北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练习题王金燕

北师大版九年级数学中考总复习知识梳理与练

习题王金燕

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第一讲 实数

一.知识梳理： 1.实数的基本概念 (1)正数和负数

定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。

(2)有理数分类：

正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。即： (3)无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见的无理数，归纳起来有四类： a.开方开不尽的数，如32,7等； …等；

c.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π

的数，如3

π

+8等；

d.某些三角函数值，如sin60o

等 注：小数是分数。

(4)实数：有理数和无理数统称为实数，即： 正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环

小数

实数 负有理数 正无理数

无理数 无限不循环小数 负无理数

2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（画数轴时，原点，正方向，单位长度三要素缺一不可）

注意：实数与数轴的点是一一对应的。 3.相反数：

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若a+b=0a 、b 互为相反数，反之亦成立.注意：零的相反数是零 一般地，如果a 、b 互为相反数，则a+b=0. 反之亦成立。

4.绝对值

定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值，记作|a|。

①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。即：

①a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a ≥0。

②任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0。 5.倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。注意：0没有倒数。 6.数的比较大小

法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；

两个负数，绝对值大的反而小。 7.科学记数法

定义：把一个绝对值大于10的数表示成a ×10n

的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n 是原数的整数数位减1得到的正整数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a ×10

-n

）时，n 是从小数点后开始到第一个不是0的数

为止的数的个数。 8.近似数

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到；精确到百分位——精确到； 9.有效数字

从左边第一个不为0的数开始，到精确的数位为止，中间所有的数字都叫做有效数字。 二.课后练习

1.若收入100元记作+100元，那么支出60元记作 _______元。

的相反数是 ，-5的倒数是 ，-3的绝对值是 。 3.计算：-(-2)= ，|-5|= 。

4.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则

20122012)()(cd b a ++= 。

5.小明在画数轴时，不小心把一滴墨水滴在已经画好的数轴上。如图所示，请根据图中标出的

数，写出被墨水盖住的整数： 。

6.若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a+b= 。

7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是 km ，则这个数用科学记数法表示应为 。

≈ (精确到百分位) ≈ _____ (精确到十分位)

9.在记录气温时，若零上5度记作+5℃，那么零下5度记作( )

A 、5℃

B 、-5℃

C 、0℃

D 、-10℃

10.数轴上表示-3的点到原点的距离是( ) A 、3 B 、-3 C 、3

1

D 、3

1

11.在0，-2，1，2

1

这四个数中，最小的数是( )

A 、0

B 、-2

C 、1

D 、2

1

12.如果a 的倒数是-1，那么a 2014

等于( )

A 、-1

B 、1

C 、2014

D 、-

2014

13. 3的相反数是( )

A. 3

B. －3

C. 13

D. －1

3

14.－3的绝对值是( )

A. 3

B. －3

C. －1

3 D.

13

15.－7的倒数是( )

A. 7

B. 17

C. －7

D. －1

7

°的相反数是( )

A. －12

B. －33

C. －3

2 D. －

22

17.实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，

则下列各式正确的是( )

A. a ＋b<0

B. ab>0

C. a －b<0

D. |a|>|b|

18.若a 与1互为相反数，则|a ＋1|等于( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 19.在1，－2，0，5

3

这四个数中，最大的数是

( )

A. －2

B. 0

C. 5

3 D. 1

20.

A 、×106

B 、×107

C 、×108

D 、×109

21. 甲型H1N1流感病毒变异后的直径为米，这个数用科学记数法表示应该是( ) A 、×10-6

B 、×10-7

C 、×10-8

D 、×10-9

22.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法可表示为

( )

A. ×105

B. ×104

C. ×103

D. 675×102

23.近年来，我国大部分地区饱受“四面霾伏”的困扰。霾的主要成分是，是指直径小于或等于的颗粒物。那么数用科学记数法可表示为( ) A 、25×10-5

B 、25×10-6

C 、×10-5

D 、×10

-6

24.钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为440万m 2

，数据440万用科学记数法表示为( )

A. 4.4×106

B. 44×105

C. 4×106

D. ×107

25.把精确到是（ ） A.2.35

的有效数字有（ ）

个 B. 5的 个 个 28.数精确到（ ） A.0.1

29.把数精确到百位是（ ） B.

