四川省眉山市2014-2015学年高二下学期理科数学期末统考试题

眉山市高中2016届第四学期期末教学质量检测

数学试题卷 （理科） 2015．07

数学试题卷（文科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k

kkn?k次的概率为P n(k)?Cnp(1?p)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

?10i1．在复平面内，复数对应的点的坐标为

3?i A．?3,?1? B．?1,?3? C． ??1,?3? D．??3,?1? 2．用反证法证明“若x < y,则x3 < y3”时，假设内容应是

A. x3 = y3 B．x3 > y3 C．x3= y3或x3 > y3 D．x3 = y3或x3 < y3 3．设随机变量??N?0,1?,若P???1??p，则P??1???0??

A．

11?p B．1?p C．?p 22 D. 1?2p

4．(1?x)6的展开式中有理项系数之和为

A．64 B．32 C．24 D．16

15．有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相

3互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为 A．

84219 B． C． D． 279327ξ P 0 0.15 1 0.4 2 0.35 3 X 6．若离散型随机变量ξ的分布列为： 则随机变量ξ的期望为 A．1.4 B．0.15

C．1.5 D．0.14

7. 已知函数f?x??x3?ax2?bx?c,那么下列结论中错误的是

A．若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(??,x0)上单调递减 B．函数y?f(x)的图像可以是中心对称图形 C．?x0?R,使f?x0??0

D．若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)?0

8. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有

考试，那么不同的考试安排方案有种.

A．6种 B．12 种 C．16种 D．20 种

9．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P2到直线A1D1的距离为d且d?PM2?1，则动点P的轨迹是

A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线

10．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三

科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A．男生2人，女生6人 B．男生6人，女生2人. C．男生5人，女生3人 D．男生3人，女生5人

x2y211．设双曲线2?2?1?0?a?b?的半焦距为c，?a,0?、?0,b?为直线l上两点，已知原ab3c，则双曲线的离心率为 点到直线l的距离为42323A． B．3或2 C．2 或 D．2 3312．已知定义在?0,???上的单调函数f?x?，对?x??0,???，都有f??f?x??log2x???3，则

方程f?x??f'?x??2的解所在的区间是

11A．(,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(0,)

22二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的

位置上．

13．复数z?2?i3的共轭复数为________．

14．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有

两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．

15．已知f?x??1aln?x22x(?a0,)若对任意两个不等的正实数x1,x2都有

f?x1??f?x2?≥2恒成立,则a的取值范围是 .

x1?x216．方程xx?yy??1的曲线即为函数y?f?x?的图像，对于函数y?f?x?，有如下

结论：

①f?x?在R上单调递减；

②函数F?x??f?x??x?2存在3个零点； ③函数y?f?x?的值域是R；

④若函数g?x?和f?x?的图像关于原点对称，则函数y?g?x?的图像就是方程

xx?yy?1确定的曲线.

其中所有正确的命题序号是 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演

步骤．

17．（本小题满分10分）

已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本.现从甲、乙两层中各取两本书.

（1）求取出的4本书都是数学书的概率.

（2）求取出的4 本书中恰好有1本是英语书的概率.

m x?1 （1）当函数f?x?在点?0,f?0??处的切线与直线4y?x?1?0垂直时，求实数m的值；

18．（本小题满分10分）已知函数f?x??ln?x?1?? （2）若x≥0时，f?x?≥1恒成立，求实数m的取值范围.

19．（本小题满分12分）

已知平面内一动点P?x,y??x≥0?到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. （1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求?OAB面积的

最小值.

20．（本小题满分12分）

某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题和3道文科题）不放回地依次任

取3道作答.

（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；

（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为答对文科题的概率均为

2，31，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理4一文），求其所得总分的分布列与数学期望. 21．（本小题满分13分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为3，它的一个顶点恰好是抛物线2y

P

B

O

x Q 第21题图

x2?42y的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线x?2与椭圆交于P,Q两点，P点位

第一象限，A,B是椭圆上位于直线x?2侧的动点. 当点A,B运动时，满足

于两为

?APQ??BPQ，问直线AB的斜率是否

定值，请说明理由.

22．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?lnx,g(x)?A a,F(x)?f(x)?g(x). x（1）当a?0时，求函数F?x?的单调区间； （2）若函数F?x?在区间?1,e?上的最小值是

（3）设A?x1,y1?,B?x2,y2?是函数f?x?图象上任意不同的两点，线段AB的中点为

3，求a的值； 2C?x0,y0?，直线AB的斜率为k. 证明：k?f'?x0?.

眉山市高中2016届第四学期期末教学质量检测

数学（理科）参考答案 2015．07

一、选择题 1 C 二、填空

13. 2－i 14.

2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 A 8 B 9 B 10 D 11 D 12 B 2 15.［1，+∞） 16. ③④ 3三、简答题

17．解（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书” 的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”为P1.

2C32C49 ? P1 = P(AB) = P(A)P(B)?2?2? ----------------------------------------- 5分

C5C550(2)设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学” 的事件为C, “从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学” 的事件为D, 由于C, D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2.

