大学物理学上下册中国科学技术大学出版社课后习题与答案

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习题九

一、选择题

9.1 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：

(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．

(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．

(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．

［A(本章中不涉及导体)、 D ］ 9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为

(A)

qqqq． (B) (C) ． (D) 3 04 03 06 0

［D］

题图9.1 q

9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量 q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为

q2q2q2q2

(A) (B) (C) (D) 22

2 0S 0S2 0S 0S

[B ]

9.4 如题图9.2所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，l为半径的半圆弧，N点有正电荷 q，M点有负电荷 q．今将一试验电荷 q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功

(A) A＜0 , 且为有限常量． (B) A＞0 , 且为有限常量．

(C) A＝∞． (D) A＝0． ［D，VO 0］

-题图9.2

9.5静电场中某点电势的数值等于 (A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．

(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．

(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功． ［C］

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9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

(A) 电场强度EM EN． (B) 电势UM UN．

(C) 电势能WM WN． (D) 电场力的功A＞0．

［C］ 二、计算题

9.7 电荷为 q和 2q的两个点电荷分别置于x 1m和x 1m处．一试验电荷置于x轴上

2q0

解：设试验电荷q0置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得

q( 2q) ( 2q) q0i 0 i 0 2222

4 0 x 1 4 0 x 1 4 0 x 1 4 0 x 1

即：

q q0

1

x 1

22

( 2)

x 1

2

0 x 1 2 x 1 0

22

x 2x 1 2 x2 2x 1 0

x2 6x 1 0 x (3 m。

因x 3 2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

x 3 m

9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷 Q，沿其下半部分均匀分布有电荷 Q，如题图9.4所示．试求圆心O处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷dq dl 2Qd / ，它在O处

产生场强

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dE

dqQ

d

4 0R22 2 0R2

Q

按 角变化，将dE分解成二个分量：

sin d

2 2 0R2

Q

dEy dEcos 2cos d 2

2 0R

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

/2

Ex 2sin d sin d 0 2 2 0R 0

/2

/2

Q Q

Ey 2cos d cos d 2 22 2 0R 0 0R /2

dEx dEsin

Q

所以

E Exi Eyj

Q

j。

2 0R2

9.9 如图9.5所示，一电荷线密度为 的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为Q的均匀带电球体，其球心位于O点。 AOP是边长为a的等边三角形。已知P处场强方向垂直于OP，求: 和Q间的关系。

解：如图建立坐标系。根据题意可知

Ex 0

Q4 0a2

cos600 0 2 0a

Q

0 Q a。 a

9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

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解：电荷面密度为

的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 ：E /2 0。以图

中O点为圆心，取半径为r r dr的环形面积，其电量为dq 2 rdr。它在距离平面为a的一点处产生的场强

dER

ardr

2 0 a r

2

23/2

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

aER

2 0

R

rdr

a2 r2

3/2

2 0

a 1

a2 R2

由题意，ER E/2 /4 0，得到

1 2 0 1 4 0 11

，

22

2a 4a2 a2

R2 R 。

9.11 如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为d，电荷线密度为 。过导线中点O作一半径为R[R d2]的球面S，P为带电直导线的延长线与球面S的交点。求： （1）、通过该球面的电场强度通量 E。 （2）、P处电场强度的大小和方向。

解：（1）利用静电场的高斯定理即可得： E

qint

0

d

。

0

（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为x处取长度为dx的带电元，其所带电荷量为dq dx，dq在P点产生的电场强度为

dE

P点的电场强度为

dq dx ii22

4 0(R x)4 0(R x)

E

d2

d dE i

d2

dx

4 0(R x)2

d2

dd(R x) R d2dy i i

22 d2R d24 0(R x)4 0y

11

R d2R d2

i

4 0

R d2

1 i y

R d24 0

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1 (4R 2d) (4R 2d) i1 i d i 22 0 4R 2d4R 2d 0 (4R 2d)(4R 2d) 0(4R d)

