MATLAB在导热问题中的应用

分类号 密级 U D C 编号

本科毕业论文(设计)

题目 MATLAB在导热问题中的运用

所 在 院 系 数学与数量经济学院 专 业 名 称 信息与计算科学 年 级 05级 学 生 姓 名 朱 赤 学 号 0515180004 指 导 教 师 周 瑾

二00九年四月

文献综述

1、概述

MATLAB是一个为科学和工程计算而专门设计的高级交互式的软件包。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所要求解的问题，用户只需简单的列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。MATLAB中有大量的命令和事先定义的可用函数集，也可通称为MATLAB的M文件，这就使得用它来求解问题通常比传统编程快得多；另外一点，也是它最重要的特点，易于扩展。它允许用户自行建立完成指定功能的M文件。从而构成适合于其它领域的工具箱。MATLAB既是一种编程环境，又是一种程序设计语言。它与其它高级程序设计语言C、Fortran等一样，也有其内定的规则，但其规则更接近于数学表示，使用起来更为方便，避免了诸如C、Fortran语言的许多限制，比方说，变量、矩阵无须事先定义；其次，它的语句功能之强大，是其它语言所无法比拟的，再者，MATLAB提供了良好的用户界面，许多函数本身会自动绘制出图形，而且会自动选取坐标刻度。

传热学是一门研究由温差引起的热能传递规律的科学，其理论和技术在生产、科学研究等领域得到了广泛的应用。在能源动力、建筑建材及机械等传统工业部门中，传热学理论的应用解决了这些部门生产过程的热工艺技术，而在新能源利用、军事高科技等新技术领域中，它甚至对一些关键技术起到了决定性作用。传热过程是传热学研究最基本的过程之一，传统的数学分析解法只能解决相对简单的传热问题，而在解决复杂的实际传热问题时，数学描述和求解都很困难。随着计算机技术的兴起，解偏微分方程组等早期不能被很好解决或模拟的部分已逐渐被人们完成。同时，计算机技术的发展，尤其是MATLAB的出现，不但解决了很多较复杂的问题，也大大促进了传热学理论的发展。

本文就介绍目前在该领域的研究状况，以及存在的问题。

2、主题

2.1 什么是导热

两个相互接触的且温度不同的物体，或同一物体的各不同温度部分间，在不

I

发生相对宏观位移的情况下所进行的热量传递过程称为导热。求解导热问题的思路主要遵循“物理问题→数学描写→求解方程→温度分布→热量计算”，这一方法对分析方法和数值方法都适用，且后者结合MATLAB，则易于求解复杂的导热问题。

2.2 用MATLAB处理导热问题目前的研究现状

I.V .Singh结合MATLAB和其他数学工具无网格化求解了综合传热问题。作者采用了无网格Galerkin方法，基于拉格朗日综合法建立导热过程模型并确定基本边界条件，利用MATLAB快速地解出方程，得到数值解。研究发现，相对于如有限元法等一般分析方法，通过该软件能提高解题效率及解的精度。

Lamartine Nogueira Frutuoso Guimaraes等研究了一个U型管的蒸汽发生器的模型推导。U型管蒸汽产生器是压力水发生器的重要部件，作者分析了其内有效导热过程为一个二维导热过程，从而推导出所要的模型后，结合MATLAB软件求解了问题，完成了模型的建立、求解及验证，并通过该软件完成了更完善的模拟和仿真分析。

Fatemeh Esfandiari Nia等对空调系统中的除湿转轮的热力过程进行了建模和仿真。文章分析了除湿转轮上的除湿机综合传热及转轮绝热除湿过程。得到其模型后，通过MATLAB的SIMULINK工具箱得到所要的数值解，并对结果仿真和可视化分析。研究发现，这种研究方法是有用的，且其结果对HVAC系统的效率测定有很好的指导意义。

李萍等采用MATLAB中的PDE工具箱求解了一般的导热问题，给出了平壁点热源导热的算例。分析表明，使用MATLAB中的PDE工具箱可以不需编程，直接进人用户图形界面(GUI)操作，快捷灵活地对点热源导热模型进行求解。在GUI上还可以处理复杂几何形状的导热问题，这是MATLAB有别于其他软件的地方。同时因为有了网格的精化，使得模型中的有限元数值解的精度大大提高。