30.下列实数中，是无理数的为( ) A. 3.14 B. 1

3

C. 3

D. 9

第二讲 实数的运算

一.知识梳理： 1. 实数的加法

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数。

（2）加法运算律：①交换律 a+b=b+a ； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 2. 实数的减法

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 3. 实数的乘法

（1）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。②任何数与0相乘，都得0。

（2）乘法运算律：①交换律ab=ba ；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac 。 4. 实数的除法

除法法则：①除以一个不等于0的数，等于

乘这个数的倒数。即：1

a b a b

÷=?。

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

③0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 5. 乘方

（1）定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

如：

a

n a a a 个???叫做a 的乘方，记作a n

。读作a 的n 次方（幂），

在a n

中，a 叫做底数，n 叫做指数。乘方的结果叫做幂。

（2）性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 6. 0指数幂和负正指数幂

（1）0指数幂：一个不为0的数的0次幂都等于1，即：

（2）负正指数幂：一个不为0的数的负整指次幂

等于这个数的倒数的正整指次幂。即： 7. 实数的混合运算

混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 二.精讲点拨：

例1.计算：324

(2)316[(3)2(2)]-?+÷-?-- 例2.计算：(3－2)0

＋(13)－1＋4cos30°－|1-3|.

三.课后作业：

1.某天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，那么中午的气温是 ℃。

2.日喀则某天的最高气温是10℃，最低气温是-8℃，那么这天日喀则的最高气温比最低气温高( )

A 、-18℃

B 、-2℃

C 、2℃

D 、18℃

3.计算：(12)－2

－|－1＋3|＋2sin60°＋(－1－

3)0

.

4.计算：(π－5)0

＋4－(－1)

2015

－3tan60°.

5.计算：(－2)3＋13×(2014＋π)0

－|－13|＋

tan 2

60°.

6.计算：8＋(12)－1－2cos45°－(π－2016)0

.

7. 计算：（－3）2

－(π－1)0

＋tan60°＋|3－2|.

第三讲 平方根和立方根

一.知识梳理：

1.平方根

定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2

=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读

作“正、负根号a ”。 a 叫做被开方数。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

定义2：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平

a ”，

性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

性质2：算术平方根a 的双重非负性：

①a

≥0 ； ②0≥a

定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开

平方。 2.立方根

定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果x 3

=a ，那么x 叫做a

3a x =。

性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。

定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方

3. 实数大小的比较

（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

（2）实数大小比较的几种常用方法 ①作差法：设a 、b 是实数，

b a b a

②作商法：设a 、b 是两正实数，

;1;1;1b a b

a

b a b a b a b a ?> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则

b a b a 22

④近似值法：记住这些数值： 二.课后作业

的算术平方根是 ；4的平方根是 。 的立方根是 ；立方根是它本身的数是______ 3.

25的算术平方根是_____，64的立方根是

5.比较大小： π-；

23。 6. 22(3)0y z -+-=，则xyz

的立方根是________

7.

23-的相反数是 ，绝对值

是 ，倒数是 。 8.若代数式

x －1

x －2

有意义，则x 的取值范围是____________．

9.已知x 、y 为实数，且y ＝x 2

－9－9－x 2

＋4，则x －y ＝________．

10.16的算术平方根是( )

B.±4 D.±2 11.在数

3

1，2-，2

)2(，8，2π，25中，无理数有( )个。

12.如图，数轴上点P 表示的数可能是( )

13.( )

A 、在3到4之间

B 、在4到5之间

C 、在5到6之间

D 、在6到7之间 的立方根是( )

A. 4

B. ±4

C. 8

D. ±8 15.(－3)2

的平方根是( )

A. 3

B. －3

C. ±3

D. 9 16.化简：3

27＝( )

A. 3

B. －3

C. －2

D. 2 17.下列说法不正确的是( ) 的相反数、绝对值都是0 B.立方等于它本身的数有3个

-3-2-13

210

P .

