图形的变换、四边形复习

《图形的变换》

一、 考点归纳

考点一：轴对称图形和轴对称 (1)

轴对称图形：如果某个图形沿一条直线对折后，两个部分能完全重合，

这个图形叫轴对称图形。 (2)

轴对称：把一个图形沿一条直线对折后，如果它能与另一个图形完全重

合，这两个图形叫做轴对称。 (3)

轴对称图形和轴对称的区别与联系。

区别：1、轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，是只对一个图形而言的；轴对称是两个图形的位置关系，必须涉及到两个图形。 2、轴对称只有一条对称轴；轴对称图形可以不止一条对称轴。

联系：1、沿对称轴折叠后能完全重合；2、如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；3、如果把周堆成图形沿着对称轴分成两部分，那么这两部分各自组成的图形就关于这条直线成轴对称。 考点二：平移和平移的特征。

（1）、平移：物体的平行移动叫平移，它由移动方向和移动的距离决定。 （2）、平移的特征：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，连接对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等；物体的形状和大小都没有发生改变。

考点三：旋转和旋转的特征。

（1）、旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿一定方向转动一定的角度叫

1

旋转，它由旋转中心、旋转方向和旋转角度决定。

（2）、旋转的特征：对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等；每个点都绕旋转中心旋转了同样的方向、同样的角度；物体的形状和大小都没有发生改变。

（3）、旋转对称图形：如果一个图形绕某点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合，那么这个图形叫旋转对称图形。中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，它的特征是绕某点旋转180°后能与自身重合。 考点四：常见的中心对称图形和轴对称图形。

中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等。 轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、圆等。

考题中往往出现生活中的图案，所以，我们教师在复习时要教会学生判断的方法。

考点五：平面直角坐标系内点的对称。

已知点P(a，b)，则点P关于x轴对称点的坐标为P1（a，-b）；点P关于y轴对称点的坐标为P2(-a，b)；点P关于原点对称点的坐标为P3(-a，-b)。

即：关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；而关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数。

二、试题特点：

本节中考所占比重不大，6%-12%,试题有选择题、作图题和综合计算题，主要考察学生的动手操作能力、创新思维能力和空间想象能力。

三、重难点突破

2

重点：1、认识轴对称图形，理解轴对称及轴对称图形的联系与区别，掌握轴对称图形的性质，能够根据要求正确作出轴对称图形并进行简单的图案设计。

2、认识中心对称图形，掌握中心对称图形的性质，理解中心对称与旋转的联系。

3、确定一个图形平移后的位置条件：①图形原来的位置，②平移的方向，③平移的距离。

4、确定一个图形旋转后的位置的条件：①图形原来的位置，②旋转中心，③旋转方向，④旋转的角度。

5、平移和旋转都不会改变图形的大小与形状（都是全等的变换），只是改变图形的位置。

6旋转作图的方法：（1）确定旋转中心、旋转方向、旋转角度；（2）、找出原图的关键点（特殊点）；（3）、将图形的顶点与旋转中心连接起来，按旋转方向分别将它们旋转一个相同的角度，得到关键点的对应点；（4）、按原图的形状顺次连接这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。

难点：1、轴对称图形和中心对称图形都是全等三角形，因此常常利用全等图形的对应元素相等的关系特点解题。

2、运用运动的观点：轴对称图形和轴对称都是“折”的方式，常常出现“翻折”、“对折”等词语，往往在考题中，学生对于对“折后得到的图形与原来图形全等”不能理解，教师在复习讲解过程中，可做演示，让学生感知，加深映像。中心对称图形和中心对称都是“旋转”，注意是旋转180°。

四、易混点辨析

1、轴对称图形是指一个图形本身的两部分的关系，而轴对称是指两个图形

3

的位置与形状的关系，应注意两者的区别，只有把轴对称的两个图形堪称一个整体，它才成为一个轴对称图形；中心对称图形和中心对称也是同样的道理。

2、对称轴是一条直线，对称中心是一个点。

3、平移和旋转的确定条件有相同的地方，注意其中的联系与区别。 4、对应点所连的线段平行且相等与对应线段平行且相等，各针对的是不同的线段，要注意其对应关系。

5、中心对称是旋转变换的一种特殊情况，要求图形必须绕某一定点旋转180°后能与原图重合，因此要判定一个图形是否为中心对称图形，必须从定义出发，科学判断，否则就会出现错误。

五、命题趋势及复习对策

图形的平移和旋转是新课标中增加的内容，也是中考必考的内容，纵观08、09、10年各地中考中有关图形变换的试题特点，考察的类型多以填空、选择、作图形式为主，近年来，对其考察深度逐步增加，其中图案设计、图形变换的探索等相关的综合应用方面出现了较多的解答题。还有网格作图和直角坐标系中作图；综合题常出现在大题中，以翻折（折叠）为背景，探索图形的运动变化，进行计算或证明。常与平面直角坐标系相结合，考察变换前后的点的坐标。

