第五章立体表面的交线

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水利工程制图

第五章立体表面的交线

【学习目的】掌握工程结构形体上截交线和相贯线的形成、类型和特点；掌握立体表面求点的方法与可见性分析；掌握立体表面截交线和相贯线的求法与可见性分析。【学习要点】立体表面求点；立体的截交线；立体间的交线、立体表面截交线和相贯线的求法。

工程结构的构成是较复杂的，主要是由叠砌和切削形式形成的，故其表面具有很多交线。如图5-1所示。

(a)(b)

图5-1 工程结构表面交线实例

工程结构表面的交线分为截交线和相贯线两种。平面与立体所产生的表面交线称为截交线。两立体间相交所产生的表面交线称为相贯线。由于求立体表面的交线，实质是求立体表面交线上的点的连线，因此首先要掌握立体表面取点的方法。

第一节立体表面求点

一、立体表面求点

（一）立体表面点的类型

根据立体表面点的分布特点，我们可将立体表面点分为以下几类，如图5-2所示：

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(a) 平面体表面上的点

(b) 曲面体表面上的点

图5-2 立体表面点的分类

Ⅰ类点：此类点分布在立体表面的轮廓线或底面边线上。 Ⅱ类点：此类点分布在立体具有积聚性的表面上。 Ⅲ类点：此类点分布在立体任意位置面的表面上。

（二）立体表面点的求法

由于立体分为平面体和曲面体两大类，因此立体表面点的求法要根据点在立体表面位置的类型来确定，如图5-3所示。

图5-2 立体表面点的分类

(a)

水利工程制图

(b)

(c)

(d)

图5-3立体表面点的求法

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（1）.Ⅰ类点：由于点在立体表面的轮廓线上，可利用从属性和定比性直接求出，见图5-3（a）、图5-3（c）所示。

（2）.Ⅱ类点：由于点所在的立体表面具有积聚投影，可利用积聚性直接求出，见图5-3（a）、图5-3（c）所示。

求解分析：根据读图分析，三棱柱和圆柱由于投影摆放的考虑，三棱柱和圆柱的一些表面（线）具有积聚投影。据图中点的分布来分析：有些在立体的轮廓线上，此类点可判别为Ⅰ类点；一些在立体具有积聚投影的表面上，此类点可判别为Ⅱ类点；因此，上述各点可依据从属性和积聚性直接求出其它投影，并同时进行可见性分析，作图过程见图所示。

（3）.Ⅲ类点：由于所在的立体表面为任意位置面，平面体可采用辅助直线法，见图5-3（b）所示；回转曲面体可采用辅助素线法（直母线回转体）和辅助圆法，见图5-3（d）所示。

求解分析：根据读图分析，点所在的三棱锥和圆锥表面为一般位置表面，其三投影均反映类似性，此类点可判别为Ⅲ类点；因此，上述各点应采用辅助直线法（三棱锥）和辅助圆法或辅助素线法（圆锥）求出点的其它投影，并同时进行可见性分析，作图过程见图所示。

二、立体表面点的可见性分析

由于投影方向的原因，立体表面上分布点会因为立体轮廓的遮挡，其投影在某投影图上不可见，因此，在求立体表面上点的投影时应同时进行可见性分析判断，并作标识。

第二节立体的截交线

一、立体的截交线概念

如图5-4所示，用于截切立体的平面称截平面；截平面与立体所产生的表面交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称截断面；由于立体分平面体和曲面体两类，因而截平面截切不同的立体或截切位置不同，所形成的截交线形状也不相同。但是截交线都具有以下共同特性：

（1）.立体的截交线必形成封闭的截断面。

（2）.截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的每一点为两者的共有点。

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(a)平面体的截断面

(b)曲面体的截断面

图5-4 立体的截断面

二、立体的截交线求法与画法

（一）平面体截断面的形状

因平面体的表面均是平面，所以立体被截平面所截的截交线必是封闭的多边形线框，截断面为多边形平面。

平面体截断面的求解分析，首先应判断截断面多边形的边数，在截切过程中一个截平面形成一个多边形截断面；其次根据平面体上各棱线（包括底面边线）与截平面的交点判断多边形截断面形状，有几个交点即为几边形。

（二）平面体截断面的求法

分析出截断面的已知投影→求平面体截断面→求截平面与平面体表面的截交线→求被截切平面体上各棱线（底面边线）与截平面的交点→然后依次连接成封闭的多边形，并同时进行可见性分析。如图5-5所示。

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ⅢⅦ

Ⅷ

截断面

ⅣⅥ

(a)

