微分中值定理习题课

第三 微分中值定理习题课

教学目的 通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．

教学重点 对知识的归纳总结． 教学难点 典型题的剖析． 教学过程

一、知识要点回顾

1．费马引理．

2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．

3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB．

4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立． 如，函数

2xf?x??,0?x?1,0 , x?1 ??

在?0,1?上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数

21?x,?1?x?1,f?x??1, x?1 ?

在??1,1?上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．

5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．

x6．常用函数e、sinx、cosx、ln(1?x)、(1?x)的麦克劳林公式．

?7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．

0?0?08．0、?、0??、???、0、1、?型未定式．

9．洛必达法则．

0?0?010．0??、0、1、?型未定式向0或?型未定式的转化．

二、练习

1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？

由于f?x?、F?x?在?a,b?上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点???a,b?，使得

f?b??f?a??f'????b?a?,

?1?

F?b??F?a??F?????b?a?.

?2?

又对任一

x??a,b?,F?(x)?0，所以上述两式相除即得

f?b??f?a?f?????F?b??F?a?F????.

答 上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数f?x?和F?x?，拉格朗日中值定理公式中的?未必相同．也就是说在?a,b?内不一定存在同一个?，使得?1?式和?2?式同时成立．

例如，对于f?x??x，在?0,1?上使拉格朗日中值定理成立的

2??

1

32；对F?x??x，

在?0,1?上使拉格朗日中值定理成立的

??33，两者不等．

2????y?fx0,1??????f0?f1?0,Fx?xf?x?.2. 设函数在区间上存在二阶导数，且

试证明在?0,1?内至少存在一点?，使F?????0．还至少存在一点?,使F??(?)?0

分析 单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，

F?0??F?1??0，且F?x?在?0,1?上满足罗尔定理的前两个条件，故在?0,1?内至少存在一

点?，使F?????0．至于后一问，首先得求出F??x?，然后再考虑问题．

F??x??2xf?x??x2f??x?，且F??0??0．这样根据题设，我们只要在?0,??上对函数

F??x?再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．

证 由于y?f(x)在?0,1?上存在二阶导数，且F?0??F?1?，F?x?在?0,1?上满足罗尔定理的条件，故在?0,1?内至少存在一点?，使F由于

2?????Fx?2xfx?xf??x?，

?????0．

??且F?0??0，F?x?在?0,??上满足罗尔定理的条件，故在 ?0,??内至少存在一点?，使

F??????0．由于?0,????0,1?，所以???0,1?．

an1n?1a1?a2?????1??0a,a,?,a32n?112n3.设为满足方程的实数，试证明方程

a1cosx?a2cos3x???ancos?2n?1?x?0????0,?在?2?内至少有一个实根．

分析 证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数

f?x??a1cosx?a2cos3x?...?ancos?2n?1?x，

???????????0,f0?f?0f?????0?2?2???上连续，且需要满足在?．但?2?，因此这种方法并不能直接

应用．换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设

F??x??a1cosx?a2cos3x???ancos?2n?1?x，

并将F??x?的原函数F?x?求出来，然后对原函数F?x?应用罗尔定理．

在这个问题中F??x?的原函数求起来很容易，

F?x??a1sinx?ana2sin3x???sin?2n?1?x3?2n?1?．

???

0,??

求出F?x?后，根据题设条件，对F?x?在?2?上应用罗尔定理即可得到所要的结论．

证 引入辅助函数

F?x??a1sinx?ana2sin3x???sin?2n?1?x3?2n?1?．

因为F?x???????0,?0,??2??上连续，在?2?内可导，F?0??0，在?an1n?1??????F???a1?a2?????1??0?0,?232n?1??，所以由罗尔定理知，在?2?内至少存在一

点?，使得F?????0，即

a1cos??a2cos3????ancos?2n?1???0.

???0,?a1cosx?a2cos3x???ancos?2n?1?x?0?于是方程在?2?内至少有一个实根．

4. 设函数f?x?在??2,2?上可导，且f??2??0,f?0??2,f?2??0．试证明曲线弧C：

y?f?x? ??2?x?2?上至少有一点处的切线平行于直线x?2y?1?0．

1分析 由于直线x?2y?1?0的斜率为2，所以上述命题的本质是要证明在??2,2?内

存在一点?，使得

f?????12．

?x?1?x?????fx??fx?????Fx?fx??2?2，因此若设?2，则要证上述命题，只须证由于?明在??2,2?内存在一点?，使得F?????0即可．这是一个用罗尔定理解决的问题．

F?x?在??2,2?上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到

F?x?所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意F(x)在??2,2?上连续，而F??2??1,F?0??2,F?2???1，且1介于-1和2之间．因此由介值定理知，在?0,2?内必

存在一点?，使得F????1．这样在??2,??上对F?x?应用罗尔定理即可证得所要的结果．

证 引入辅助函数

F?x??f?x??x2．F?x?在[0,2]上连续,且F(0)?2,F(2)?1.由

介值定理知,在?0,2?内比存在一点?，使得F????1．又F??2??1，且F?x?在??2,??上

,)内必存在一点?，使得F?????0，即满足罗尔定理的前两个条件,故在(?2?f?????12．由于????2,??，所以????2,2?．

5. 设f?x?在?a,b?上可导，f?a??f?b?，试证明在?a,b?内必存在一点?,使得

f?a??f?????f????．

象上述这种含有中值?的等式,一般应考虑用微分中值定理去证明． 方法一 用罗尔定理证

分析 要用罗尔定理证明一个含有中值?的等式，第一步要将等式通过移项的方法化为右端仅为零的等式，即

f?????f?????f?a??0．

第二步将等式左端中的?都换为x，并设

F??x??f?x??xf??x??f?a?．

第三步是要去确定F??x?的原函数F?x?，并在相应的区间?a,b?上对F?x?应用罗尔定理即可．

本问题中F??x?的原函数为

F?x??xf?x??f?a?x．

证 引入辅助函数

F?x??xf?x??f?a?x．

由题设知，F?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且F?a??F?b??0，由罗尔定理知，在?a,b?内必存在一点?，使得F?????0，即

f?????f?????f?a??0,

f?a??f?????f????方法二 用拉格朗日中值定理证

.

分析 要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值?的等式，第一步要将含有?的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端,即作如下恒等变形：

f?a??f?????f????.

(3)

第二步是把等式右端中的?都换为x,并设

F?(x)?f(x)?xf?(x).

第三步是要去确定F?(x)的原函数F(x).本问题中F?(x)的原函数F(x)为

F(x)?xf(x).

第四步确定了F?(x)的原函数F(x)后,针对相应的区间[a,b],验证(3)式左端是否为

F(b)?F(a)F(a)?F(b)b?aa?b或.

若是,则只要对F(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定理即可得到所要的结论;否则,需另辟新径,考虑用罗尔定理或柯西中值定理等其它方法去解决问题.

在本问题中,由于f(a)?f(b),所以

F(b)?F(a)bf(b)?af(a)??f(a)b?ab?a.

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