《浅谈多项式因式分解的方法》

贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计）

期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》

学生姓名： 何 娜 科任教师： 龙 伟 锋 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2012级 学 号： 122008011013

2015年 12 月 10 日

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多项式因式分解的方法

摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解

多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个n?n＞0?次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。

１ 求根法

（参见文献?2?）设多项式f?x?=anxn?an?1xn?1???a1x?a0是整系数多项式， 第一步 写出首项系数an的全部因数vi，i?1,2,?,s； 第二步 写出常数项a0的全部因数uj，j?1,2,?t； 第三步 用综合除法对

ujvi试验，确定f?x?的根；

第四步 写出f?x?的标准分解式。

例1 求f?x?=4x4?7x3?10x2?5x?2在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求f?x?=4x4?7x3?10x2?5x?2的有理根。

?f?x?的常数项和首项系数的全部因数分别为?1，?2与?1，?2，?4,则需要检验的有

11理数为?1，?2，?，?.

24由于f??1?=0，故-1是f?x?的根，且易知f?x?=?x?1?4x3?3x2?7x?2.

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??按照同样的方法可求g?x?=4x3?3x2?7x?2的有理根，易知g?x?的有理根为

11，且是44g?x?的单根。

1???4x4?7x3?10x2?5x?2=?x?1??x???4x2?4x?8? =?x?1??4x?1??x2?x?2?.

4??例2 求f?x?=x3?6x2?15x?14在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求f?x?=x3?6x2?15x?14的有理根。

由于f?x?是首项系数是1的整系数多项式，如果有有理根，必为整数根，且为常数项-14的因数。由于-14的因数为?1，?2，?7，?14，经检验知f?1???4，f??1???36， f??2???72， f?7??140，f??7???756， f?14??1764，f??14???4144. f?2??0，

故2是f?x?的有理根，又由综合除法，得

2 1 -6 15 -14 2 -8 14 2 1 -4 7 0 2 -4 1 -2 3

可见2是f?x?的单根，所以f?x?=?x?2??x2?4x?7?.

２ 待定系数法

例3 求f?x??x5?10x3?20x2?15x?4在有理数域上的标准分解式。

解 f?x?的首项系数1的因子有?1，常数项-4的因子有?1，?2，?4，故f?x?的根有可能是?1，?2，?4，将其代入f?x?逐一检验，得出-1和4是f?x?的有理根。

不妨设f?x?=?x?1??x?4??x3?ax2?bx?1?，利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项，得f?x?=x5??a?3?x4??b?4?3a?x3??1?3b?4a?x2???3?4b?x?4.

与f?x??x5?10x3?20x2?15x?4进行逐项比较，得a?b?3. 所以，f?x?= ?x?1??x?4??x3?3x2?3x?1?=?x?1??x?4?.

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３ 重因式分离法

（参见文献?1?）数域P上任一次数大于0的多项式f?x?都有唯一的标准分解式

f?x??ap11?x?p22?x??pss?x? （*）

rrr其中a为f?x?的首项系数，p1?x??ps?x?是P上首项系数为1的不可约多项式且两两互

异，r1,r2?,rs都是正整数。对（*）式两边求导，得

f??x??a·g?x?·p1r1?1?x?p2r2?1?x??psrs?1?x?， 其中每个pi?x?都不能整除g?x?，用辗转相除法求出

?f?x?,f??x???p11r?1?x?p2r?1?x??psr?1?x?，

2s则存在q?x??ap1?x?p2?x??ps?x?使f?x???f?x?,f??x??q?x? ，由此可见q?x?和f?x?具有完全相同的因式，差别只是q?x?中的因式的重数为1，所以求f?x? 的因式就可以转化成求q?x?的因式。

例4 求多项式f?x??x5?10x3?20x2?15x?4在有理数域上的标准分解式。 解 由f'?x??5x4?30x2?40x?15，?f?x?,f??x???x3?3x2?3x?1 ， 得 g?x??f?x?/?f?x?,f??x???x2?3x?4 ， 所以g?x?的不可约因式为x?4,x?1. 但是 ?f?x?,f??x????x?1?，

3由重因式定理，x?1是 f?x?的4重因式，所以 f?x???x?1??x?4?.

4例5 求多项式f?x??x7?2x6?6x5?8x4?17x3?6x2?20x?8在有理数域上的标准分解式。

解 由f'?x?=?7x6?12x5?30x4?32x3?51x2?12x?20，用辗转相除法，得

?f?x?,f??x??=x5?x4?5x3?x2?8x?4.

于是 q?x??f?x?/?f?x?,f??x??=x2?x?2??x?1??x?2?.

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由于f?x?与q?x?有完全相同的不可约因式x?1，x?2，可见f?x?有根1，-2，再用综合除法

1 1 2 -6 -8 17 6 -20 8 1 3 -3 -11 6 12 -8 1 1 3 -3 -11 6 12 -8 0 1 4 1 -10 -4 8 1 1 4 1 -10 -4 8 0 1 5 6 -4 -8 1 1 5 6 -4 -8 0 1 6 12 8 1 1 6 12 8 0 1 7 19 1 7 19 27

可见1是f?x?的四重根，-2是f?x?的三重根。所以f?x?=?x?1??x?2?.

43

４ 利用矩阵的初等行变换法

?f?x?10?初等行变换??f?x?,f??x??u?x?v?x??（参见文献?6?）因为 ????，并??????fx010??????????且u?x?,v?x?满足?f?x?,f??x??=u?x?f?x??v?x?f??x?，所以可根据以上过程求出

?f?x?,f??x??，再用方法三求出多项式f?x?标准分解式。

例6 求f?x??x5?10x3?20x2?15x?4在有理数域上的标准分解式。

?x5?10x3?20x2?15x?410?初等行变换? 解 由??????425x?6x?8x?301??????

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