1112C32C4C2C3C412P 2= P(C+D) = P(C)+P(D) = 2?2? ------------------- 10分 ??C5C5C52C522518.解(1)?f/?x??1m?------------------------------------3分 x?1?x?1?2/ ?函数f?x?在点?0,f?0??处的切线的斜率k?f?0??1?m ---------4分

?函数f?x?在点?0,f?0??处的切线与直线4y?x?1?0垂直，

?1?m??4,?m?5 ------------------------------------------------5分

(2)依题意不等式ln?x?1??m?1在x?0时恒成立，即 x?1m?x?1??x?1?ln?x?1?在x?0时恒成立. ---------------------------7分

设g?x??x?1??x?1?ln?x?1?,x?0

则g/?x??1?ln?x?1??1??ln?x?1??0?x?0? --------------------------9分

?函数g?x?在?0,???上为减函数，?g?x??g?0??1?m?1 --------------10分

19.解 (1)由题意有?x－1?2＋y2－|x|＝1. -------------2分 化简得y2＝2x＋2|x|.

又x≥0时，y2＝4x；

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x ．--------------------------------------------5分

?x?my?1(2)由题意可设l:x?my?1,A?x1,y1?,B?x2,y2?由?2

y?4x?2消x整理得：y?4my?4?0，??0恒成立且??y1?y2?4m--------------8分

?y1y2??4S?OAB?S?OAF?S?OBF??

11y1?y2?22?y1?y2?2?4y1y2

116m2?16,?m?0时Smin?2--------------------------------------------------12分 2

20.（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P?AB??4 -----------------------------------------2分 35所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为

P?B|A??P(AB)1?5分 -----------------------------------------5分

P(A)5 （2）X的可能取值为：0,10,20,30，则

113121311131P?X?0?????P(X?10)?C2????()2??

33412334343623121411P?X?20??C2?()2??C2????

34334911341P(X?30)?1???? ----------------------------8分

123699?X的分布列为 X P 0 10 20 30 1 1213 364 91 9------10分

?X的数学期望为E?X??95 ----------------------------------------12分 6x2y2 21. 解析: （1）设椭圆的标准方程为：2?2?1(a?b?0)

ab又抛物线x2?42y的焦点是0,2，?b?2 ----------------------------------------2分

??c32?,a?b2?c2,?a?22--------------------------------------------------------------4分 a2x2y2?1----------------------------------------------------------------------5分 ?椭圆C的方程为?82由

（2）由题意可得PA与PB的斜率之和为0

设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为?k

?PA的直线方程为：y?1?k?x?2? -------------------------------------------------------------6分 由??8k?1?2k?x?4?1?2k??8?0 8k?2k?1??x1?2?----------------------------------------------------------------------------------8分 1?4k2同理PB的直线方程为y?1??k?x?2?

?8k??2k?1?8k?2k?1??可得：?x2?2? ------------------------------------------------10分 1?4k21?4k216k2?4?16k?x1?x2?,x?x? ------------------------------------------------------11分 12221?4k1?4ky?y2k?x1?2??1?k?x2?2??1k?x1?x2??4k ?kAB?1??x1?x2x1?x2x1?x2222?1?4k?x?y?1?k?x?2?22?x?4y?8?0消y整理得：

16k2?4k??4k211?4k? ---------------------------------------------------------------------13分

?16k21?4k21ax?a/22．(1)函数f?x?的定义域为?0,???，f?x???2? 2xxx因为a?0，所以f/?x??0，故函数在?0,???递增 -------------------------------3分

（2）?当a?0时，f/?x??0,函数在区间?1,e?上递增，f?x?min?f?1??a?1,与已知矛盾。

--------------------------------4分

?当1?a?e时，x??1,a?,f解得a??x??0;x??a,e?,f/?x??0

所以函数在?1,a?上递减，在?a,e?上递增，f?x?min?f?a??lna?1

/e，符合题意。 ---------------------------------6分

/?当a?e时，函数f?x?在?1,e?上有f?x???0，函数递减，

f?x?min?f?e??2，与已知矛盾。 --------------------------------7分 e ---------------------------------8分 y?y1lnx2?lnx1（3）证明：k?2 --------------------------------------------9分 ?x2?x1x2?x1x?x212/又x0?1，所以f/?x0???lnx?x?x0? -------------------10分 ?2x0x1?x2lnx2?lnx12要证k?f/?x0?，即证 ?x2?x1x1?x2综上，a??x2??2??1??x2?x2?x1?x21??-------11分

不妨设0?x1?x2，即证lnx2?lnx1?，即证ln?x2x1?x2x1?1x1x2?t?1?4?2?设t?2?1，即证lnt?， t?1t?1x14?2?0，其中t??1,??? 即证lnt?t?14?2?t??1,????， 设：k?t??lnt?t?122?14t?1??4t?t?1?/则k?t??????0 22t?t?1?2t?t?1?t?t?1?所以k?t?在?1,???上单调递增，因此k?t??k?1??0,得证 -----------------13分

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