热合买提江·依明江等基于MATLAB对由用EXCEL得到的矩形薄片的热传导问题的计算数值进行了仿真研究。作者对薄片的二维导热问题进行了离散化研究，分别得到薄片边界和内部节点的差分方程，用MS.Excel求得节点温度，用MATLAB软件对计算结果仿真。研究表明，可视化处理不但求出了与实际想吻合的图形，还便于理解和深人研究及利用。

II

王平等明对芯层为秸杆的复合材料传热特性进行了研究。复合材料从外到内分别为聚丙烯纤维等组成的抗压外层，石灰/发泡剂等组成的保温层，秸杆层。经分析复合材料芯部传热方式只能为导热。实验测量得到数据后，由MATLAB对其处理和仿真，得到秸杆密度和湿度与整体导热系数的曲线，研究结果可以作为该产品生产的参考意见。

艾元方等研究了蜂窝蓄热体内温度分布。作者建立了蜂窝蓄热体传热数学模型，利用拉普拉斯变换法求解得到的传热偏微分方程组，由于求得的精确解较复杂，因此对其进行有限差分，编写MATLAB程序，利用其符号运算功能，运行后获得方程的半精确解。和有关文献的结果吻合，但借用MATLAB软件后，使得获取蜂窝蓄热体传热半精确 解的过程高效而经济。

Chao Chen等对一种用于墙体储能的新相变材料(PCM)进行了实验和模拟仿真。作者建立了有新新相变材料的墙体的一维非线性导热模型，利用MATLAB求解，该问题很快得到结果，并可以绘制节能效果图，研究发现，相变点设置在23度墙厚30毫米时，能节能17%或更高。

王金良研究了复合墙内外保温的传热过程。内外保温墙体材料从内到外分别依次为水泥、砖墙、空气层、聚苯乙烯泡沫板和石膏板和水泥砂浆、聚苯乙烯泡沫板、砖墙和抹灰。两种情况的传热分析在相同的总热阻和室内冷负荷环境下进行，得到温度场的表达式后，采用MATLAB仿真计算得到了各个交界面温度随时间的变化曲线，对比发现:外保温可以延长主墙使用寿命，不易出现表面结露和内部结露，不易产生冷热桥，内保温方式则相反，因此，外保温方式是值得推广和利用的复合墙节能保温方式。借助MATLAB工具，两种保温方式结果对比明显、直观。

李灿等利用MATLAB解决了三个难以用解析方法求解的算例。研究包括:一长方体钢锭的无内热源三维非稳态导热问题;一圆柱形核电站用燃烧棒的有内热源的非稳态导热问题;一正方形内嵌一菱形的有内热源的复杂边界热传导问题，利用MATLAB及其PED工具箱分别得到了三个算例的5h时刻温度分布图和温度梯度分布图、10h时刻温度分布云图、OAS时刻的等稳图和热流密度图。

罗静丽研究了土壤源热泵垂直埋管的温度场。作者建立了土壤源热泵(垂直

III

埋管)U型埋管的传热模型，得到导热微分方程，借助一个算例，利用MATLAB对其数值模拟，利用其强大的PED工具箱获得U型管周围的非稳态温度场，并对管的设计和铺就提供了参考意见。正是MATLAB的强大功能使复杂几何形状和复杂边界条件的非稳态导热问题得到迅速解决，而利用其图形可视化功能则使得计算结果形象、直观而且便于理解。

Joydeep Barman等研究了管壳式换热器内的最佳肋片高度。利用了MATLAB仿真工具箱来测定限制条件数值变化规律，研究不同形状(三角形和圆形)肋片换热变化方式和规律。发现肋片的最佳高度能使换热热流密度最大，且最佳肋片高度变化和换热器外径增大成线性关系。