9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：Ex bx，Ey 0, m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真Ez 0。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C·空介电常数 0＝8.85×10-12 C2·N-1·m-2

)

解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：

E1S1 E2S2

则

Q

0

,(S1 S2 S)

Q 0S(E2 E1) 0Sb(x2 x1) 0a2b(2a a) 0a3b 8.85 10 12C

9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a、b，电荷体密度为 r，在

球心处有一点电荷Q。证明：当A Q(2 a)时，球壳区域内电场强度E的大小与半径r

2

无关。

证：用高斯定理求球壳内场强： 而

S

E dS E 4 r2 Q dV/ 0,

V

rA222

4 rdr 4 Ardr 2 Ar a v 0ar

2 A r2 a2 QQAAa2

E 222

4 0r4 0r4 0r2 02 0r2

dV

r

图9.9

要使E的大小与r无关，则应有 ：

QQAa2

A ， 即。 0

2 a24 0r22 0r2

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9.14 如题图9.10所示，一厚为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为 kx (0 x b)，式中k为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P处的电场强度；

(3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．

按高斯定理

E ds q

int

0，即： 1

2SE

得到：

0

b

Sdx

kS

0

b

kSb2

xdx 2 0

kb2

， (板外两侧) E 4 0

(2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为E ，如图所示．按高斯定理有：

E E S

kS

0

x

kSx2kx2

xdx E E

2 02 0

2b2 x 2 (0 x b)

k

得到： E

2 0

2

b2

0， 可得 x b/2。 (3) E 0，必须是x 2

9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为r的一个小球体，球心为O ，两球心间距离OO d，如题图9.11所示。 求：

(1) 在球形空腔内，球心O 处的电场强度E0；

(2) 在球体内P点处的电场强度E。设O 、O、P三点在同一直径上，且OP d。

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而另在挖去处放上电荷体密度为 的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点的场强

为此二者的矢量叠加，即：E0 E1 E2。

解：挖去电荷体密度为 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E1，

2O’=0

图(b)

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O 与P处场强的大小。

2

E ds E 4 d 1 1

图(c)

14 3

d 03

得： E1O E1P E1

d 3 0

方向分别如图所示。

在图(b)中，以O 点为小球体的球心，可知在O 点E2 0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P。

s

E2 ds E2 4 (2d) 4 r( )/ 3 0 ，E2P

2

3

(1) 求O 点的场强EO'。由图(a)、(b)可得

r3

2

12 0d

EO' E1O'

(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得

d

， 方向如图(c)所示. 3 0

r3 d 4d2 方向如(d)图所示.

EP E1P E2P

3 0

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9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d. 试求：

(1) 在它们的连线上电场强度E 0的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？

(2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U 0的点与电荷为＋q的点电荷相距多

远？

解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线． (1) 设E 0的点的坐标为x ，则

E

3q

i 0 2

4 0x 2 4 0x d2x 2 2dx d2 0

q

x 11d

i

解出：

另有一解x21

1d不符合题意，舍去．

(2) 设坐标x处U 0，则

U

得：

q3qq

4 0x4 0d x4 0

x

d 4x xd x 0

d 4

9.17 一均匀静电场，电场强度E （400i 600j)V m 1，空间有两点a(3,2)和b(1,0)，（x,y以米计）。求a,b两点之间的电势差Uab。

yj ，则 解：空间某点的位矢表示为r xi

600 Uab Va Vb E dr (400ij) (idxjdy)

a

a

b

b

b

1

(400dx 600dy) 400dx 600dy 2000(V)

a

3

2

9.18 题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为

， 0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．

（0x a）

解：在任意位置x处取长度元dx，其上带有电荷dq 0 x a dx。它在O点产生的电势

dU

O点总电势：

0 x a dx

4 0x

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a ldx 0 0 a l

dx a ax 4 0 a 4 0

U dU

a l

l aln a

9.19 题图9.14所示，电荷q均匀分布在长为2l的细杆上。求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势。(设无穷远处为电势零点)．

