2017步步高大一轮复习讲义数学4.6

1．公式的常见变形 (1)1＋cosα＝2cos2α

2；

1－cosα＝2sin2α

2

；

(2)1＋sinα＝(sinαα

2＋cos2)2；

1－sinα＝(sinαα

2－cos2)2.

(3)tanα1－cos2＝sinα

1＋cosα＝αsinα. 2．辅助角公式

asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)， 其中sinφ＝

ba2＋b2，cosφ＝a

a2＋b2. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.( × ) (2)设α∈(π，2π)，则1－cos?π＋α?2＝sinα

2

.( × ) (3)在非直角三角形中有：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．( √ ) (4)设5π2<θ<3π，且|cosθ|＝1θ15

5，那么sin2的值为5

.( × )

(5)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(

)

×

1α

1．已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于( )

32A.C.6

33 3

B．－D．－

6 33 3

答案 B

απ

解析 ∵∈(，π)，

22α∴cos＝－2

1＋cosα

＝－2

26＝－. 33

2sin235°－1

2.的值为( ) cos10°－3sin10°A．1 1C. 2答案 D

2sin235°－1

解析 原式＝ 13??2cos10°－sin10°2?2?＝

－cos70°1

＝－.

2sin20°2

B．－1 1

D．－ 2

3．(教材改编)sin15°－3cos15°＝________. 答案 －2

解析 sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin45°＝－2.

x

2sin2 －1

2π?4．若f(x)＝2tanx－，则f??12?的值为______． xx

sin cos 22答案 8

x1－2sin2

2

解析 ∵f(x)＝2tanx＋ 1sinx22cosx24

＝2tanx＋＝＝，

sinxsinxcosxsin2x

π?4∴f?＝＝8. ?12?π

sin

6

5．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________. π答案 3

解析 由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4， tanα＋tanβ可得＝3，即tan(α＋β)＝3.

1－tanαtanβπ

又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

3

题型一 三角函数式的化简与求值

1

2cos4x－2cos2x＋2

例1 (1)化简：＝________.

ππ2???2tan??4－x?sin?4＋x?

π

0，?，且2sin2α－sinα·(2)已知α∈?cosα－3cos2α＝0，则＝?2?sin2α＋cos2α＋1______________________________________________________________. 126

答案 (1)cos2x (2)

28

1

?4cos4x－4cos2x＋1?2

解析 (1)原式＝

π??sin?4－x?π?2×·cos2??4－x?π??cos?4－x??2cos2x－1?2

＝ ππ???4sin??4－x?cos?4－x?cos22x

＝ π?2sin??2－2x?cos22x1

＝＝cos2x. 2cos2x2

π220，?，(2)∵α∈?且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα2??＝3cosα，

π

α＋?sin??4?

又sin2α＋cos2α＝1， ∴cosα＝

23，sinα＝， 1313

∴

sin2α＋cos2α＋1

πα＋?sin??4?2

?sinα＋cosα?226

＝. 222＝8?sinα＋cosα?＋?cosα－sinα?

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

23ππ2π

－?等于( ) (1)cos·cos·cos??9?99

1

A．－

81C. 16

1B．－

161D. 8

1＋cos2α1(2)若＝，则tan2α等于( )

sin2α25A. 44C. 3

答案 (1)A (2)D

π24

解析 (1)原式＝cos·cosπ·cos(－3π＋π)

999π24π

－cos ·cos π·cos π·sin

9999

＝

πsin91224－sin π·cos π·cos π2999＝ πsin

918－sin π89＝ πsin

91＝－. 8

1＋cos2α2cos2αcosα1(2)＝＝＝，

sin2α2sinαcosαsinα2

5

B．－

44D．－ 3

∴tanα＝2，∴tan2α＝

2tanα44

＝－. 2＝31－tanα1－4

题型二 三角函数的求角问题

例2 (1)已知锐角α，β满足sinα＝3π

A. 4πC. 4

5310，cosβ＝，则α＋β等于( ) 510

π3πB.或 44

π

D．2kπ＋(k∈Z)

4

ππ

－，?，则α＋β(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈??22?等于( ) π

A. 8π3πC.或－ 88答案 (1)C (2)B 解析 (1)由sinα＝5310，cosβ＝且α，β为锐角， 510

3π

B．－

4π3πD.或－ 44

2510

可知cosα＝，sinβ＝，

510故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝

253105102×－×＝， 5105102

π又0<α＋β<π，故α＋β＝. 4

??tanα＋tanβ＝－3a，

(2)依题意有?