(b)

(c)

(d)

图5-5平面体的截断面求法

【例5-1】如图5-5所示，四棱锥被两个截平面截切，求截断面的投影。【求解分析】

如图5-5a、b所示，根据读图分析，四棱锥被两个截平面截切，故截断面有两个；由于一个截平面为水平面，另一个为正垂面，其截切产生的截断面也具有相同的性质；四棱锥的截断面形状依据立体上的棱线与截平面的交点分析得出，两截断面均为五边形；截断面的已知投影在正视图上，具有积聚性。

【作图步骤】

（1）如图5-5c所示，找出各截断面上的角点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后采用辅助直线法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；

（2）如图5-5c、d所示，依据投影规律求出多边形截断面上所有角点，按其可见性顺序连接，即得截断面。

（三）曲面体截断面的形状

由于常见曲面体（圆柱、圆锥、圆台和球体等）的形体特定，因此，其截断面的形

水利工程制图

状也根据截平面的位置而确定。见表5-1所示：

1.圆柱

圆柱被平面截切有三种情况，对应截交线有三种不同的形状，见表5-1所示。

表5-1 圆柱截切的三种情况

表5-1 圆柱的截切

截平面的位置平行于圆柱轴线垂直于圆柱轴线倾斜于圆柱轴线

截交线形状

P圆

椭圆

矩形

投影特征

（1）截平面平行于圆柱轴线截切，截交线形状是矩形或平行四边形。（2）截平面垂直于圆柱轴线截切，截交线形状是圆。（3）截平面倾斜于圆柱轴线截切，截交线形状是椭圆。 2.圆锥

圆锥被平面截切有五种情况，对应截交线有五种不同形状，见表5-2所示。

表5-2 圆锥截切的五种情况

表5-2 圆锥的截切截平面的位置

通过圆锥顶点

垂直于圆锥轴线

与所有素线相交(θ>α)

与一条素线平行(θ=α)

与二条素线平行(θ<α)

截

交线形状

三角形

P圆椭圆

P抛物线

双曲线

投影特征

（1）截平面通过圆锥顶点截切，截交线形状是三角形。

（2）截平面垂直于圆锥轴线截切，截交线形状是圆。

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（3）截平面倾斜轴线并与所有素线相交截切（α<θ），截交线形状是椭圆。（4）截平面倾斜轴线并与一条素线平行截切（α=θ），截交线形状是抛物线。（5）截平面平行于轴线或与任两条素线平行截切（α>θ），截交线形状是双曲线。由于圆台可认为是圆锥截切顶部形成的，故圆台的截交线可在圆锥的截交线基础上分析得出。

3.圆球

球体被任意位置的截平面截切，截交线都是圆，截平面与球心的距离不同时，圆的直径大小也不同。但由于截平面的投影位置关系，其截交线的投影有圆或椭圆二种特征。

（四）、曲面体截断面的求法

1.求作曲面体截交线投影，分为以下两种情况：

（1）截交线为直线或平行于投影面的圆时，投影可由已知条件根据投影规律直接求出。

（2）截交线为椭圆、抛物线、双曲线等非圆曲线或非平行于投影面的圆时，需求出曲面与截平面相交形成的截交线上的一系列共有点，然后连接成截交线，并同时进行可见性分析，构成曲面体的截断面。

2.截交线的连接

为了准确地求出截交线的形状，在求非圆曲线截交线的投影时，应首先求出截交线上的控制点（如端点、曲线转向点与转折点、可见与不可见分界点和截平面与曲面体特殊轮廓素线的交点等），再补求若干截交线的中间点，即可精确完成截交线的绘制。

3.曲面体截断面的求法

分析出截断面的已知投影→判断出截断面的形状→求曲面体截断面→求截平面与曲面体表面的截交线→求被截切曲面体上各素线（底面边线）与截平面的交点→然后依次连接成封闭的截断面，并同时进行可见性分析。

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【例5-2】如图5-6所示，圆锥被两个截平面截切，其截断面的求法。

【求解分析】如图5-6（a）、（b）所示，根据读图分析，圆锥被两个正垂面截平面P1、P2截切，故截断面有两个，均为正垂面；根据截平面的截切位置，可分析出其截切所产生的截断面形状，P1截切产生的截断面为三角形，P2截切产生的截断面为椭圆；其截断面的已知投影积聚在圆锥的正视图上。

(a)

(b)

(c)(d)

