四川省绵阳市三台中学实验学校2022届高三数学入学考试试题理含解

四川省绵阳市三台中学实验学校2020届高三数学入学考试试题 理

（含解析）

一.选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分）

1.若集合2{|20}A x x x =-<，则R C A =（ ）

A. (0，2)

B. [0，2]

C. (),0-∞

D. [)2,+∞

【答案】B

【解析】

【分析】

求得集合{|0A x x =<或2}x >，根据集合的补集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合2{|20}{|0A x x x x x =-<=<或2}x >，所以{|02}[0,2]R C A x x =≤≤=，

故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，熟记集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

2.若集合{|12}A x x =<<，{}

,B x x b b R =∈，则A B ?的一个充分不必要条件是（ ）

A. 2b ≥

B. 12b <≤

C. 1b ≤

D. 1b < 【答案】D

【解析】

{|12}A x x =<<，{},B x x b b R =∈，A B ∴?充要条件是1b ≤，1b ∴<是A B ?的充分不必要条件，故选D.

3.已知命题:p “a b >”是“22a b >”的充要条件；:,ln x

q x R e x ?∈<，则（ ） A. p q ?∨为真命题

B. p q ∧?为假命题

C. p q ∧为真命题

D. p q ∨为

真命题

【答案】D

【解析】 【详解】函数2x

y =是增函数，所以22a b a b >?>，所以是充要条件，所以命题p 是正确

- 1 - 的，为真命题，由图像可知x

y e =和ln y x =关于直线y x =对称，没有交点，所以不存在x ∈R ，使ln x e x <，所以命题q 使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知p q ∨是真命题，故选D.

= ( )

1

B. 1

C. 3－

3 【答案】A

【解析】

【分析】

由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.

11===，

1=

11==

，

故原式

)(

)

1111=+-+=. 本题选择A 选项.

【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题.

5.

给出四个命题：①映射就是一个函数；②()lg(3)f x x =-+③函数(=)y f x

的图象与y 轴最多有一个交点；④()f x

=与()g x =.其中正确的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的定义逐项分析即可.

【详解】由函数是特殊的映射，知①错误； 由30,20x x ->??-≥?

无解，知②错误；

- 1 - 当0x =不是定义域内的点时，函数图象与y 轴无交点，

当0x =是定义域内的点时，由函数定义知，函数图象与y 轴有唯一交点，故③正确；

对于()f x =，定义域为(,0]-∞

，则()|f x x ===-同，故两函数不是同一函数，故④错误.

故选A.

【点睛】本题考查函数的定义，掌握函数的三要素是解题的关键.

6.已知函数()12x

f x ??= ???，若()()()0.322,2,lo

g 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A. c b a >>

B. a b c >>

C. c a b >>

D.

b c a >>

【答案】B

【解析】

【分析】

根据指数函数的

单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果.

【详解】00.310.3222,122<<∴<<，

22log 5log 42>=，

0.3222log 5∴<<，

()12x f x ??= ???

在R 上递减， ()()()0.3222log 5f f f ∴>>，

即a b c >>，故选B.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

- 1 - 7.定义在R 上的函数()f x 满足()()()22,012,0x x f x f x f x x --?≤?=?--->??

，则()2019f =（ ） A. 1-

B. 0

C. 14-

D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】 根据当0x >时，()()()12f x f x f x =---，得出当0x >时，函数周期为6，()()()2019633633f f f =?+=即可得解.

【详解】()()()()()()()()11111,0,101,2102442

f f f f f f f f -===--=-=-=-， ()()()13214

f f f =-=- 由题当0x >时，()()()12f x f x f x =---，

则()()()11f x f x f x +=--，所以()()12f x f x +=--，

即()()3f x f x =-+

所以()()36f x f x +=-+，

即()()6f x f x =+，所以()()()2019633633f f f =?+=14=-

故选：C

【点睛】此题考查分段函数结合函数周期的应用，此题应注意周期的适用范围，千万不能错误地认为在实数集上周期为6，而出现“()()33f f =-”这一错误.

