(完整word)初三锐角三角函数与圆综合专题训练

- 1 - 中考数学锐角三角函数与圆综合训练题

1、如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，∠CDA=∠CBD ．

（1）求证：CD 2=CA ?CB ；

（2）求证：CD 是⊙O 的切线；

（3）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC=12，tan ∠CDA=，求BE 的长．

2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．

（1）求证：点F 是AD 的中点；

（2）求cos ∠AED 的值；

（3）如果BD=10，求半径CD 的长．

- 2 - 3、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．

（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；

（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明；

（3）若BC ＝6，tan ∠F ＝12，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．

4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ．

（1）求证：KE=GE ；

（2）若2KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；

（3） 在（2）的条件下，若sinE=

35

，AK=23，求FG 的长．

5、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

（1）求证：BC ⊙O 是的切线；

（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=

135，求⊙O 的半径。

图11 A C B D E F O P

- 3 -

6、如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．

（1）求证：CA 是圆的切线；

（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，

tan ∠AEC =3

5，求圆的直径．

7、 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.

8、（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ．

(1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°；

当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形；

(2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点

O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．P 坐标为（a ，b ），试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值．

9、

10、（芜湖市）（本小题满分12分）

如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB

⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD 与OA交于N点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）（2）若BD＝4，PA ＝

3

2AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

11、（黄冈市）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满

足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.

- 4 -

12、如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是?AE的中点，OM交AC于点D，

60 BOE

∠=°，

1

cos

2

C=，23

BC=

（1）求A

∠的度数；

（2）求证：BC是⊙O的切线；

（3）求MD的长度．

13、如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC= AB；

（3）点M是弧AB 的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

14、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，

(1)判断△DCE的形状；

(2)设⊙O的半径为1，且OF=

21

3-

，求证△DCE≌△OCB．

O

B A

C

E

M

D

第6题图

A

D

O

F

C

- 5 -

- 6 - 15、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，．

（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；

（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）若1tan 2CED ∠=

，⊙O 的半径为3，求OA 的长．

16、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．

（1）求证：BC EC =;

（2）若4cos 5

BEC ∠=

, 求DC 的长．

17、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是

的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2． （1）求∠A 的度数；

（2）求证：BC 是⊙O 的切线；

（3）求MD 的长度．

D C B O A E

18、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD∥BC．

（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）求证：∠E=∠ACB；

（3）若AD=1，，求BC的长．

19、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：点D是BC的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

20、如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，

DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求sin∠E的值．

- 7 -

- 8 - 21、如图9，直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan∠OCB=2

1. （1） 求B 点的坐标和k 的值； （2） 若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x

的函数关系式；

（3） 探索：

①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是4

1； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

图9

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