中考命题主要从以下方面进行：1、识别现实生活、具体情景中的中心对称图形、轴对称图形、平移、旋转的识别；2、利用轴对称的性质解决相关问题；3、运用轴对称变换、中心对称变换、平移、旋转画图、设计图案。

4、运用对称解决运动变化问题。

5、通过平移、旋转的全等变换进行相关计算或证明

根据以上信息，在复习时对于基本概念的理解及基本方法、性质的掌握就

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显得尤为重要，尤其需要加强对图形变换中数学语言的表达进行训练。

另外，随着人们环保意识的增强，关于植树、栽花和种草之类的图形设计问题，也成了中考热点问题，这类问题的共性特征是：围绕“植树、栽花和种草”，如何设计才能既美观，又经济，对于“美观”要求：一般是运用轴对称或中心对称等集合知识去解决；对于“经济”要求，一般是先按要求设计好几种方案，再通过计算比较各种方案，看哪种方案最省钱。

六、举例

例1. 如图1，在矩形ABCD中，AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F分别是垂足，求PE+PF的长。

分析与略解：P是AD边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。当P点在D（或A）处时，过D作DG⊥AC，垂足为G， 则PE=0，PF=DG， 故PE+PF=DG， 在Rt△ADC中，

DG?AD?DC60?， AC1313AC?AD2?DC2?122?52?13 由面积公式有：

再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=60。

图1

例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P

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从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止。若点P、Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒bcm，点Q的速度为每秒dcm。图3是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x（秒）的函数关系图象，图4是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x（秒）的函数关系图象。

图2 图3 图4

（1）参照图3，求a、b及图3中c的值。 （2）求d的值。

（3）设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点P、Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式。并求出P、Q相遇时x的值。

（4）当点Q出发________秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm。 分析与略解：解决此类问题的关键是应注意图形位置变化及动点运动的时间和速度，用分类讨论的思想来求解。 （1）观察图3，S?APD11?PA?AD??1?a?8?24 22 6

所以a?6（秒），

b?10?1?6， ?2（厘米/秒）

8?6c?8?(10?8)?2?17（秒）。

（2）依题意，(22?6)d?28?12 解得d?1（厘米/秒） （3）y1?6?2(x?6)?2x?6

y2?28?[12?1?(x?6)]?22?x依题意，2x?6?22?x所以x?28（秒） 3（4）1和19。

例3. （2004年河南省）如图5，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），一次函数y=x+t的图象L随t的不同取值变化时，位于L的右下方由L和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）。 （1）当t取何值时，S=3？

（2）在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图象。

图5

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分析与略解：本题应抓住直线在平移过程中保持的位置关系和数量关系。 （1）设L与正方形的边AD、CD相交于M、N，易证Rt△DMN是等腰三角形。只有当MD?所以t?4?2时，△DMN

的面积是1，求得t?4?2。

2时，S=3。

（2）当0?t?2时，S?1t2；

2当2?t?4时，S??1(t?4)2?4；

2当t?4时，S=4。图象略。

例4. （2004年海口市）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图6的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE。

图6

（2）当直线MN绕点C旋转到图7的位置时，求证：DE=AD?BE。

图7

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（3）直线MN绕点C旋转到图8的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

图8

简析：本题在直线MN的旋转过程中，保持了△ADC≌△CEB这一性质。 例5. 如图10，正△ABC的中心O恰好是扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的1，扇形的圆心角应为多少度？说明理由。

3分析：本题属于动面型问题，先找到一种特殊情况，即重叠部分为△OBC时，

1且此时∠BOC=120°，因此本题实际是扇形S?OBC?S?ABC，

3ODE由扇形BOC旋转得

?S?BOG?S?COG，故

到的，∠FOG=∠BOC=120°，可证△BOF≌△COG，所以S四边形OFBG扇形的圆心角为120°。

例6. 如图11，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a>b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B'长方形纸片ABCD的对称中心，则a的值是

b的位置，若B'为___________。

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析解：连结BD。

因为点B'为长方形纸片ABCD的对称中心，

所以点B'一定在BD上，AB'?BB' 图11 由翻折图形的性质可知△ABM≌△AB'M 所以AB?AB'

所以△ABB'是等边三角形 所以ab?tan?ABB'?tan60??3

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《四边形的复习》

一、考点归纳

（一）、平行四边形

考点1、平行四边形的定义；

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 考点2、平行四边形的性质

（1）、边：平行四边形的对边平行且相等；（2）角：平行四边形的对焦相等，邻角互补。（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 考点3、平行四边形的性质的推论