8.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有

4a 升，则m 的值为（ ）

A. 10

B. 9

C. 8

D. 5

【答案】D

【解析】

- 1 - 由题设可得方程组()552{4

n m n ae a a ae +==，由55122n n ae a e =?=，代入(5)1142m n mn ae a e +=?=，联立两个等式可得512{12

mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D ． 9.已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()2f x x x =--，则1()2f x =

的所有根之和等于（ ） A. 4

B. 5

C. 6

D. 12 【答案】A

【解析】

【分析】 由题可知函数()y f x =的图像关于()1,0对称，求出1x >时函数的解析式，然后由韦达定理求解．

【详解】因为(1)f x +为奇函数，所以图像关于()0,0对称，

所以函数()y f x =的图像关于()1,0对称，即()()20f x f x +-=

当1x <时，2()2f x x x =--，

所以当1x >时，2()68f x x x =-+ 当2122

x x --=时，可得122x x +=- 当21682x x -+=

时，可得346x x += 所以1()2

f x =

的所有根之和为624-= 故选A 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式，解题的关键是得出函数()y f x =的图像关于()1,0对称，属于一般题．

10.函数(),,00,2s ()()in x x

e e

f x x x

ππ-+=∈-的图象大致为( )

- 1 - A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，

()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项. 【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()()2sin x x e e f x f x x -+-==--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0x x x e e ->+>，所以()0f x >，故排除D.

又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ，

综上，选A.

【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．

11.已知函数24,0()1log 1,0

a x a x f x x x ?+>?=?+-≤??（0a >，且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的方程()3f x x =+恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）

A. 313(,]416

B. 313(0,]{}416

C. 1313[,){}4416

D.

1313[,]{}4416 【答案】D

- 1 - 【解析】 【分析】 由题意首先求得a 的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a 的取值范围

.

【详解】由函数的解析式可知函数在区间()0,∞+上单调递增，

当0x ≤时，函数1y x =-单调递减，由复合函数的单调性法则可知：01a <<， 且函数在0x =处满足：2041log 01a a +≥+-，解得：14a ≥，故114a ≤<， 方程()3f x x =+恰有两个不相等的实数解，则函数()f x 与函数3y

x 的图像有且仅有两个不同的交点，

绘制函数()f x 的图像如图中虚线所示，

令1log 10a

x +-=可得：11x a =±， 由114

a ≤<可知111a +>，113a -≥-， 则直线3y x 与函数()f x 的图像在区间(],0-∞上存在唯一的交点，

原问题转化为函数3y

x 与二次函数24114a y x a ≤??=+ ???

<在区间()0,∞+上存在唯一的交点， 很明显当43a ≤，即34

a ≤时满足题意， 当直线与二次函数相切时，设切点坐标为()200,x x a +，亦即()00,3x x +，

- 1 - 由函数的解析式可得：2y'x =，故：00121,2x x ==，则0732x +=， 切点坐标为17,22?? ???，从而：20742x a +=，即17134,4216a a +==. 据此可得：a 的取值范围是1313,44

16????????????

. 故选D . 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12.已知函数2()(1)2

x a f x x e x =--，对于任意1x R ∈，()20,x ∈+∞，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立，则整数a 的最大值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数a 的最大值.

【详解】()()()()1212212122f x x f x x x x x x x +-->-=--+，

设112t x x =+，212t x x =-则有12,t t R ∈且12t t >，即()()1221f t f t t t ->-恒成立， 即()()1122f t t f t t +>+，令()()g x f x x =+，

则()g x 在R 上单调递增，即()0g x '≥恒成立，

即()10x g x xe ax =-+≥'，(1)10g e a -+'=≥，得14a e ≤+<， 下证3a =成立：

()31x g x xe x '=-+，易证当0x ≤时，()311x x g x xe x xe '=-+≥+，

考查函数：x y x e =?，则()'1x y e x =+，故函数x y x e =?在区间(),1-∞-上单调递减，在

区间()1,-+∞上单调递增，当1x =-时，函数的最小值为min 1y e =-

，

- 1 - 据此可得：()1'110x

g x xe e ≥+≥->， 当0x >时，()31x g x xe x '=-+>22(1)3121(1)0x x x x x x +-+=-+=-≥，

故3a =成立.

故选C .

【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.

已知函数1)4f x +=-，则()f x 的解析式为_________.

