2014版更新高等数学作业题参考答案20140410

高等数学作业题参考答案（2014更新版）

一、单项选择题

1. D2. B3. B4. A 5. B 6. B7. A8. B9. B 10. C 11. B12. B13. B14. B 15. C 16. B17. D18. B19. B 20. A 21. B22. C 23. D24. A 25. C

二、填空题

1.

2,1 1,2

2. x

3

3. 可导 4. 下

x2 y2 4z 5. 母线为轴， z 0为准线的圆柱面

6. 无限增大 (或 ) 7. ( 1,0)；(0, )

8.

x,y x y x

9.

e2

三、计算题

1

2 lim x

3x

1 lim x x x 2 1 3x 1

x 2x 16 x 2 lim

1. 解：

x 0

1 2

x 0

1 2 x 0

1 2

dyln2 2xd2 2x

y 2x(ln2)2 22. 解：dx dx2

3. 解：

y 3x2

2ax b，y 6x 2a y (1) 0 6 2a 0

因为函数有拐点(1, 1)，所以 y(1) 1 ，即

1 a b c 1 因为在x 0处有极大值1，所以

y (0) 0，即b 0，带入上式得

1 e

6

a 3

b 0 c 1

4. 解：

0

e

x

x

2e 2e 0

| 2

z z

3x2y y3, x3 3xy2

y5. x

6.

dy

1

y2 y2

f(x,y)dx

7. 解：分离变量得

tanydy cotxdx

两边积分得

tanydy cotxdx

Csinx)

从而y arccos(

x2 6x 8x 2

limlim2

x 1x 1x 1x 5x 4 8. 解：

dy (

9. 解：

15x4

2

ln5)dx2

x

x

55

x [ 1,1]4，但4

y

10. 解：

4x，无驻点，y 不存在的点为

y( 1) 3,y(1) 1

所以最大值是y( 1) 3，最小值是y(1) 1

11. 解：

0

e

x

x

dx

2e 2e

| 2

z z2 2y 3x 3x 3y

12. x , y

13.

dx 2f(x,y)dy

x

1x

dydxdydx

sinx，两边积分得 ylny sinx 14. 解：分离变量得ylny

dydxx

tan ylny sinx2

两边积分得，从而原方程的特解为y e。

1 x 0

x 2 0

15. 解：

2 x 1

x2 x1 1/x

limlim4

x x2 3 1/x2 0x x 3x2 116. 解：

1 cosx dy dx

1 sinx 17. 解：

sinx cosx 1

dx

(1 sinx)2

4x3

y 4

x 1，令y 0，求得驻点为x 0 18. 解：

y(0) 0,y( 1) ln2,y(2) ln17

所以最大值是y(2) ln17，最小值是y(0) 0

19. 解：

0

e

x

x

dx

2e 2e

| 2

z z

3x2y y3, x3 3xy2 x y20.

21.

dx 2f(x,y)dy

x

1x

22. 解：分离变量得

tanydy cotxdx

两边积分得从而

tanydy cotxdx

y arccos(Csinx)

x lim 1 x 0

2 23. 解：

1

13x

x lim 1 x 0

2

2 x 1

1 x 2 3x

x lim 1 x 0

2

2 1x x 62

e

16

3x2

dy 3dx

x 2 24. 解：

25. 定义域为(0, )

14x2 11 1

y 4x 0,x ,x

xx22（舍去） 1

(0,),y 0,f(x)2为单调减函数 1

(, ),y 0,f(x)2为单调增函数

z z 3x 2y 4x 3y

y26. x dz (4x 3y)dx ( 3x 2y)dy

27.

dx 2f(x,y)dy

x

1x

2

28. 解：该方程的特征方程为 3 3 0，解得

3 i

22。故原方程的通解为

y e(C1cos

3x2

3x C2sinx)22。

lim

29. 解：

x 0

3x3tan3x

lim 2x x 02x 2

d2ydyx

2ln2 2x 2x(ln2)2 22

30. 解：dx dx

31. 定义域为

( , )

y 6x 3x2 3x(2 x) 0,x 2,x 0

( ,0),y 0,f(x)为单调减函数 (0,2),y 0,f(x)为单调增函数

(2, ),y 0,f(x)为单调减函数

32. 解：

0

e

x

x

dx

2e 2e 0

| 2

z z2 2y 3x 3x 3y y33. x ,

34. 解：该方程的特征方程为

2

4 4 0，解得 1 2， 2 2。故原方程的通解为

y e2x(C1 C2x)。

四、求解题

dyd(t arctant)t

2dx2 d(ln(1 t))1. 解：

2. 解：求得交点

2

(1,2),( 1,2)