解：（1）设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示．

q/2l，在x处取电荷元dq dx qdx/2l，它在P点产生的

细杆的电荷线密度 电势为

dUP

dqqdx

4 0l a x8 0ll a x整个杆上电荷在P点产生的电势：

UP

lqdx qql 2l

lnl a x ln 1 l l8 0ll a x8 0l8 0l a

（2

.

dUP

整个杆上电荷产生的电势：

杆的电荷线密度 q/2l．在x处取电荷元dq dx qdx/2l，它在P点产生的电势

dx

q

UP

8

0l

l

l

q n8 0l

q

nx

a2 x

28 0l

l

qn8 0l

l l

l

l

lqq

n n

4 0l 8 0l a

9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已

2

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知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷．

解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为

E

两球的电势差：

Q

(R1＜r＜R2）

4 0r2

U12

R2

R1

Q

Edr

4 0

R2

R1

Qdr

r24 0

11 R R2 1

∴ Q

4 0R1R2U12

＝2.14×10-9 C

R2 R1

9.21 电荷以相同的面密度 分布在半径为r1＝10 cm和r2＝20 cm的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U0＝300 V． ［ 0＝8.85×10-12 C2 /(N·m2)］ (1) 求电荷面密度 ．

(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？

解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即

q1q2 1 4 r12 4 r22 r r 4 r r

2 10 12

U

00＝8.85×10-9 C / m2

r1 r2

(2) 设外球面上放电后电荷面密度为 ，则应有：

1

r1 r2 0 U0

1

U0

4 0

r1 r2 0

0

即 ：

外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：

r1

r2

r1

q 4 r22 4 r22 1 r

2

4 r1 r2 r2 4 0U0r2＝6.67×10-9 C

9.22如题图9.15所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为 ，长度为l，细线左端离球心距离为r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．

解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电荷为dq dx，

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该线元在带电球面的电场中所受电场力为：

x

dF

整个细线所受电场力为：

q dx

2

4 0x

q F

4 0

r0 lr0

dxq l

，方向沿x正方向．

x24 0r0r0 l

电荷元在球面电荷电场中具有电势能：

dW

整个线电荷在电场中具有电势能：

q dx

4 0x

q W

4 0

r0 lr0

dxq r0 l

ln x4 0 r0

9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5×10-4 m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5×10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如题图9.16所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6×10-19 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为 ．按高斯定理有：

2 rE

即两极间的电场强度可表示为：

0

E

， (R1＜r＜R2)， 2 0r

R2 Rdr

ln R2 0r2 0R1

U UA

B

2 0lnR2/R121

E的方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

UA UB E dr

A

B

所以，两极间的电场强度为：

E

在阴极表面处电子受电场力的大小为

UB UA1

lnR2/R1r

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F eE R1 e

UB UA1

＝4.37×10-14 N

lnR2/R1R1

方向沿半径指向阳极．

9.24 题图9.17为一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差 U维持恒定的条件下，内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．

解：设内球壳带电量为q，则根据高斯定理可得出两球壳之间半径为r的同心球面上各点电场强度的大小为

E

内外导体间的电势差：

q4 0r2

U E dr

a

b

q 11 4 0 ab

当内外导体间电势差 U为已知时，内球壳上所带电荷即可求出为：

4 ab U

b aqb U

内球表面附近的电场强度大小为：E 2

4 aab aq

欲求内球表面的最小场强，令

dE

0，则 da

dE11 b U 2 0 2

da a b a ab a

得到：

1a b a

2

111

b a a 2

ab ab aa

0

a b/2

d2Eb

a 并有

da22

可知这时有最小电场强度：Emin

b4

U U

ab ab

9.25 题图9.18所示，一半径为R的“无限长”圆柱形带电体，电荷体密度为 Ar(r R)，式中A为常量．求：

(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；

(2) 选与圆柱轴线的距离为l (l＞R) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．

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解：(1) 取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：