【答案】2()23(1)f x x x x =--≥

【解析】

【分析】

利用换元法求解析式即可

【详解】令11t =

≥，则()21x t =- 故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥

故答案为2()23(1)f x x x x =--≥

【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点

14.若14a a -+=，则22a a -+=__________.

【答案】14

【解析】

【分析】

对等式14a a -+=两边同时平方即可得解.

【详解】由题：14a a -+=，两边同时平方可得：22162a a -++= ，

所以22a a -+=14.

故答案为：14.

【点睛】此题考查指数幂的运算，根据已知条件求值，平方处理即可求值.

15.已知函数()(2013)(2015)(2017)(2019)f x x x x x =++++x ∈R ，则函数f (x)的最小

- 1 - 值是________.

【答案】-16.

【解析】

【分析】

根据()f x 解析式的对称性进行换元，令2016x t =-，得到()2016f t -的最小值，由()f x 与()2016f t -的最小值相同，得到答案

【详解】令2016x t =-，

则()()()()()42

20163113109f t t t t t t t -=--++=-+ 当25t =时，有最小值25105916-?+=-

故()f x 的最小值是16-.

【点睛】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题.

16.已知函数22ln 3()x x f x m x

++=+，若01,4x ???∈+∞????，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______

【答案】[0)-

【解析】

【分析】

由题意，设()0t f x =，得()00f x x =有零点，化简得2ln 3x m x

+-=，转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x

+=有交点，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，设()0t f x =，∵()()00

f f x x =，∴()0f t x =，∴()00f x x =有零点， 即()22ln 3x x f x m x x

++=+=，整理得2ln 3x m x +-=， 即直线y m =-与()2ln 3x g x x +=

有交点， 又由()22ln 1'x g x x +=-，（1 4x ≥），令()'0g x =

，解得x e

=，

- 1 - 当1

,4e x e ??∈?????

时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 当,e x e ??∈+∞????时，()'0g x <，函数()g x 单调递减， ∴()2max e g x g e ??== ? ???

，

又()143ln1604g ??=-> ???

，当x →+∞时，()0g x →， 分别画出y m =-与()y g x =的图象，如图所示；

由图象可得当02m e <-≤，即20e m -≤<时，y m =-与()y g x =有交点， 故答案为)

2,0e ?-?．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中函数的零点问题转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x

+=有交点，再利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．

三.解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知集合{}24x A x R =∈<，(){}

lg 4B x R y x =∈=-. （1）求集合,A B ；

（2）已知集合{}

11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ??，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，

. 【解析】

- 1 - 试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；

（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞，根据()C A B ??，再分C =?和C ≠?两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.

试题解析：

（1）∵x 222<

∴()A ,2∞=-

又∵()y lg x 4=-可知x 4>

∴()B 4,∞=+

（2）∵()()()A B ,24,∞∞?=-?+，又∵()C A B ??

（i ）若C ?=，即1m m 1->-，

解得m 1<，满足：()C A B ??

∴m 1<符合条件

（ii ）若C ?≠，即m m 1-≤-，

解得m 1≥，要保证：()C A B ??

1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<

解得[

)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞，

. 18.若二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)满足g (x ＋1)＝2x ＋g (x )，且g (0)＝1.

（1）求g (x )的解析式；

（2）若在区间[－1,1]上，不等式g (x )-t >2x 恒成立，求实数t 的取值范围.

【答案】（1）()1g x x x =-+2；（2）(),1-∞- 【解析】

分析】

（1）根据g (0)＝1，得1c =，根据()()2

211121a x b x x ax bx ++++=+++建立方程组2211a b b a b +=+??++=?

即可求解；

- 1 - （2）分离参数，将问题转化为在区间[－1,1]上，231x x t -+>恒成立，即可求解.

【详解】（1）由题：二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)满足g (x ＋1)＝2x ＋g (x )，

且g (0)＝1，即1c =

所以()()2

211121a x b x x ax bx ++++=+++，

整理得：()()222121ax a b x a b ax b x +++++=+++ 所以2211

a b b a b +=+??++=?，解得：1,1a b ==- 所以()21g x x x =-+；

（2）在区间[－1,1]上，不等式g (x )-t >2x 恒成立，

即212x x t x -+->

即在区间[－1,1]上，231x x t -+>恒成立，

函数231y x x =-+在[]1,1x ∈-单调递减，所以2

31y x x =-+的最小值为-1， 所以1t <-.