图5-6 曲面体的截断面求法

【作图步骤】

（1）如图5-6（c）所示，根据分析结果，找出各截断面上的控制点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后根据曲面体的形体特征，选用辅助素线法或辅助圆法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；

（2）如图5-6（c）、（d）所示，依据投影规律求出圆锥各截断面上所有控制点，如必要可少量补求一些曲线连接点，并按其可见性顺序连接，即得截断面的投影。

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第三节立体间的交线

两立体相交所产生的表面交线叫相贯线。由于相交两立体的形状、相对位置及大小的不同，相贯线的形状也各不相同。

相贯线的基本性质：相贯线是属于两相交立体表面的共有线；相贯线上每一点都是两相交立体表面上的共有点。

一、两立体相交的类型

（一）由相交两立体形状分类

如图5-7 所示，分为三种类型：平面体与平面体相交；平面体与曲面体相交；曲面体与曲面体相交。

相贯线

(a)平面体与平面体相交(b)平面体与曲面体相交(c)曲面体与曲面体相交

图5-7 两立体相交的形状分类

（二）由相交立体的虚实分类

如图5-8 所示，分为三种类型：实体与实体相交；实体与虚体相交（开孔）；虚体与虚体相交（孔与孔在立体内部相交）。

相贯线

(a)实体与实体相交

(b)实体与虚体相交(开孔)

(c)虚体与虚体相交(孔与孔)

图5-8 两立体相交的虚实分类

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（三）由立体相交的部位分类

分为两种类型：贯通型；互交型，只有一组相贯线（如图5-7中所示）；有两组相贯线（如图5-8中所示）。

二、相贯线的求法

分析相贯线的已知投影→由立体间相交的类型判断出相贯线的形状和组数→求立体间相交的相贯线→求相贯线上的控制点（端点、曲线转向点与转折点、可见与不可见分界点和相贯线与曲面体特殊素线的交点等，如连接相贯线的需要可少量补求一些中间点。）→然后依次连接各点成封闭的相贯线，并同时进行可见性分析。如图5-9所示。

(a)开孔(b)

＇＇9(c)

(d)

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【例5-3】如图5-9所示，三棱锥上开了一个四棱柱孔，其相贯线的求法。

【求解分析】如图5-9（a）、（b）所示，根据读图分析，此例为虚实贯通型，相贯线有两组；根据立体间的相交位置和虚实立体的棱线相互相交情况，可分析出三棱锥前部的相贯线形状为封闭的六边空间折线，后部为平面四边形；也可看成由二个水平截平面和二个侧平截平面与三棱锥相截切，所产生的多个截断面的已知投影积聚在三棱锥的正视图上。

(e)实体相交(f)

图5-9求相贯线的投影

【作图步骤】

（1）如图5-9（c）所示，根据分析结果，找出各相贯线上的角点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后采用辅助直线法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；

（2）如图5-9（c）、（d）所示，依据投影规律求出各相贯线上所有角点，按其可见性顺序连接，即得各组相贯线。

（3）如图5-9（e）、（f）所示，与前例比较；我们发现相同立体实与实相交或虚与实相交，其相贯线的组数、形状和求法均相同，但由于立体间的遮挡关系，其立体间和相贯线的可见性是不一样的。

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【例5-4】如图5-10所示，圆锥与四棱柱相交，其相贯线的求法。

【求解分析】如图5-10（a）、（b）所示，根据读图分析，圆锥与四棱柱互交，相贯线为一组；根据立体间的相交位置，以及四棱柱的棱面特点，可按圆锥被两个水平截平面和二个侧平截平面截切，故相贯线可看成由四段截交线构成；根据截平面的截切位置，可分析出其截切所产生的截断面形状，水平截切产生的截断面为圆，侧平截切产生的截断面为双曲线；其相贯线的已知投影积聚在圆锥的正视图上。

(a)

(b)

(c)

(d)

图5-10 求相贯线的投影

【作图步骤】

（1）如图5-10（c）、（d）所示，根据分析结果，找出构成相贯线的各截交线上的控制点，特别要注意重影点，分析各点的类型；先根据从属性和积聚性求出Ⅰ、Ⅱ类点的投影，然后根据曲面体的形体特征，选用辅助素线法或辅助圆法求出Ⅲ类点的投影，求点同时进行可见性分析；

（2）如图5-10（c）、（d）所示，依据投影规律求出圆锥相贯线上所有控制点，如必要可少量补求一些曲线连接点，并按其可见性分析结果，顺序连接各点，即得相贯

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线的投影。

【复习思考题】

1．在立体表面上求点，首先应（）。