E ds 2 rhE

s

为求高斯面内的电荷，r R时，取一半径为r ，厚dr 、高h的圆筒，其电荷为：

dV 2 Ahr 2dr

则包围在高斯面内的总电荷为

r

由高斯定理得： 解出：

V

dV 2 Ahr 2dr 2 Ahr3/3

2 rhE 2 Ahr3/ 3 0 E Ar2/ 3 0 (r R)

r R时，包围在高斯面内总电荷为：

R

由高斯定理： 解出：

V

dV 2 Ahr 2dr 2 AhR3/3

2 rhE 2 AhR3/ 3 0 E AR3/ 3 0r (r R)

(2) 计算电势分布 当r R时：

U Edr

r

lR

r

3

lARA2dr

rdr

R3 3 0r0

AAR3l33

R r ln

9 03 0R

当r R时：

3

llARdrAR3lU Edr ln

rr3 r3 r00

9.26

已知某静电场的电势函数U nx (SI)．求点(4，3，0)处的电场强度各分

量值．

解：由场强与电势梯度的关系式得

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Ex

U U U

0 =-1000 V/m；Ey 0；Ez

x z y

9.27 如题图9.19所示，在电矩为pe的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R 电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，

求此过程中电场力所作的功。

解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势

V

式中r为从电偶极子中心到场点的矢径．于是知A、B两点电势分别为 VA

p r

4 0r3

p

p4 0R

2

； VB

4 0R

2

p p

q从A移到B电场力作功(与路径无关)为

A q VA VB

qp

2

2 0R

三、小论文写作练习

1、讨论电势零点的选择问题。

2、利用Mathematica软件画电偶极子的电场线和等势面分布图。

习题十

一、 选择题

10.1当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高．

(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高．

(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［D］

10.2在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将

出现感应电荷，其分布将是：

(A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀．

(D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［B］

10.3在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此

点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变．

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(C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变．

(D) 球壳内、外场强分布均改变． ［B］

10.4选无穷远处为电势零点，半径为R的导体球带电后，其电势为V0，则球外离球心距离

为r处的电场强度的大小为

V0RV0V0R2V0

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ． ［C］ 23

Rrrr

10.5如题图10.1所示，一厚度为d的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为 ，则板的

两侧离板面距离均为h的两点a、b之间的电势差为：

h2 h

(A) 0． (B)

． (C) ． (D)

． ［A］

2 0 0

10.2

10.6 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R．在腔内离球心的距离为d处( d R)固定一点电荷 q，如题图10.2所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势

题图10.1

零点，则球心O处的电势为 (A) 0 ． (B)

10.7 关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？

qqq 11

．(C) ． (D) ［D］

4 0d4 0R4 0 dR

(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零． (B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷．

(C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关．

(D) 以上说法都不正确． ［C］

10.8静电场中，关系式 D 0E P

(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质．

(D) 适用于任何电介质． ［D］

10.9一导体球外充满相对介电常量为 r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则

导体球面上的自由电荷面密度为：

(A) 0E (B) E (C) rE (D) ( 0)E ［B］

10.10一平行板电容器中充满相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化

电荷面密度为 ，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为： (A)

． (B) ． (C) ． (D) ． ［A］ 0 0 r2 0 r

10.11一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强

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度为E0，电位移为D0，而当两极板间充满相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质时，电场强度为E，电位移为D，则

(A) E E0/ r，D D0． (B) E E0，D rD0．

(C) E E0/ r，D D0/ r． (D) E E0，D D0． ［B］

10.12如题图10.3所示, 一球形导体，带有电荷q，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将 (A) 增大． (B) 减小．

(C) 不变． (D) 如何变化无法确定． ［B］

题图10.3

题图10.4

二、计算题

10.13 如题图10.4所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷．

(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．

(3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷 q，外表面上带电荷Q q． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