【点睛】此题考查二次函数，根据已知条件求函数解析式，根据不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数解决，也可考虑二次函数根的分布处理.

19.已知函数()()

2x f x x mx n e =++，其导函数()'y f x =的两个零点为3-和0. （I ）求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程；

（II ）求函数()f x 的单调区间； （III ）求函数()f x 在区间[]22-,

上的最值. 【答案】（I ）4e 3e y x =-；（II ）增区间是(),3-∞-，()0,∞+，减区间是()3,0-；（III ）最大值为25e ，最小值为1-.

【解析】

试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足()0f x '=，解方程组求出m,n ；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求(1)f '得出斜率，

- 1 - 利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.

试题解析：

（1）∵()()2x

f x x mx n e =++， ∴()()()

()()22'22x x x f x x m e x mx n e x m x m n e ??=++++=++++??， 由()()'30'00f f ?-=??=??

知()()93200m m m m n ?-+++=?+=?，解得11m n =??=-? 从而()()21x f x x x e =+-，∴()()

2'3x f x x x e =+

所以()1f e =，∴()'14f e =，

曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()41y e e x -=-，

即43y ex e =-，

（2）由于0x e >，当x 变化时，()'f x ，()f x 变化情况如下表：

故()f x 的单调增区间是(),3-∞-，()0,+∞，单调递减区间是（-3,0）.

（3）由于()225f e =，()01f =-，()2

2f e --=， 所以函数()f x 在区间[]

2,2-上的最大值为25e ，最小值为-1. 20.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a

+-+=+是奇函数 ⑴求函数()f x 的解析式；

⑵判断并证明函数()f x 的单调性；

- 1 - ⑶若对于任意的t R ∈，不等式22

(2)(1)0f mt t f t -+-<恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）121()22

x x f x +-+=+（2）减函数，证明见解析（3）2m > 【解析】

试题分析：⑴∵()f x 为奇函数，(0)0,(1)(1)f f f ∴=-=- 即11220,214b b b a a a

-+-+-+==-+++， 解得2, 1.a b == 所以121()22

x x f x +-+=+，检验得()()f x f x -=-，满足条件. …4分 ⑵2111()2(21)212

x x x f x -=-=-++为R 上的减函数 证明：设12x x < 则211212121122()()2121(21)(21)

x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <21220x x ∴->，1(21)0x +>2(21)0x +> ∴2112220(21)(21)

x x x x ->++即12()()f x f x > ∴()f x 为减函数 …8分

⑶∵22(2)(1)0f mt t f t -+-<,∴22

(2)(1)f mt t f t -<--

∵()f x 为奇函数,22(1)(1)f t f t ∴--=-, 则22

(2)(1)f mt t f t -<-.

又()f x 为减函数∴2221mt t t ->-即()21210m t t --+>恒成立, 1m =时显然不恒成立，

所以10{44(1)0

m m ->--<2m ∴>…14分 考点：本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式，判断并证明函数的单调性，利用函数的单调性求解抽象不等式以及恒成立问题.

- 1 - 点评：如果奇函数在0x =处有意义，则(0)0,f =这一性质在解题时可以简化运算，特别好用，另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简，尽量不要用已知函数的单调性来判断未知函数的单调性.解抽象不等式，关键是利用单调性“脱去”外层符号，得出具体的不等式，这一过程中要注意定义域是否有影响.

21.已知函数()ln f x x x a =+，()ln ,g x x ax a =-∈R .

（1）求函数()f x 的极值；

（2）若10a e

<<，其中e 为自然对数的底数，求证：函数()g x 有2个不同的零点； （3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值.

【答案】（1）极小值为1a e

-

+；无极大值（2）证明过程见解析；（3）2. 【解析】

【分析】

（1）对函数()f x 求导，利用导数判断出函数()f x 的单调性，利用极值定义求出函数()f x 的极值；

（2）利用导数可求出函数()g x 的单调性和最大值，然后分类讨论在不同单调区间上函数存在零点，最后能证明出函数()g x 有2个不同的零点；

（3）构造新函数()()()h x f x g x =+，利用导数，求出()h x 的值域，然后能求出实数a 的最大值.