?tanα·tanβ＝3a＋1，?

tanα＋tanβ－3a

∴tan(α＋β)＝＝＝1.

1－tanα·tanβ1－?3a＋1?

??tanα＋tanβ＜0，

又? ?tanα·tanβ＞0，?

∴tanα＜0且tanβ＜0. ππ

∴－＜α＜0且－＜β＜0，

22

即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1， 3π得α＋β＝－.

4

思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

(1)已知正切函数值，则选正切函数．

π

0，?，则选正弦、余弦皆(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是??2?ππ

－，?，则选正弦较好． 可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为??22?

(1)已知sinα＝

5π

A. 12πC. 4

510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( ) 510

π

B. 3πD. 6

(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则C等于( ) πA. 3πC. 6

答案 (1)C (2)A

ππ

解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－<α－β<.

22又sin(α－β)＝－又sinα＝

10310

，∴cos(α－β)＝. 1010

2π

B. 3πD. 4

525，∴cosα＝， 55

∴sinβ＝sin[α－(α－β)] ＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝

531025102×－×(－)＝. 5105102

π∴β＝. 4

(2)由已知可得tanA＋tanB＝3(tanA·tanB－1)， tanA＋tanB∴tan(A＋B)＝＝－3，

1－tanAtanB2π

又0

题型三 三角恒等变换的应用

ππ

－，?. 例3 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈??22?π

(1)当a＝2，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；

4π?(2)若f??2?＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．

ππx＋?＋2cos?x＋? 解 (1)f(x)＝sin??4??2?＝＝

2

(sinx＋cosx)－2sinx 2

22cosx－sinx 22

π?＝sin??4－x?，

3πππ

－，?， 因为x∈[0，π]，从而－x∈??44?4故f(x)在[0，π]上的最大值为

2

，最小值为－1. 2

π???cosθ?1－2asinθ?＝0，?f?＝0，?

(2)由??2? 得? 2

?2asinθ－sinθ－a＝1，???f?π?＝1.

a＝－1，??ππ

－，?知cosθ≠0，解得?由θ∈?π?22?θ＝－.?6?

思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．

π

(2)函数f(x)＝sin(2x－)－22sin2x的最小正周期是________．

4答案 (1)1 (2)π

解析 (1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx ＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)， －1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1. (2)f(x)＝＝

22sin2x－cos2x－2(1－cos2x) 22

22π

sin2x＋cos2x－2＝sin(2x＋)－2， 224

2π∴T＝＝π.

2

8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

π?

－xsinx－3cos2x. 典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin??2?(1)求f(x)的最小正周期和最大值； π2π?

(2)讨论f(x)在??6，3?上的单调性．

思维点拨 (1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数．

(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决． 规范解答

π?2解 (1)f(x)＝sin??2－x?sinx－3cosx ＝cosxsinx－

π31333

2x－?－，[4分] (1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin?3?2?2222

2－3

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.[6分]

2π2π?π

，时，0≤2x－≤π，[7分] (2)当x∈??63?3ππ

从而当0≤2x－≤，

32

π5π

即≤x≤时，f(x)单调递增，[9分] 612

ππ5π2π

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．[11分] 23123

π5π?5π2π

，上单调递增；在?，?上单调递减．[12分] 综上可知，f(x)在??612??123?温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确．

(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sint的图象讨论函数的单调性、最值等．

[方法与技巧]

1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换． 2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．

3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决． [失误与防范]

1．利用辅助角公式，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角． 2．计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．

A组 专项基础训练 (时间：30分钟)

1．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 sinα＝cosα?cos2α＝cos2α－sin2α＝0； cos2α＝0?cosα＝±sinα?/sinα＝cosα，故选A. 2．已知sin2α＝2

3，则cos2??α＋π4??等于( ) A.1

6 B.13 C.12 D.23

答案 A

1＋cos2?α＋π?解析 因为cos2??α＋π

4??＝?4?2 1＋cos?2α＋π

＝?