两条平行线之间的距离处处相等。

考点4、平行四边形的判定：（1）、从边来看：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）从角来看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）从对角线来看：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 考点5：平行四边形的面积 平行四边形的面积等于底乘高。 （二）、矩形、菱形、正方形

考点1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 考点2、矩形 （1） 性质

1、 边:对边平行且相等；2、角：四个角都是直角；3、对角线：对角线互相

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平分且相等；4、对称性：是轴对称图形，也是中心对称图形。 （2） 判定

1、 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2、 三个角是直角的四边形是矩形；

3、 两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 考点3、菱形 （1）、性质

1、边：四条边都相等，对边平行；2、角：对角线相等，邻角互补；3、对角线：互相平分且垂直且每一条对角线平分一组对角；4、对称性：是轴对称图形，也是中心对称图形。 （2）判定

1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直平分的四边形。 考点4、正方形 （1） 性质：

1、边：四边都相等，对边平行；2、角：四个角都是直角；3、对角线：互相垂直平分且相等且平分一组对角；4、对称性：是轴对称图形，也是中心对称图形。 （2） 判定：

1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、对角线相等的菱形是正方形；4、有一组邻边相等的矩形是正方形；5、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

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考点5、四边形的面积

矩形的面积=长*宽；菱形的面积=对角线乘积的一半；正方形的面积=边长的平方。

（三）、梯形的识别与判定

考点1、梯形、直角梯形、等腰梯形的定义 考点2、等腰梯形的性质和判定 性质：

1、

等腰梯形两腰相等；2、等腰梯形同一底上的两底角相等；3、等

腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形。 判定：

2、

两腰相等的梯形是等腰梯形；2、同一底上的两个底角相等的梯形

是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形。 考点3、梯形的常见的辅助线作法

在处理有关梯形的问题时，通常需要添加适当的辅助线，使之转化为三角形、平行四边形和特殊的平行四边形的问题来解决。常见的辅助线有以下做法：

中点

（图一） （图二） （图三） （图四） 中点 （图五） （图六） （图七） （图八）

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考点4、梯形的中位线

1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（三角形有三条中位线）

2. 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3. 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（梯形的中位线有且只有一条）

4. 梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

考点5、 梯形的面积

梯形的面积=1/2(上底+下底)*高

（四） 几个常见公式：

AEDCFB1．S菱形 =1ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的

2高）

2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）

3．S梯形 =1（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位

2线）

（五） 四边形知识脉络图

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二、重难点突破：

本节的重点是特殊四边形的概念、性质和判定，难点是将四边形的问题转化为三角形特殊的平行四边形进行解决，突破本节的难点是掌握好各种特殊四边形之间的联系，能进行互相转化，形成一定的逻辑推理能力。

三、容易混点辨析：

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的概念交错，有很多相似的性质，且多数性质和判定定理又是可逆的，因此在解此类题型时，要正确理解概念，弄清概念间的区别和联系，同时还要仔细观察题目所给的图形，并多结合平行四边形、三角形全等、等腰三角形、直角三角形等知识，这样可以使解题思路变得畅通，自然。

四、试题特点：

本节内容在中考命题中涉及到的分值约在10%左右，特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）内容可能出现在各种题型中，在解答题的综合应用中一定会出现，梯形问题经常通过分割与拼接转化为平行四边形及三角形来解决，并结合证明进行计算。

五、中考命题预测与复习对策

四边形的知识是历年中考的重点内容之一，主要以选择、填空和解答题等形式出现，近年来又出现许多与四边形相关的开放探索型问题，以及与其他知识构建的综合题。有关四边形试题将在保持基础性、综合性的同时，还会加大开放性，增强探索性，体现应用型的力度，以着重考察学生的综合知识的能力。因此，在复习时应注意基础知识的训练和巩固，加强四边形知识体系内的综合以及和其他知识联系在一起的综合问题的训练，这些内容都呈现出对四边形知

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识的应用性和综合性。

六、举例

例1、如图1，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关 ．．．．

系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）

关系：①AD∥BC，②AB?CD，③?A??C，④?B??C?180?．

已知：在四边形ABCD中， ， ； 求证：四边形ABCD是平行四边形．

B C A

D 图1

例2、如图2，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB， ∠DEC=90°．

(1)求证：AC∥DE；

(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的 形状，并说明理由．

图2

例3.已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP?OQ；

（2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若

AD?4，∠DCB?60?,BS?10，求AS和OR的长．

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例4.如图28，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿

AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。

例5.已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD（如图5所示），∠BAD的平分线AE交

BC于点E，连结DE.

（1）在图7中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；

（2）∠ABC＝60°，EC=2BE，求证：ED⊥DC.

ADB图5

C17

例6、

如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。 （1）若AG=AE，证明：AF=AH； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。18

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