阂剑青利用MATLAB对直肋导热进行了数值模拟。对一个等截面直肋算例，建立了其导热的一维和二维的数学模型，利用PDEtool工具箱，采用有限元法求解导热偏微分方程，求出两模型的数值解并模拟了肋片温度分布云图和温度梯度分布图，分析发现两种模型是等价的，但二维模型更符合实际，而且PDEtool工具箱解决二维PDE问题非常方便;文章最后根据绘制的温度图象对算例中肋片的参数设计提供了改进意见，使肋片的导热系数提高了近34%。结果表明运用MATLAB/PDE数值计算方法是方便而高效的，MATLAB是换热器工程结构设计和优化分析的有利工具。

牛天况等采用MATLAB软件对描述H型鳍片中传热过程的偏微分方程进行了求解，得出H型鳍片管在烟气中的传热过程是对流何导热的综合过程，导热在过程中有重要作用，可以采用鳍片效率何综合传热能力来评价H型鳍片管的传热特性;不同外形尺寸何厚度的鳍片对传热均有显著影响。必须将鳍片的导热过程的计算分析和对流换热的试验研究相结合，才能揭示H型鳍片管的传热规律，借助MATLAB强大的数值计算和图像功能，可以方便地得到结果。

叶长桑研究了MATLAB在肋片传热特性分析和最轻设计上的应用。主要内容是:分析肋片传热特性，建立数学模型，获得温度分布、散热量、肋效率等重要参数;利用MATLAB的微分方程求解器快速、方便、准确地模拟了肋片导热过程，直观地获得了数值解，借助MATLAB绘制了肋片厚度、高度、形状对散热量影响的规律曲线;对肋片结构优化设计提供了思路，即对薄肋采用矩形肋片优于三角形肋片，而对于厚肋则采用三角形肋片的散热量高于矩形肋片。

IV

2.3 目前存在的问题

几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助MATLAB，大多数的模型的数值解的精确度均能满足要求。但是，存在的问题也不少。首先，数值解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，并且精确度高于数值解。这是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求，数值解法只是一个权宜之计。其次，MATLAB虽然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各种工具箱，要完全学会和很好的使用MATLAB不是一件容易的事情，在编辑和阅读程序时通常要借助工具书查询相关命令，这样就增加了使用难度，使得MATLAB不能广泛的普及。再者，要合理的使用MATLAB来解决数学问题，必需是建立在良好的数学基础之上的，这就势必要求MATLAB的使用者有扎实的数学功底，这又给MATLAB的普及带来了挑战。最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不一都能很顺利的建立，这就给使用MATLAB解决导热问题增加了难度。

3. 小结

MATLAB在数值计算中的应用十分广泛，处理问题也是十分有效。其作为数学软件有其强大的图形用户界面操作、数据和函数的可视化和数值计算功能，且自带很多现有的函数和工具包，这使纷繁复杂的工程问题能一一化解。MATLAB在工程计算和数据处理中具备如下优点：

(1)较其它高级程序设计语言，MATLAB程序语言的规则更为接近数学表示。. (2)语句简洁明了，表意却出乎意料的丰富。出现了“一句顶几百句其它语言”的生动场面，这一点是C、Fortran等程序设计语言所无法比拟的。 (3)在有大量数据的处理过程当中，避免 变量、矩阵的事先定义，MATLAB会自动获取所需的存储空间。

(4)提供了良好的用户界面，许多函数本身会自动绘制出图形，而且会自动选取坐标刻度 可以使用户大大节约设计时间，提高设计质量。此外，本文由于讨论问题所限，还未涉及到其它易于扩展的功能。这一功能可以方便地构造出专用函数，从而大大地扩展MATLAB的应用范围。

V

综上所述 MATLAB工具软件在数据的处理和结果成图方面都是极具潜力的。不光在导热问题中，通过MATLAB，几乎所有的工程问题都能迎刃而解。

参考文献：

[1]I. V. Singh. A numerical solution of composite heat transfer problems using meshless method .International Journal of Heat and Mass Transfer, 2004,47, 47 (10-11) :2123-2138 .

[2]Joydeep Barmana,and A.KGhoshal. Performance analysis of finned tube and unbaffled shell-and-tube heat ex changers[J] .International Joural of Thermal Sciences, 2007,46, 46 (12) :1311-1317 .

