初中数学辅导2013中考总结复习冲刺专题：动态几何问题

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2013中考总结复习冲刺练： 动态几何问题

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【前言】

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，

第一部分 真题精讲

【例1】（2012，密云，一模）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

ADN

BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】

解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．

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ADN

BEMC∵

AB∥DE，AB∥MN．

∴DE∥MN． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴∴

MCNC?． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ECCD10?2tt50?．解得t?．

10?3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

（2）分三种情况讨论：

① 当MN?NC时，如图②作NF?BC交BC于F，则有MC?2FC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵sin?C?∴cos?C?DF4?， CD53， 53t， 5∴10?2t?2?解得t?25． 8ADN

BMFC② 当MN?MC时，如图③，过M作MH?CD于H． 则CN?2CH， ∴t?2?10?2t??∴t?3． 560． 17京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班

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ADNH

CBM③ 当MC?CN时， 则10?2t?t．

t?10． 3256010、或时，△MNC为等腰三角形． 1738综上所述，当t?【例2】（2012，崇文，一模）

C不重合） 在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝4含x的式子表示）

（用2，BC?3，CD=x，求线段CP的长．

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】：

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：?AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD．

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立．

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BGD

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理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x， 易证△AQD∽△DCP，∴

CPCDCPx? ， ∴?，

DQAQ4?x4x2?CP???x．

4②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作

AG?AC交CB延长线于点G，

??ACF．? CF⊥BD，

则?AGD?△AQD∽△DCP，∴DQ?AQ ， ∴

x2?CP??x．

4【例3】（2012，怀柔，一模） 已知如图，在梯形（1）求证：梯形

CPCDCPx?， 4?x4点MABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，是

AD的中点，△MBC是等边三角形．

ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC式；

（3）在（2）中，当

?x，MQ?y，求y与x的函数关系

y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

A

M D

60° B

P

Q

C

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必

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说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? AD中点

∵M是∴∵

AM?MD

AD∥BC

?∠MBC?60?，∴∠AMB∠DMC?∠MCB?60?

∴△AMB≌△DMC ∴

AB?DC

ABCD是等腰梯形．

?MC?BC?4，∠MBC?∠MCB?60?，∴梯形

（2）解：在等边△MBC中，MB∠MPQ?60?

∴∠BMP?∠BPM∴∠BMP?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

?∠QPC

∴△BMP∽△CQP ∴

PCCQ?BMBP

∵PC∴

?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y

x4?y12 ∴y?x?x?4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) ?44?x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： ∵

△PQC为直角三角形

y?12?x?2??3 4∴当

y取最小值时，x?PC?2

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∴P是BC的中点，MP∴∠CPQ∴∠PQC

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题. 【例4】2012，门头沟，一模

而∠MPQ?60?，?BC，?30?， ?90?

CG． 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

CG，（2）将图1中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中?BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

ADGEAGEDAFDEFB

B图1FCB图2 CC图3【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG?EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即CG?EG．

证明：连接AG，过G点作MN?AD于M，与EF的延长线交于N点． 在?DAG与?DCG中，

?ADG??CDG，DG?DG， ∵AD?CD，∴?DAG≌?DCG．

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∴AG?CG． 在?DMG与?FNG中，

FG?DG，?MDG??NFG， ∵?DGM??FGN，∴?DMG≌?FNG． ∴MG?NG

在矩形AENM中，AM?EN 在Rt?AMG与Rt?ENG中，

MG?NG， ∵AM?EN，∴?AMG≌?ENG． ∴AG?EG． ∴EG?CG

AMGDEFNC

B图2 【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．

AGEFD

B图3【例5】（2012，朝阳，一模）

C已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t46.html