2??2＝1－sin2α2

，

1－2

所以cos2??α＋π4??＝1－sin2α

2＝32＝16

，故选A. 3．若α∈?π?2，π??，且3cos2α＝sin?π

?4－α??，则sin2α的值为(A.1

B．－118 18

C.1718 D．－1718

答案 D

) ππ

－2α?＝sin?2?－α?? 解析 cos2α＝sin??2???4??ππ

－α?cos?－α? ＝2sin??4??4?代入原式，得

π??π?π

－αcos－α＝sin?－α?， 6sin??4??4??4?π?π1，π，∴cos?－α?＝， ∵α∈??2??4?6π

－2α? ∴sin2α＝cos?2??π17－α?－1＝－. ＝2cos2??4?184．若sin2α＝7π

A. 45π7πC.或 44答案 A

π?π

，π，∴2α∈?，2π?. 解析 ∵α∈??4??2?∵sin2α＝

π?5

，∴2α∈??2，π?， 5

π?3π510，π，β∈?π，?，则α＋β的值是( ) ，sin(β－α)＝，且α∈?2??4??510

9π

B. 45π9πD.或 44

ππ?25，，cos2α＝－∴α∈?. ?42?53ππ5ππ，?，∴β－α∈?，?， ∵β∈?2???24?310∴cos(β－α)＝－，

10∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) 510225??310?

＝?－×－－×＝.

102?5??10?55π?又∵α＋β∈??4，2π?， 7π

∴α＋β＝. 4

ππ

|θ|＜?的图象关于点?，0?对称，则f(x)的单调递增5．函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)?2???6?区间为( )

π5π

＋kπ，＋kπ?，k∈Z A.?6?3?ππ

－＋kπ，＋kπ?，k∈Z B.?3?6?7ππ

－＋kπ，－＋kπ?，k∈Z C.?12?12?π5π

－＋kπ，＋kπ?，k∈Z D.?12?12?答案 C

解析 ∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ) π

2x＋θ＋?， ＝2sin?3??

ππ

由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，

632

∴θ＝kπ－π(k∈Z)．

3ππ∵|θ|＜，∴θ＝. 232

2x＋π?. ∴f(x)＝2sin?3??

π2π

由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，

2327π

得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)．故选C.

1212

π

6．已知tan(＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ的值为________．

44

答案 －

5

π

解析 ∵tan(＋θ)＝3，

4∴

1＋tanθ1

＝3，解得tanθ＝. 21－tanθ

∵sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1 cos2θ－sin2θ2sinθcosθ

＝2－－1 sinθ＋cos2θsin2θ＋cos2θ1－tan2θ2tanθ

＝－－1 1＋tan2θ1＋tan2θ434＝－－1＝－. 555

110πππ7．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为________．

tanα3424

答案 －

2 10

110sinαcosα10

解析 由tanα＋＝得＋＝，

tanα3cosαsinα3∴

1103

＝，∴sin2α＝.

sinαcosα35

πππ

∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，

4224∴cos2α＝－. 5

πππ

∴sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin

444＝

2342×(－)＝－. 25510

11

8．若α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，则tan(α－β)＝________.

22答案 －

7

3

11

解析 ∵sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，

221

两式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝，

213

即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.

241

∵α、β是锐角，且sinα－sinβ＝－＜0，

2ππ

∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0.

22∴sin(α－β)＝－1－cos2?α－β?＝－sin?α－β?7

∴tan(α－β)＝＝－.

3cos?α－β?9．已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)． 5π?(1)求f??4?的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 5π?5π5π5π?sin ＋cos ? 解 (1)f?＝2cos44??4?4?πππ

－sin －cos ?＝2. ＝－2cos?44?4?(2)因为f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x ＝sin2x＋cos2x＋1

7

. 4

＝2sin??

2x＋π

4??＋1， 所以T＝2π

2＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.