[3]Lamartine Nogueira Frutuoso Guimares,Nilton da Silva Oliveira,Jr.,and Eduardo Madeira Borges. Derivation of a nine variable model of a U-tube steam generator coupled with a three-element controller[J] .Applied Mathe-matical Modelling, 2007,22, 22 (2) :191-202 .

[4]Fatemeh Esfandiari Nia,Dolf van Paassen ,and Mohamad Hassan Saidi. Modeling and simulation of desiccant wheel for air conditioningJ] .Energy and Buildings, 2006,38, 38 (10) :1230-1239 .

[5]Chao Chena,Haifeng Guo,Yuning Liu,Hailin Yue, and Chendong Wang. A new kind of phase change material(PCM)for energy-storing wallboard[J] .Energy and Build-ings. 2007, .

[6]李萍,张薇. MATLAB在求解温度场中的应用.工业炉, 2005,(03) . [7]艾元方,孙英文,黄国栋,张灿. 用拉普拉斯变换法求解蜂窝蓄热体气固温度分布.工业加热, 2006,(02) .

[8]牛天况,王振滨. H型鳍片管传热过程的研究.锅炉技术, 2007,(04) . [9]王金良. 复合外墙内外保温的传热分析与应用探讨.能源技术, 2004,(06) . [10]叶长燊. 基于MATLAB的肋片传热特性分析与优化设计.化工设计, 2005,(06) .

[11]热合买提江·依明江,买买提明·艾尼. 基于EXCEL和MATLAB的矩形薄

VI

片热传导计算与仿真研究.佳木斯大学学报(自然科学版), 2007,(04) .

[12]罗静丽. 土壤源热泵垂直埋管温度场的数值模拟.制冷与空调(四川), 2007,(02) .

[13]王平,张双喜,生晓燕,张剑平,余才锐. 芯层为秸杆的复合材料热工性能研究.新型建筑材料, 2007,(07) .

VII

摘要:MATLAB在工程中应用很广，尤其是在计算复杂的算式中，显得尤为重要。例如，在研究传热学里关于热流量的计算时，对于复杂几何形状的物体和非线性边界条件下的导热问题，应用分析法是不可能的。在这种情况下，建立有限差分法，有限元和边界法基础上的数值 计算法是求解问题的十分有效而准确性很高的方法。现在，许多复杂的导热问题都可以用MATLAB来处理，得到满意的数值解。

另一方面，MATLAB软件在传热学研究中已经得到了广泛的应用，同时促进了传热学自身的发展。本人认为，MATLAB在传热学中的应用与深化对于传热学的发展有着深远的意义。

关键词:MATLAB 传热学 导热

Abstract :MATLAB is widely used in engineering, especially in the calculation of complex formula, appear particularly important. For example, in the study of the theory about the chain, for complex geometric objects and nonlinear boundary conditions, the application of thermal analysis is impossible. In such circumstances, establish finite difference method, the finite element method based on the border of numerical calculation method is very effective and solve the problem of high accuracy. Now, many complex thermal problems can use MATLAB ? to handle, numerical solution satisfactory.

On the other hand, in the heat of MATLAB software research has been widely applied, and promote the development of heat transfer. I think, in the application of heat transfer on MATLAB for the development of deepening the heat is of profound significance.

Key words: MATLAB heat transfer theory heat conducting

目 录

1．MATLAB简介 ........................................................................................................ 1 2．MATLAB在简单的一维稳态导热问题中的应用 ................................................ 2 3．MATLAB在稳态与动态导热过程分析中的应用 ................................................ 6

3.1 MATLAB在稳态导热分析中的应用 ............................................................. 6 3.2 MATLAB在动态传热分析中的应用 ............................................................. 9 4．小结........................................................................................................................ 14 参考文献...................................................................................................................... 15

1．MATLAB简介

MATLAB (MATrix LABoratory)具有用法简易、可灵活运用、程式结构强又兼具延展性。

以下为其几个特色：

?

功能强的数值运算 - 在MATLAB环境中，有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函数可使用，函数的标示自然，使得问 题和解答像数学式子一般简单明了，让使用者可全力发挥在解题方面，而非浪费在电脑操作上。

?

