1.4生活中的优化问题举例(高中数学人教A版选修2-2)

一、如何判断函数的单调性？设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤(1)确定定义域 (2)求导数f’(x)

(3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤：

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较,从而确定函数的最值。

1.将6分成两个非负数之和，使其立方和最小，则分法为(

)

(A )1 和5

(B ) 3 和3

(C )2 和4

(D )0 和5

【解析】选B. 设一个数为x,另一个数为6 -x,0≤x≤6 ,则 y=x3+(6-x)3,y′=3x2-3(6-x)2,令y′=0得，x=3.

当0≤x≤3时，y′<0;当3<x≤6时，y′>0.∴x=3时，两数的立方和最小.

2。将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形， 则这个矩形面积的最大值为多少？解：设矩形的一边为xcm,则另一边为(6 x)cm,面积为SS(x) x( 6 x) 6x x (0 x 6) S ( x) 6 2 x(0 x 6)2

令S ( x) 0,解得x 3 当S ( x) 0时, 得0 x 3 S ( x)在(0,3)上是单调递增的, S ( x)在(3,6)是单调递减的 S ( x)在x 3cm处取到最大值S (3) 9cm2

答 : 当矩形是正方形时, 它的面积最大为9cm

2

结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。

3.已知某工厂生产x件产品的成本为c=2 500+200x+ x2(元).(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

解 : 1 设生产x件产品时, 平均成本y最低. c 2500 x y 200. x x 4 2500 1 y 2 , 令y 0得x 100. x 4 当0 x 100时, y 0, 当x 100时, y 0, x 100时, y最小 25 25 200 250.答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.

例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各 空1dm,如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm,则版心的 宽 128 dm,此时四周空白面积为 2dm1dm 1dm

x 128 S ( x ) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8 ( x 0) x 512 S '( x ) 2 2 x

2dm

512 512 S( x) 2 x 8,S '( x ) 2 2 x x 令S '( x ) 0可解得x 16 (x -16舍去)列表讨论如下：x S ' (x ) S (x ) (0,16) 16 0 (16,+∞)

减函数↘

+增函数↗

极小值

∵S(x)在(0,+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16,即当版心高为16dm, 宽为8dm时，S(x)最小 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。

解法二：由

解法(一)得512 512 S ( x) 2 x 8 2 2x 8 x x

2 32 8 72512 当且仅当2x , 即x 16( x 0)时S 取最小值 x

128 此时y= 8 16

答：应使用版心宽为8dm,长为 16dm,四周空白面积最小

说明1、设出变量找出函数关系式； 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。 2、在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较， f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

课本P373:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确 定它的高与底半径,使得所用材料最省? 解: 设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 则h V .h R

2 R V S ( R ) 2 R 2 2 R 2 2V 2 R 2 . R R

由S ( R ) 从而h

2V V 3 4 R 0 . 解得 R . 2 R 2

当R

3

V V 时,S R 0, 当R 3 时,S R 0. 2 2 3

V V 3 2 R 2 2

即h=2R.

因此,当R

V 时,S R 有极小值, 且是S R 的最小值. 2

答 :罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

1. 某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432 件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖

出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,

一星期将多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

[解] (1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一个星期的获利为f(x), 则依题意有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2). 又由已知条件,24=k×22,于是有k=6. ∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].

(2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x f′(x) f(x) [0,2) ↘ 2 0 极小值 (2,12) + ↗ 12 0 极大值 (12,30] ↘

故x=12时,f(x)达到极大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664, ∴定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t5fq.html