深圳外国语学校2019届高三理科第11周周练习题

深圳外国语学校2019届高三理科数学·第11周周练习题

（2019.11.13.）

一、选择题 1．（2007山东文、理）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

2．两条相交直线的平行投影是（ D ）

A、两条相交直线 B、一条折线C、一条直线 D、一条直线或两条相交直线

3．如图所示是水平放置三角形的直观图，D是三角形ABC的BC边的中点，AB、BC分别与y'轴、x'轴平行，则三条线段AB、AD、AC中（ B ） A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AC，最短的是AD

4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图 都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（ D ）

B D C

y'A x'

3π 3B．2π

A．C．3π D．4π

正（主）视图左（侧）视图俯视图

5．若点M在直线a上，a在平面?内，则M，a，?间的上述关系的集合表示是（ ） A．M∈a，a∈? B．M∈a，a?? C．M??，a?? D．M??，a∈?

6．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1中点，设平面DPQ∩平

面A1C1 = l，则下列不正确的判断是（ ）

D C A．l过B1

A B．l不一定过B1 B Q

C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点在l上 P C1 D1 D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上

A1

B1

7．下列推理不正确的是（ ）

A．点A?直线a，A?平面?，点B?直线a，B?平面??直线a?平面?

B．点M?平面?，M?平面?，点N??，N??????直线MN

C．点A、B、C?平面?，A、B、C?平面?，且A、B、C不共线??与?重合 D．直线l不在平面?内，点A?l?A?? 8．已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，则f′(1)＝（ A ） A．－99！

B．－100！

C．－98！

D．0

二、填空题

9．一物体的三视图的俯视图是两个同心圆，对下列命题：①该物体可能是球；②该物体可能是一个空心圆柱；③该物体可能是圆台；④该物体可能是圆柱和球的组合物．其中正确命题的序号是 ．

10．一个平面可将空间分成2个部分．两个平面最多可将空间分成 部分，三个

平面最多可将空间分成 部分．

11．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线B1D共面的棱共有 条． 12．已知函数f?x?满足对任意的x?R都有f??1??x???2??1?f??x??2成立，则?2??1?f????8??2?f????8??7??f??＝ 7 ．

?8??113．已知函数y?f(x)与y?f于

直

x(x)互为反函数，又y?f若

?1(x?1)与y?g(x)的图象关

?1线

y?x对称，

f(x)?log1(x2?2)(x?0)，则f2(x)?__

?1? _; g(6)?____?4___ ． ???2(x??1)，2??14．已知函数f(x)是定义在区间（－1，1）上的奇函数，且对于x∈(－1，1)恒有f’(x)<0成

?a??立，若f(－2a2＋2)＋f(a2＋2a＋1)<0，则实数a的取值范围是 {a|?12 } ． 2三、解答题

15．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．

D1 (1)求证：E、C、D1、F四点共面； C1

(2)CE、DA、D1F三线共点．

A1 证明：(1)连结EF、A1B、D1C， B1

易证EF??A1B，CD1??A1B， ∴EF??CD1， 从而E、C、D1、F四点共面． F D C (2)在四边形ECD1F中，∵EF?CD1，

∴直线CE和D1F必相交，设交点为G，

A B 则G?CE, 而CE?平面AC, ∴G?平面AC． E

同理可证，G?平面AD1， 而平面AC?平面AD1=AD， G ∴G?AD，即CE、DA、D1F三线共点． 注：本题(2)为证三线共点，其一般方法是：先证两条直线交于一点，再证该点在第三条直线上．

16、.已知函数f（ｘ）＝

1?ln?x?1?

x(1)求函数的定义域;

(2)确定函数f（ｘ）在定义域上的单调性,并证明你的结论；

k恒成立, 求正整数k的最大值。 x?1解：(1)函数的定义域为(?1,0)?(0,??).

1x?＝－1?1? (2) f??x?＝2??????1?lnx?1?lnx?1??x?x2??x?1??x?1?(3)若当ｘ>０时，f（ｘ）＞ ∵ｘ＞０，∴ｘ＞０，

1＞０．lｎ（ｘ＋１）＞０。∴f??x?＜０。

x?1因此函数f（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数．

２

当-1g(0)=1>0,故此时f??x?＝－函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数.

综上可知函数f(x)在 (-1,0)和(0,??)上都是减函数

（3） 当ｘ>０时，f（ｘ）＞

k恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２?1?ln2? x?1k（ｘ＞０）恒成立． x?1又k为正整数．∴k的最大值不大于３． ……..10分 下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞

即证当ｘ>０时，?x?1?ln?x?1?＋１－２ｘ＞０恒成立． 令ｇ（ｘ）＝?x?1?ln?x?1?＋１－２ｘ，则g??x?＝ln?x?1?－１， 当ｘ>ｅ－１时，g??x?＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，g??x?＜０． ∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０． ∴当ｘ>０时，?x?1?ln?x?1?＋１－２ｘ＞０恒成立．

因此正整数k的最大值为３．

17．已知函数f(x)?lnx?x?1x.