先进的资料视觉化功能 - MATLAB的物件导向图形架构让使用者可执行视觉数据分，并制作高品质的图形，完成科学性或工程 性图文并茂的文章。

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高阶但简单的程式环境 - 做为一种直译式的程式语言，MATLAB容许使用者在短时间内写完程式，所花的时间约为用 FORTRAN 或 C 的几分之一，而且不需要编译(compile)及联结 (link) 即能执行，同时包含了更多及更容易使用的内建 功能。

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开放及可延伸的架构 - MATLAB容许使用者接触它大多数的数学原使码，检视运算法，更改现存函数，甚至加入自己的函数使 MATLAB成为使用者所须要的环境。

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丰富的程式工具箱 - MATLAB的程式工具箱融合了套装前软体的优点，与一个灵活的开放但容易操作之环境，这些工具箱提 供了使用者在特别应用领域所需之许多函数。现有工具箱有：符号运算（利用Maple V的计算核心执行 ）、影像处理、统计分析、讯号处理、神经网路、模拟分析、控制系统、即时控制、系统确认、强建控制、弧线分析、最佳化、模糊逻辑、mu分析及合成、化学计量分析。

MATLAB有几种在不同电脑作业系统的版本，例如在视窗3.1上的MATLAB for Windows, SIMULINK，在麦金塔上的MATLAB for Macintch，另外还有在Unix上的各种工作站版本。基本上这些版本主要是提供方便的操作环境，采用图形介面。以下针对前述的几种在PC上的MATLAB 版本做简要说明：

?

MATLAB for Windows，此版本须要在PC电脑的中英文视窗3.1下执行。与旧的DOS版本不同的是对图形显示有大幅改 善，使得软体更合适做信号处理及影像处理的分析。此外一些重要的设定指令也改为由视窗中选择。目 前308

1

是安装的是4.0版，不过较新的版本为4.2，而最新版的5.0也刚刚上市。4.0和4.2的差异不是很大， 而5.0未用过所以其功能如合并不清楚。有兴趣了解者请到MathWorks网站一探究竟。

?

SIMULINK，此软体必须在中英文视窗3.1下执行，是给控制领域的使用者做分析线性/非线性、离散系统 。此外也提供很方便的示波器输出，做为讯号的监控。

?

Student Edition of MATLAB，除了上述各类的MATLAB专业版本，在1995年Mathworks公司又推出学生专 用的Student Edtion of MATLAB，这个版本为4.2，而它的功能与专业版几乎相同，但是多了一些限制。其限制简述如下： (1)每个向量能能使用的元素个数上限为8192 (2)每个矩阵的元素总数上限也为8192，此外不论行或列向量的个数上限为32 (3)程式不能和C或是Fortran的副程式作动态连结。但是它附了二个工具箱：符号运算和讯号处理。

2．MATLAB在简单的一维稳态导热问题中的应用

常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具，可以帮助求解微分方程。函数dsovle计算常微分方程的符号解。因为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式中。所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。由此，常微分方程y???2y??y在MATLAB中应写为D2y+2Dy=y。方程

dydx22=0用符号表达式D2y=0来表示。独立变量可以指定或由symvar规则选定为

缺省。

dsolve(‘diff_eqution’,’condition1’,’condition2’,’condition3’,?.,’var’)

算例: 通过平壁的导热： 微分方程：

dtdx22?0

2

边界条件：x?0:t?t1;x??:t?t2 对微分方程积分两次可得：dtdx?c1t?c1x?c2

由边界条件可得：c1?t2?t1?;c2?t1 这样平壁的温度分布为：t?t2?t1?x?t1

热流量：??qA??A?A??t???t1?t2?