U q

dq

4 0a

q

4 0a

(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和

UO Uq U q UQ q

qqQ qQq 111

4 0r4 0a4 0b4 0 rab 4 0b

10.14 有一"无限大"的接地导体板，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷．如题图10.5(a)所示，试求：

(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布(参考题图10.5(b))； (2) 面上感生电荷的总电荷(参考题图10.5(c))。

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解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O为原点，取平面上任意点P，P点距离原点为r，设P点的感生电荷面密度为 ．在P点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，

EP

qcos

0 22

2 4 0r b0

qcos qqb

223/22 r2 b22

r2 b22 r b

(2) 以O点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为 dQ dS 2 rdr 总电荷为

Q

qbrdr2 r b

2

23/2

dS qb

S

rdr

r

2

b

23/2

1qb

d r2 b2

r

2

b

23/2

2qb 2

b

dy 2qb q 3/2

yb2

10.15 如题图10.6所示，中性金属球A，半径为R，它离地球很远．在与球心O相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为qA和qB的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A内及其表面有电荷分布吗？

(2) 金属球A中的P点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)

题图10.6

qB

解：(1) 静电平衡后，金属球A内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为 ． UP UO

SA

dS/4 0R qA/a qB/b / 4 0

∵

dS 0

SA

∴ UP qA/a q/ 40 B/ b

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10.16 三个电容器如题图10.7联接，其中C1 10 10 6F，C2 5 10 6F，

C3 4 10 6F，当A、B间电压U 100V时，试求：

(1) A、B之间的电容；

(2) 当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？

题图10.7

解：(1) C

(C1 C2)C3

3.16 10 6F

C1 C2 C3

(2) C1上电压升到U 100V，电荷增加到Q1 CU 1 10 3C 1

10.17 一个可变电容器，由于某种原因所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为1:2，问电容器的电容与原来的电容相比改变了多少？

解：如图，设可变电容器的静片数为n，定片数为n 1，标准情况下，极板间的距离为d[图a]，极板相对面积为S。则该电容器组为2(n 1)个相同的平行板电容器并联[图a]。总电容为C 2(n 1) 0

S

。 d

C (n 1) 0

SS (n 1) 0 ab

当动片由于某种原因发生相对位移而使相邻的极板间隔变为a:b 1:2后，总电容为：

(n 1) 0S

所以电容增加了：

S9a b2d

(n 1) 0S24 (n 1) 0

d4abd d

1S

(n 1) 0 4d

C C C

10.18 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度 0＝1.77×10-6 C/m2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为 r 8 的各向同性均匀电介质板．计算电介质中的电位移D、场强E和电极化强度P的大小。(真空介电常量 0＝

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8.85×10-12 C2 / N·m2)

解：由D的高斯定理求得电位移的大小为

D 0 1.77 10 6C/m2

由D 0 rE的关系式得到场强E的大小为

D

＝2.5×104 V/m E 0 r

介质中的电极化强度的大小为

P 0 eE= 0( r 1)E 1.55 10 6C/m2

10.19 如题图10.8所示，一空气平行板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d，其中平行地放有一层厚度为t ((t d)、相对介电常量为 r的各向同性均匀电介质．略去边缘效应，试求其电容值。

题图10.8

解：设极板上的自由电荷面密度为 0．应用D的高斯定理可得两极板之间的电位移大小为

D

由D 0 rE得：空气中的电场强度大小为E0 00；电介质中的电场强度的大小

为E0 0( 0 r)。

两极板之间的电势差为

U E0(d t) Et

电容器的电容为

t rd 1 r t d t 0 0 r 0 r

C

S

U

作法二： 看成二个电容串联， C1

rd 1 rt

0S 0 rS

d t

， C2

0 rS

t

，则

C

0 rSC1C2

C1 C2 rd 1 rt

10.20一平行板电容器，极板间距离为10cm，其间有一半充以相对介电常量 r 10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如题图10.9所示．当两极间电势差为100 V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量。

解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和E1、E2，则

U E1d E2d (1)

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