（1）判定函数f(x)的单调性； （2）设a?1，证明：

lna1?. a?1a解：（1）x?0，f'(x)?111111?(x)'?()'?????(x?1)2?0 xx2x2xxx2xx

∴f(x)在x?0时单调递减．

（2）由（1）知：f(a)?f(1)，即：lna?a?1a?ln1?1?11，

即：lna?a?1a?0，∴lna?a?1a，

而a?1，∴

lna1?． a?1a

18．设函数f(x)定义域为R，对于任意实数x,y,总有f(x?y)?f(x)?f(y)，且当x?0时，0?f(x)?1 （1）求f(0)的值；

（2）证明：当x?0时，f(x)?1；

（3）证明：f(x)在R上单调递减，并举两个满足上述条件的函数f(x)； （4）若M??y|f(y)f(1?a)?f(1)?,N?y|f(ax?x?1?y)?1,x?R,且

2??M?N??试求a的取值范围.

解：（1）令x?1， y?0，有f(0)?1．

（2）令y??x?0，则1?f(x?x)?f(x)?f(x)，∴f(x)?

1， f(?x)

∵0?f(?x)?1，∴f(x)?1．

（3）设x1?x2，则x2?x1?0，于是0?f(x2?x1)?1，

∴f(x2)?f(x1)?f[(x2?x1)?x1]?f(x1)

?f(x2?x1)?f(x1)?f(x1)

?f(x1)[f(x2?x1)?1]?0

∴f(x2)?f(x1)，即f(x)单调递减， 例：f(x)?()，f(x)?()等．

212x23x （4）∵M?{y|y?a}，N?{y|y?ax?x?1,x?R}

显然当a?0时，M?N??，

当a?0时，N?{y|y?a(x?121)?1?}， 2a4a要使M?N??，必须1?∴a?0即可．

1?a 即4a2?4a?1?0，∴(2a?1)2?0， 4a

(x?1)4?(x?1)419、已知函数f(x)?（x?0）。

(x?1)4?(x?1)4（Ⅰ）若f(x)?x且x?R，则称x为f(x)的实不动点，求f(x)的实不动点；

（II）在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式。

x4?6x2?1解：（Ⅰ）由f(x)?及f(x)?x得 34x?4x42x?6x?114222或（舍去）， ?x?3x?2x?1?0?x?1x??34x?4x3所以x?1或?1，即f(x)的实不动点为x?1或x??1；

(an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?（II）由条件得an?1??????，从而有

(an?1)4?(an?1)4an?1?1(an?1)4?an?1?a?1a?1， lnn?1?4lnnan?1?1an?1由此及ln4?a?1?a1?1?ln3?0知：数列?lnn?是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有

a?1a1?1n??an?1an?14n?134?1n?1ln?4ln3??3?an?4n?1（n?N?）。 an?1an?13?1

20、已知函数f?x??14x?2n?1?x?R?，点P1?x1,y1?，P2?x2,y2?是函数f?x?图像上的两个点，

1． 2且线段P1P2的中点P的横坐标为⑴求证：点P的纵坐标是定值；

?n?⑵若数列?an?的通项公式为an?f???m??m?N,n?1,2,?,m?，求数列?an?的前

m项的和

Sm；

⑶若m?Namam?1?时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． SmSm?11?1，所以， 212解：⑴由题可知：x1?x2?2?114x?4x?4y1?y2?f?x1??f?x2??x??4?24x?24x?24x?212?1??24x?4x?44x?4x?41?x?x??xxxx4?24?4?424?4?42121212?

?12??12?

点P的纵坐标yP?y1?y21?是定值，问题得证． 24⑵由⑴可知：对任意自然数m,n，f?

由于Sm?f??n???m???m?n?1f???恒成立．

m??2?1??2??m?2??m?1??m???f?????f???f???f??，故可考虑利用倒写求和的方?m??m??m??m??m?

?1??2??m?2??m?1??m?Sm?f???f?????f???f???f???m??m??m??m??m?法．即由于：

mm?1m?221???????????f???f???f?????f???f???m??m??m??m??m???1???m?1??m?1????2??m?2???1???m?2Sm??f???f?????f???f???????f???f????2f???m????m??m???m???m? ??m???m?所以，

11??m?1??2f(1)??3m?1?26所

以，Sm?⑵∵Sm?

1?3m?1? 121?3m?1?， ∴Sm?1?1?3m?2? 1212amam?1a??1∴等价于12am?????0 ① SmSm?1?3m?13m?2?m依题意，①式应对任意m?N恒成立．

显然a?0，因为a恒成立．即：a?记g?m???0（m?N），所以，需且只需

1a??0对任意m?N3m?13m?23m?2对m?N恒成立． 3m?13m?23m?53m?2?9（m?N）．∵ g?m?1??g?m?????0， 3m?13m?23m?1?3m?2??3m?1?55∴g?m?（m?N）的最大值为g?1??，∴ a?．

22

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