由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π

2，k∈Z，

得kπ－3π8≤x≤kπ＋π

8

，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为??

kπ－3ππ

8，kπ＋8??，k∈Z. B组 专项能力提升 (时间：20分钟)

10．设α∈(0，π2)，β∈(0，π

2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则( )

A．3α－β＝π

2 B．2α－β＝π

2

C．3α＋β＝π

2

D．2α＋β＝π

2

答案 B

解析 由tanα＝1＋sinβcosβ得sinαcosα＝1＋sinβ

cosβ，

即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ， ∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π

2－α)．

∵α∈(0，π2)，β∈(0，π

2

)，

∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π

2)，

由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π

2－α，

∴2α－β＝π

2. 11．定义运算??a b??

1??sinc d?

＝ad－bc，若cosα＝α sinβ7，???cosα cosβ??＝33<α<π

14，0<β2，则β等于(A.π12 B.π

6 C.π4 D.π3

答案 D 解析 依题意有

sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝33

14

，

)

ππ

又0<β<α<，∴0<α－β<，

2213

故cos(α－β)＝1－sin2?α－β?＝，

14143

而cosα＝，∴sinα＝，

77于是sinβ＝sin[α－(α－β)] ＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝

43131333×－×＝， 7147142

π

故β＝，故选D.

3

12．若f(x)＝3sinx－4cosx的一条对称轴方程是x＝a，则a的取值范围可以是( ) π0，? A.??4?π3π?C.??2，4? 答案 D

4π

其中tanφ＝且0＜φ＜?，则sin(a－φ)＝±解析 因为f(x)＝3sinx－4cosx＝5sin(x－φ)?1， 32??ππ4πππ

所以a－φ＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋＋φ，k∈Z，而tanφ＝且0＜φ＜，所以＜φ＜，2232423π?3π

所以kπ＋＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0，此时a∈??4，π?，故选D. 413

．

设

π

0，?，则函数x∈??2?y

＝

2sin2x＋1

sin2x

的

最

小

值

为

ππ?B.??4，2? 3π?D.??4，π?

_______________________________________________． 答案

3

2sin2x＋12－cos2x

解析 方法一 因为y＝＝，

sin2xsin2x2－cos2xπ0，?， 所以令k＝.又x∈??2?sin2x

所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点 P(－sin2x，cos2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率． 又kmin＝tan60°＝3，

2sin2x＋1

所以函数y＝的最小值为3.

sin2x2sin2x＋13sin2x＋cos2x

方法二 y＝＝ sin2x2sinxcosx

3tan2x＋131＝＝tanx＋. 2tanx22tanxπ

∵x∈(0，)，∴tanx>0.

231∴tanx＋≥222tanx(当tanx＝

31tanx·＝3. 22tanx

3π

，即x＝时取等号) 36

即函数的最小值为3.

π

14．(2015·临沂一模)已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋23cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直线x＝是f(x)

3图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左π6π2π

2α＋?＝，α∈?0，?，求sinα的值． 平移个单位长度得到的，若g?3?5??2?3解 f(x)＝2cos2ωx－1＋23cosωxsinωx ＝cos2ωx＋3sin2ωx π

2ωx＋?. ＝2sin?6??

ππ

2ωx＋?图象的一条对称轴， (1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin?6??32ππ

ω＋?＝±∴sin?1. 6??32πππ

∴ω＋＝kπ＋(k∈Z)， 36231

∴ω＝k＋(k∈Z)．

2211

又0＜ω＜1，∴－＜k＜.

331

又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.

2πx＋?， (2)由(1)知f(x)＝2sin??6?由题意可得

2ππ1

x＋?＋?， g(x)＝2sin?2??3?6

??1

即g(x)＝2cosx.

2

ππ62α＋?＝2cos?α＋?＝， ∵g?3???6?5

π3α＋?＝. ∴cos??6?5π0，?， 又α∈??2?ππ2π

∴＜α＋＜， 663π4

α＋?＝. ∴sin??6?5ππ

α＋?－? ∴sinα＝sin???6?6

??

ππππ

α＋?cos－cos?α＋?sin ＝sin??6?6?6?6433143－3＝×－×＝. 525210

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t65.html