【详解】（1）函数()f x 的定义域为0x >，因为()ln f x x x a =+，所以()ln 1f x x =+‘， 当1x e >时，()0f x >‘，所以函数()f x 单调递增；当10x e

<<时，()0f x <‘，所以函数()f x 单调递减，因此

1e

是函数()f x 的极小值，故函数()f x 的极值为极小值，值为11()f a e e =-+；无极大值 （2）函数()g x 的定义域为0x >，因为()ln ,g x x ax =-所以'

1()g x a x =-， 因为10a e <<，所以当1x a >时，'()0g x <，因此函数()g x 是递减函数，当10x a <<时，'()0g x >，函数()g x 是递增函数，

- 1 - 所以函数()g x 的最大值为： max 1111()()ln

ln 1g x g a a a a a ==-?=-， 因为10a e

<<，所以11ln 1e a a >?>，因此有max ()0g x >， 因为1e a >，所以(1)0g a =-<，因此当10x a

<<时，函数()g x 有唯一零点； 因为10a e <<，所以211a a >，22211111()ln 0g a a a a a =-<-<，故函数()g x 在1x a >时，必有唯一的零点，因此函数()g x 有2个不同的零点；

（3）设()()()ln ln h x f x g x x x a x ax =+=++-，(1)0h =，

'1()ln 1h x x a x =++-，因为211()0h x x x

''=->，所以函数()h x '在1x >时单调递增，即'((2)1)h h a x '>=-

当20a -≥时，即2a ≤，1x >时，'

()0h x >，函数()h x 在1x >时单调递增，因此有()(1)0h x h >=，即当1x >时，()()0f x g x +>恒成立；

当2a >时，''1(1)20,()10,a a h a h e e

=-<=+>所以存在0(1,)a x e ∈，使得'0()0h x =，即当0(1,)x x ∈时，函数()h x 单调递减，所以此时0()()(1)0h x h x h <<=，显然对于当1x >时，()()0f x g x +>不恒成立，综上所述，2a ≤，所以实数a 的最大值为2.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点，考查了不等式恒成立问题.

22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标

方程为3sin 4ρπθ??=- ???.

（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点()0,2P

l ，l 与圆C 交于A ，B 两点，试求

11||||PA PB -的值. 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=；（2）

12

【解析】

【分析】

- 1 - （1）利用两角差的正弦公式展开，由极坐标与直角坐标的互化公式即可求得结果.

（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程并化简整理，结合韦达定理，利用t 的几何意义，可求得结果

【详解】（1

）由34πρθ??=-

???，可得4cos 4sin ρθθ=+， ∴24cos 4sin ρρθρθ=+，∴圆C 的直角坐标方程为2244x y x y +=+，

即()()22

228x y -+-=. （2）直线l

的参数方程为1222x t y ?=????=+??

，（t 为参数），代人()()22228x y -+-=，

得2240t t --=，则121224t t t t +=?=-，.

由t 的几何意义可得1212121212111112

t t t t PA PB t t t t t t -+-=-===. 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及合理应用直线参数方程中参数t 的几何意义是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

23.已知0a >，0b >，332a b +=，证明：

(1)()()554a b a b ++≥；

(2)2a b +≤.

【答案】(1) 见解析(2) 见解析

【解析】

【分析】

（1）由柯西不等式即可证明，

（2）由a 3+b 3＝2转化为()()323a b a b +-=+ab ，再由均值不等式可得：()()3

23a b a b +-=+ab ≤2()2a b +，即可得到14

（a +b ）3≤2，问题得以证明． 【详解】证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，

当且仅当ab 5＝ba 5，

即a＝b＝1时取等号；

（2）∵a3+b3＝2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，

∴()

()

32

3

a b

a b

+-

=

+

ab，

由均值不等式可得：()

()

32

3

a b

a b

+-

=

+

ab≤2

()

2

a b

+

∴（a+b）3﹣2

()3 3

4

a b

+

≤，

∴1

4

（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．

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