算例：

一锅炉炉墙采用密度为300kg/m3的水泥珍珠岩制作，壁厚δ=100mm，已知内壁温度t1=500℃,外壁温度t2=50℃,求炉墙单位面积、单位时间的热损失。 解：材料的平均温度为t?500?502?275℃

查表得{λ}w/(m·K)=0.0651+0.000105{t}℃

于是??0.0651?0.000105?275?0.0940W/(m·K)

q????t1?t09402??0.0.1?500?50??423W/㎡

程序:

>> y=dsolve('D2y=0','y(0)=500','y(0.1)=50') y =

-4500*t+500 绘图: >>

y

=-4500*t+500;t=linspace(0,0.1,50);plot(t,y)

内热源问题：

3

考虑一具有均匀内热源Φ的大平壁，厚度为2δ，平壁的两侧均为第三类边界条件，周围流体的温度为tf，表面传热系数为h。由于对称性，这里考虑平壁的一半。问题的数学描述如下。 微分方程：

dt

2dx2?????0

考虑边界条件时，x=0处可认为是对称条件，这样两个边界条件为：

x?0,dtdx?0;x??,??dtdx?h(t?tf)

对微分方程积分得：

dt

dx?????x?c1

将x=0的边界条件代入上式可得c1?0。再将c1?0代入上式，并再次积分得:

t????2?x?c2

2最后将x=δ的边界条件代入上式可求出c2,得出具有均匀内热源的平壁内温度分布为：

t???2???2?x2?????h?tf

由傅里叶定律得任一位置处的热流密度为：

?xq??

由结果可知，具有均匀内热源的平壁温度分布为抛物线，而不是线性的。同时，热流密度不再是常数，而是与x成正比。

上面我们分析的是第三类边界条件下的结果，当h??时，tf?tw，这时第三类边界条件变为第一类边界条件。令h??时，tf?tw可得到第一类边界条件时的温度分布为：

4

?c?t??????t????t?????????????x??x??y??y??z??t????????z? （5）

对于一维动态导热，其解析解为无穷级数，十分不利于应用。如厚度为20cm钢板温度为20℃，平壁导热系数为34.8W/m·℃,现将其置于1000℃的炉中加热，对流传热系数h=174W/㎡·℃,导温系数为a=0.555×10-5㎡/s；试分析温度分布随时间的变化及钢板表面温度达到500℃时所需的时间和传热量。其导热微分方程为：

?t??初始条件为：

?a?t?x22 （6）

t(x,0)=20 (7)

边界条件为：

?t?0,??x??0（平壁中心坐标为0，绝热）

?t(0.1,?)?xh[t(0.1,?)?t?]??? （8）

以上抛物型微分方程的解析解为一无穷级数，根据传热过程温度分布的变化情况分为正规阶段和非正规阶段。在正规阶段可以用无穷级数的第一项作为近似解，但其计算涉及到求解隐式的超越方程，过程十分繁琐；故工程上利用哈斯勒图进行计算，但结果误差很大；而对非正规阶段，则必须依次计算无穷级数中的各项直至达到精度为止，计算量大。若采用MATLAB求解该问题则十分快捷方便。根据抛物型微分方程的标准式：

c?u?t?1xm??x?xm,f?s? （9）

式中u=u(t,x)与t=t(τ,x)对应，m为形状因子，m=0,1,2分别为对应无限大平板、柱形和球形；建立偏微分方程函数pdefun.m及初始条件与边界条件函数icbun.m与bcfun.m function[c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) c=1/0.555e-5;f=dudx;s=0; function u0=icbun(x)

10

u0=20;

function[pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t)

pl=0,ql=1;pr=174*(ur-1000);qr=34.8;

而后对空间和时间划分网格，应用pdepe命令求解该偏微分方程，其解结果存放在sol中，命令如下： x=linspace(0,0.1,20); t=[0:60:2160];

sol=pdepe(0,@pdefun,@icfun,@bcfun,x,t);

mesh(x,t,sol)

对一个偏微分方程sol为m×n×l矩阵，其中第一维与时间网格对应，第二维与空间网格对应；用mesh(x,t,sol)命令可以绘出空间、时间与偏微分方程解（对本问题来讲就是不同时刻不同位置的温度）的关系如图4所示。而用plot(x,sol(m,:,l))可以画出在60m-60(60为时间网格步长)时刻导热物体的温度分布，如图5所示。

以上时间网格设置为t=[0:60:2160],所以在图4中x方向的各条线与不同的时刻0、60s、120s、??2100s、2160s共37个时刻对应；从图中可知当传热时间达到500℃；而60s-60时刻x0处的温度可用

[uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(m+l,:,:),x0)命令求解，其中uout为温度，duoutdx为对应的温度梯度；如加热时间达到

2160s时，执行命令[uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(37,:,:),0)可得钢板中心温度为371.2850℃。而从图5可知钢板加热时间小于240s时，其温度分布曲线随时间而变化，故该阶段传热的非正规阶段；当加热时间大于240s后，温度分布形状不再变化，进入了正规阶段。将钢板的表面温度加热到500℃整个传热过程为动态的，但是钢板

11

得到的热量均是通过表面传递到内部，所以只要将每一时间网格内的表面传热量相加即可得到总传热量，而每一时间网格内的传热量只要时间间隔足够短就可用下式计算：

Q?hA[sol(m,n,l)?t?]?t （10）

其中，m为时间网格数，n应为钢板表面处的网格节点，由于空间网格划分为x=linspace(0,0.1,20)共有21个节点，节点n=21即代表钢板表面；由以下程序即可求得总传热量Q=-2.4797×108J。 q=0;

for m=1:36 6为时间网格数（不含零时刻） q=q+174*((sol(m,21,1)+sol(m+1,21,1))/2-1000)*60; end

对于二维动态导热，同样可用PEDTOOL工具箱求解。如有一砖砌变长为1m烟气通道，其中心有一直径为0.5m的管道。已知烟气通道原温度为25℃，零时刻开始内外壁温分别维持在80℃、25℃，砖的导热系数为1.5W/m·℃，导温系数为0.00001W/m·℃,试确定:

(1) 该通道的温度分布随时间的变化;

(2) 传热稳定后距离任意相邻两直角边各0.1m处的温度； （3）传热稳定后每米长烟道上的散热量。

本问题为二维动态导热过程，其微分方程为：

2??2t?t?a??22????x?y??t?? （11） ??通过solve菜单parameters选项可对时间网格及初始条件进行设置，时间网格设置为0：100：8000即从零时刻开始计算到8000s，时间间隔为100s；初始温度设置为25℃。将PDETOOL计算的网格数据p,e,t和因变量即温度结果（保存于u矩阵中）导出，其中u为n×m矩阵,其中第一维与网格节点对应,第二维与时间网格对应;由命令pdemesh(p,e,t,u(:m))即可绘制出100m-100s时刻的温度分布图，如图6所示。其中x、y为烟道界面的坐标，t为温度；图6中分别是t=0s、100s、300s、600s、1000s、2000s、5000s、8000s时刻的温度分布图，从图中可看出温度分布的变化情况，可见在5000s之后温度分布已不再随时间变化。若将8000s的温度分布视为稳定的温度分

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布，则2000s时的温度分布与之相对误差为2.44%，而5000s后的温度分布完全可以认为进入稳定传热阶段。

那么要求其中任一点的温度，则必须将三角形网格转化为直角坐标网格，由于烟道为边长1m的方形管道，在利用PDETOOL求解时是以坐标零点为中心，所以其求解域为x,y∈[-0.5,0.5];因此利用以下程序及网格转化命令tri2grid将三角形网格p,t上解u转化为直角网格x,y上的解uxy;

x=[-0.5:0.05:0.5]; y=[-0.5:0.05:0.5];

uxy=tri2grid(p,t,u(:,81),x,y);

而后利用二维插值函数interp2求出对应位置的温度，距离任意相邻两直角边各0.1m处直角坐标为（0.4，0.4），所以插值命令为interp2(x,y,uxy,0.4,0.4),得到温度为29.9℃。传热稳定后的散热量若根据内外两面的温度差来计算，由于其传热面和热传递路径复杂无法直接计算，传热学中其计算采用形状因子法，针对不同形状的导热物体其形状因子也不相同，在应用中具有一定的局限性；而利用MATLAB数值模拟则克根据温度分布直接求得传热量，因为传递的热量必然通过外表面，其传热量只需将表面处各节点