C.平方等于它本身的数有2个

D.倒数等于它本身的数有1个

18. x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )

A. x<1

B. x>1

C. x≤1

D. x≥1

第四讲 二次根式

1.二次根式的定义

≥0)的式子叫做二次根式。

2.二次根式的基本性质

①2

a = (a ≥0)； ②

=2a

3.二次根式的乘除法 (1)二次根式的乘法： ①ab b a =?(a ≥0， b ≥0)； ②

b a ab ?= (a ≥0， b ≥0)。

(2)二次根式的除法：

=≥0， b ＞0)；

= (a ≥0， b ＞0)。 4.最简二次根式

最简二次根式满足的条件：①被开方数中不

含能开得尽方的因数或因式；②根号内不含分母；③分母中不含根号。 5.同类二次根式：

几根二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式

6.二次根式的加减法

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 7.分母有理化

把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。 二.课后作业

1.二次根式1-x 在实数范围内有意义的条件

是 。 2.若式子

3

2--x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。

3.计算：2)32(-= ；2)3(-= ；

4.计算：8－

1

2

＝= 。62?= 。

5.已知a ＝1＋2，b ＝1－2，则代数式a·b 的值为________．

6.列计算错误．．

的是( ) A. 2·3＝ 6 B. 2＋3＝ 5 C. 12÷3＝2 D. 8＝22 7.下面计算正确的是( )

3÷=

=±2

＝17－1

2，则a 在两个相邻整数之间，这两个整

数是( )

A. 4和5

B. 3和4

C. 2和3

D. 1和2

9.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.

21 B.8 C 、2

1 D 、3

2 10.下列二次根式中与3是最简二次根式的是( ) A. 5

1

B. 21

C.18

D.

12 13.计算：

54122475--+

14. 计算：2－1

－tan60°－14

－(π－1)0

＋|2－3|.

15.计算：()311210

-+-+π

16.求代数式x 2+4xy+y 2

的值，其中

23+=x ，23-=y 。

第五讲 幂的运算

一.知识梳理 （一）代数式

用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。 2.代数式的书写格式：

（二）整式：单项式和多项式统称为整式。 ①单项式：只含有乘法运算的代数式叫做单项式。

单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；

数字因数叫做这个单项式的系数。单独的一个数或一个字母也是单项式；

②多项式：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项； 次数最高的项的次数叫做多项式的次数。 （三）.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；③几个常数项也是同类项。

（四）合并同类项法则：

合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 （五）幂的运算

①同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m

·a n

=a m+n

。

②幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：(a m )n

=a mn

。

③积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即：(ab)n

=a n b n

。

④同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：a m

÷a n

=a m-n

。 二.课后作业

1.计算：(-2a 2b 3

c)3= 。 2.若单项式m

y x 2

2与35y x

n

-是同类项，则

2012)(n m -

= 。

3.计算：(-a 3)2

÷a 3

= 。 4.用☆定义一种新运算：对于任意实数a 、b ，都有a ☆b=b 2

+1，则5☆3= 。

5.某人设计了一个计算程序，当输入任意实数对(a ，b)时，会得到一个新的实数：a 2

+b+1。如输入(3，-2)时，会得到32

+(-2)+1=8。现输入(-3,4)，得到的数是 。

6.科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——着名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，

······。仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 。

7. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案： 第1个 第2个

······

第3个

第n 个图案中白色地面砖有 块。 8.观察下列一组图形的规律：

△△☆▲□△△☆▲□△△☆▲□△

△······

猜一猜第2014个图形应该是( )

A.△

B.☆

C.▲

D.□ 9. 下列计算正确的是( )

+x 2

=x 4

·x 3

=x 9

·x 5

=x 8

D.(x 2

)4

=x 6

10.下列计算正确的是( )

·a 3

=a 6

÷y 3

=y +3n=3mn D.(x 3)2

=x 6

11.下列运算正确的是( )

·a 2

=a

B.(a 3)4

=a 7

+5a 3

=7a 6

D.、a 4

÷a 3

=a 12.下列运算正确的是( ) +x 3

=x 6

·x 4

=x 8

÷x 2

=x 6

·x 4

=x 6

13.计算(a 3

)2

的结果是( ) A. a 5 B. a 6 C. a 8 D. a 9

14.下列运算中，结果正确的是( )

