随即把此力改为向西，大小不变，历时1s；接着又把此力改为向东，大小不变，历时1s；如此反复，只改变力的方向，共用了1min，在此1min内（ ）

A．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置的东边

B．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置

C．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末继续向东运动

D．物体一直向东运动，从不向西运动，在1min末静止于初始位置的东边

题2）题4）题5）

3、质量不计的弹簧下端固定一小球．现手持弹簧上端使小球随手在竖直方向上以同样大小的加速度a(a<g)分别向上、向下做匀加速直线运动．若忽略空气阻力，弹簧的伸长分别为x、x；若空气阻力不能忽略且大小恒定，弹簧的伸长分别为x′、x′．则（ ） 12

12

A．x′＋x=x＋x′ B．x′＋x<x＋x′ C．x′＋x′=x＋x D．x′＋x′<x＋x 122112212121212

4、如图所示，一小球从空中自由落下，与正下方的直立轻质弹簧接触，直至速度为零的过程中，关于小球运动状态的下列几种描述，正确的是（ ）

A．接触后，小球做减速运动，加速度的绝对值越来越大，速度越来越小，最后等于零

B．接触后．小球先做加速运动，后做减速运动，其速度先增加后减小直到为零

C．接触后，速度为零的地方就是弹簧被压缩最大之处，加速度为零的地方也是弹簧被压缩最大之处

D．接触后，小球速度最大的地方就是加速度等于零的地方

5、如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态．设拔去销钉M瞬间．小球加速度的大小为12m/s，若不拔去销钉M而拔去销钉N瞬间，小球的加速度可能是(取g=10m/s)（ ） 22

A．22m/s，竖直向上 B．22m/s，竖直向下 C．2m/s，竖直向上 D．2m/s，竖直向下 2222

6、物块A、A、B和B的质量均为m，A、A用刚性轻杆连结，B、B用轻质弹簧连结．两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图所示，现突然迅速撤去支托物，让物块下落，在除去支托物的瞬间，A、A受到的合力分别为f和f，B、B受到的合力分别为F和F，则（ ）

1212121212121212

A．f=0，f=2mg，F=0，F=2mg B．f=mg，f2=mg，F=0，F=2mg 1212112

C．f=0，f=2mg，F=mg，F=mg D．f=mg，f=mg，F=mg，F=mg 12121212

参考答案：

1. 解析：在未撤离木板时，小球处于平衡状态，受到重力G、弹簧的拉力F、木板的弹力F，在撤离木N

板的瞬间，弹簧的弹力大小和方向均没有发生变化，而小球的重力是恒力，故小球在此时受到重力G、弹簧的拉力F的合力，大小与木板提供的弹力相等，方向相反，故可知加速度的方向是垂直于木板向下，由此可知选项C是正确的． 答案：C

2. 解析：注意物理过程，物体在空间做什么运动是由初速度和合外力决定，最重要的一点是：力停止了对物体的作用，物体的加速度突然消失，但速度仍然不变，一个匀减速直线运动倒过来看就是一个匀加速直线运动．

根据牛顿第二定律，物体第1s内做匀加速直线运动，第1s末，力改为向西，这时物体有了一定的速度，虽然力的方向改变了，但物体继续向东运动，物体在第2s内做匀减速运动，第2s末速度刚好减为零，第3s内与第1s内运动情况一样，第4s内与第2s内运动的情况一样……

所以物体一直向东运动，由于1min是60s，只要双秒末物体速度就为零，所以应选D． 答案：D

3. 解析：忽略空气阻力，小球向上做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：kx－mg=ma，小球向下做1

匀加速直线运动，mg－kx=－ma；将两式相减，得到(kx－mg)－(mg－kx)=2ma，x＋x=212121f．空气阻力不能忽略，小球向上做匀加速直线运动，kx′－mg－F=ma，小球向下做匀加速直线运动，

mg－F－kx′=－ma；仍将两式相减，得到(kx′－mg－F)－(mg－F－kx′)=2ma，x′＋x′f21ff212

=

4. ，所以C选项正确． 答案：C 解析：小球下落与弹簧接触开始，一直到把弹簧压缩到最短的过程中，弹簧弹力与小球重力相等

的位置是转折点，之前重力大于弹力，之后重力小于弹力，而随着小球的向下运动，弹力越来越大，而重力恒定，所以之前重力与弹力的合外力越来越小，之后重力与弹力的合外力越来越大，且反向(竖直向上)．由牛顿第二定律知加速度的变化趋势和合外力变化趋势一样，而此过程中速度方向一直向下． 答案：B、D

MNNM5. 解析：平衡时，两弹簧均处于伸长状态，F=F＋mg，拔去M后，F＋mg=ma=m×12；拔去N后，F－mg=ma′，

则ma′=F－mg=F＋mg－mg=ma－mg=m×2，得a′=2m/s，方向竖直向上，C正确． 2

MN

平衡时，M处于伸长状态，N处于压缩状态，则F＋F=mg ①，拔去M后，F消失，则：F－mg=ma=m×12 ②．由①式可判断F<mg，由②式判断F>mg矛盾，该情况不成立． MNMN

NN

平衡时，两弹簧均处于压缩状态，则可得：F＋F=mg ①，拔去M后，F－mg=ma=m×12 ②，拔去N后，F＋mg=ma′，则ma′=F＋mg=F－mg＋mg=F=mg＋m×12=m×22，a′=22m/s，方向竖直向下． NMN

2

MMNN

答案：BC

6. 解析：由于A和A用刚性轻杆相连，撤去支托物时，杆的弹力立即消失，A和A只受重力的作用，所以f=mg，f=mg． 1212

12

对B和B，没有撤去支托物时处于平衡状态，弹簧的弹力f等于B的重力，即f=mg．除去支托物瞬间，弹簧的形变尚未发生变化，弹力大小仍为mg，所以B受到的合力F=0，B受到的向下的弹力f和重力mg的合力F=f＋mg=2mg．因此选项B正确． 121112

2

答案：B

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