的一阶倒数与节点间的传热面积、导热系数相乘即可得到传热量。

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Q???A?t?n （12）

根据本题由于烟道外表面的四面对称，计算其中一面再乘以4倍即为总传热量；命令如下：

dudx=(uxy(2,:)-uxy(1,:))/(x(2)-x(1)) q=1.5*0.05*sum(dudx)*4

根据表面处温度分布求得的差商近似代替表面处的每一网格内的温度梯度dudx，而每个网格的长度为0.05，所以每米烟道上每一网格的传热面积均为0.05㎡，由此计算出传热量为675W/m，而根据传热学形状因子计算方法得每米烟道散热量为672.8W/m。

4．小结

传热学是一门基于理论计算和实验的传统学科，以往对传热学的研究中，实验是一种最常用也最重要的手段。但是，由于传热学学科的自身参数多、传热情况复杂的特点，实验的设计和进行存在许多困难。相似原理的提出，虽对实验研究的简化起到了决定性的作用，但计算公式和修正系数的确定，任需要进行大量实验及烦琐的计算。MATLAB等计算软件的广泛应用为计算传热学的发展和传热学的研究提供了十分便利的条件。与以往的研究模式相比，实践证明，使用MATLAB能方便高效地对已建立的模型及复杂的方程组进行数值计算和模拟仿真，同时其强大的图形句柄功能为使结果可视化、直观化和形象化提供了方便。也可以对模拟结果用于实验进行验证，这就大大缩短了研究时间，减少了实验次数，这也为提高研究的经济性提供了有效的途径。

另一方面，MATLAB软件在传热学研究中已经得到了广泛的应用，同时促进了本学科的发展。随着MATLAB自身的不断发展和完善下，笔者认为，其在传热学的理论研究和工程

应用方面都将发挥更大的作用。

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参考文献

[1]许国良，王晓墨，邬田华，陈维汉. 工程传热学. 北京：中国电力出版社，2005.8 [2]（德）夸特罗尼，（德）色拉瑞著；李敏波译.MATLAB科学计算. 北京：清华大学出版社，2005.1.书名原文：Scientific Computing with MATLAB(国外计算机科学经典教材)

[3]魏巍. MATLAB应用数学工具箱技术手册. 北京：国防工业出版社，2004.1.

[4]祝用华，赵慧，浦健，张奕. 综述应用MATLAB软件求解导热和对流问题.企业技术开发，2008.2：63～67.

[5]叶长桑.MATLAB在稳态与动态导热过程分析中的和应用.计算机与应用化学，2006.10.28：986～990.

[6]许波，刘征.MATLAB工程数学应用. 北京：清华大学出版社，2000.

[7]李灿，高彦栋，黄素逸.导热问题的MATLAB数值计算.华中科技大学学报（自然科学版），2002.9.

[8]姚东，王爱民，冯峰，王朝阳.MATLAB命令大全.人民邮电出版社.北京：2000.6. [9]陶文铨.数值传热学（第2版）.西安：西安交通大学出版社，2001. 15

参考文献

[1]许国良，王晓墨，邬田华，陈维汉. 工程传热学. 北京：中国电力出版社，2005.8 [2]（德）夸特罗尼，（德）色拉瑞著；李敏波译.MATLAB科学计算. 北京：清华大学出版社，2005.1.书名原文：Scientific Computing with MATLAB(国外计算机科学经典教材)

[3]魏巍. MATLAB应用数学工具箱技术手册. 北京：国防工业出版社，2004.1.

[4]祝用华，赵慧，浦健，张奕. 综述应用MATLAB软件求解导热和对流问题.企业技术开发，2008.2：63～67.

[5]叶长桑.MATLAB在稳态与动态导热过程分析中的和应用.计算机与应用化学，2006.10.28：986～990.

[6]许波，刘征.MATLAB工程数学应用. 北京：清华大学出版社，2000.

[7]李灿，高彦栋，黄素逸.导热问题的MATLAB数值计算.华中科技大学学报（自然科学版），2002.9.

[8]姚东，王爱民，冯峰，王朝阳.MATLAB命令大全.人民邮电出版社.北京：2000.6. [9]陶文铨.数值传热学（第2版）.西安：西安交通大学出版社，2001. 15

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