S 2 (y

y828

)dy 233

3. 解：

y y dx xdx

12

x C12

11

y y dx (x2 C1)dx x3 C1x C2

26

由题意y(0) 1，

y (0)

1111

C1 y x3 x 1

2，代入解得2，C2 1，即62。

11

f x x f x 11lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0xx x x xx 4. 解：

dyd(t arctant)t 2dx2 d(ln(1 t))5. 解：

23

y 3x x6. 解:函数的定义域是 ,

y 6x 3x2 3x(x 2),令y 0,求得驻点为x 0,x 2

x ( ,0),y 0,函数单调递减 x (0,2),y 0,函数单调递增 x (2, ),y 0,函数单调递减

7. 解：求得交点

2

(1,2),( 1,2)

S 2 (y

y828

)dy 233

8. 解：设

(x0,y0)为曲线上的一点，函数过该点处的切线方程为y y0 f (x0)(x x0)

该切线与x轴的交点为

x0

y0y0y1

(x0 ) x0f (x0) 0

f (x0)，由题意2f (x0)x0

，简化得

f (x)

y1

y C

x，解得x 。

(x0,y0)的选取是任意的， 所求曲线满足

y

6

x。

又y(2) 3，

1y () 1

y 2x，所以29. 解：因为， 11

(,)2

y x抛物线在点24处的法线方程为

y

311

y x ( 1)(x )

4 42，即

3911( ,),(,)

求得抛物线与其法线的交点为2424，

图形面积

S ( x

123 2

34 x2)dx 43

10. 解：由题意

y x y，y(0) 1。

dydy dx y x

y x yy Ceydx方程对应的齐次方程为，分离变量得，解得。 d

(h(x)e x) y x

设原方程的解为y h(x)e，代入原方程得dx，

x

解得y (xe e C)e

xx x

x 1 Ce x。

x

y(0) 1y x 1 2eC 2又得，从而原方程的解为。

11. 解：

y y dx xdx

12

x C12

11

y y dx (x2 C1)dx x3 C1x C2

26

由题意y(0) 1，

y (0)

1111

C1 y x3 x 1

2，代入解得2，C2 1，即62。

五、应用题

1. 解：设池底半径为x米，总造价为

y元

y a r2

a250

2 r)2

2 r

a( r2

250)

r，r 0

2

V x(2a 2x)2. 解：根据题意可知，容积，x (0,a)

V (x) (2a 6x)(2a 2x)，令V (x) 0，求得驻点为

x

a

3，x a（舍去）

x

aa

x

3是开区间内唯一驻点，由实际问题可知容积有最大值，所以在边长3时

容积最大。

3. 解：设圆锥体积为V，圆形铁片半径为R，则

R R h R r R r

2 2 ，高圆锥底面半径

2

2

2

2

12R3 2

V rh 2

324 所以圆锥体积

4 2 2

， (0,2 )

s

4. 解:设矩形的长为x,则宽为x s

l 2(x )

x，x 0 周长l 2(1

s)2

x，令l 0，求得驻点为x s，l (s) 0

开区间内唯一驻点取得最小值，所以其周长最小者是长和宽都为s的矩形。

5. 解：设底边长为

x,2x。高为h

2x x h 72,h s 4x2 2x s 8x

722x2

72722162

2x 2 4x

x2x22x2

216

0,s (x) 0,x 3,s (3) 02x

所以x=3时取最小值，各边长分别为3，4，6

6. 解：设宽为x米，则长为（20 2x）米，

2

S(x) x(20 2x) 2x 20x，x (0,10) 面积

S (x) 4x 20，令S (x) 0，驻点为x 5

S (5) 4 0，开区间内唯一驻点取得最大值，此时小屋的长为10米，宽为5米。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t554.html