A. x3·x3＝x6

B. 3x2＋2x2＝5x4

C. (x2)3＝x5

D. (x＋y)2＝x2＋y2

15.一组按规律排列的多项式：a+b，a2-b3，

a3+b5，a4-b7，……，其中第10个式子是( ) +b19

16.下列运算正确的是( )

·a2＝a2 B.(ab)3＝ab3 C.(a2)3＝a6÷a2＝a5

17.下列运算正确的是( )

A. x2＋x2＝x4

B. (a－b)2＝a2－b2

C. (－a2)3＝－a6

D. 3a2·2a3＝6a6

第六讲整式的运算

一.知识梳理

1.去括号法则：

①括号前面是正号，去掉括号后括号内的各项不变号；

②括号前面是负号，去掉括号后括号内的各项要变号。

2.整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

3.整式的乘除运算

①单项式与单项式的乘法：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式与多项式的乘法：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：

p(a+b+c)=pa+pb+pc。

③多项式与多项式的乘法：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。

④平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

⑤完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。即：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑥完全平方式

我们把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式

⑦单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一

个因式。

⑧多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把

这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得

的商相加。

注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中

同样适用。

3.因式分解

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的

形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-

2ab+b2=(a-b)2。

二.课后作业

1.分解因式：x2-9= ；

x2+6x+9= ；

2.分解因式：2x3+8x2+8x= ；a3b-

ab3= 。

3.分解因式：ax2－ay2＝_______；a3－a＝________

4.分解因式：x3y－2x2y＋xy＝______．2x2－8＝_______．

5.对于实数a，b，规定一种运算：a⊕b＝a(a－b)＋1，则(－2)⊕ 5的结果为________．

6.若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝________．

7.已知a2－a－1＝0，则a3－a2－a＋2015＝

________．

8.计算：(－5a4)·(－8ab2)＝________

9.计算(12x4y7+20x2y5)÷(-4x2y4)的结果是( ) +5y

10.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值

是( )

C.±12

D.±24

11.多项式2a2－4ab＋2b2分解因式的结果正确的是( )

A. 2(a2－2ab＋b2)

B. 2a(a－2b)＋2b2

C. 2(a－b)2

D. (2a－2b)2．

12.已知整式x2－

5

2

x＝6，则2x2－5x＋6的值为

()

A. 9

B. 12

C. 18

D. 24

13.先化简，再求值 2)12()1(5)23)(23(-----+x x x x x ，其中

1x =。

14.若方程组?????ax ＋y ＝b x －by ＝a 的解是?

????x ＝1y ＝1，求(a ＋b)2

－

(a －b)(a ＋b)的值．

15.若x ＋1x ＝3，求x

2

x 4＋x 2

＋1

的值 第七讲 分式

一.知识梳理 1.分式的定义

一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B

中含有字母，那么式子A

B

叫做分式。即：分母中

有字母的代数式叫做分式。

2.分式有意义的条件：分式的分母不为0

3.分式有意义的条件：在分式的分母不为0的条件下，分子为0.

4.分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

C B C A B A ??=；A A C B B C

÷=÷。 3.分式的乘除 ①乘法法则：

d

b c a d c b a ??=?。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：

c

b d a

c

d b a d c b a ??=?=÷。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：n

n n a a b b ??

= ???

。分式乘方要把分

子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：1

n

n

a a -=

（a ≠0）。 4.分式的加减

①同分母分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 即：

a b a b c c c

±±=； ②异分母分式的加法：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 即：

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=

。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 二.精讲点拨

例1. 化简：①xy xy y x 22

2+；②

m

n n n m m 222-+

-

例2. 先化简，再求值：

1

1

11332--

+÷--x x x x x 其中：x 是满足-3

y

x x

+2中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( )

A.扩大3倍

B.缩小3倍

C.缩小6倍

D.不变

例4.已知若分式x 2

－2x －3

x ＋1的值为0，则x 的值为

______． 三.课后作业 1.分式

1

23

-x 有意义的条件是 。

2.化简：2

22

b

a b ab --= ； 3. 计算：2

232???

?

??-cd b a =

4.若分式

3

3+-x x 的值为0，那么x=( )

C.±3

D.无解

5.如果把分式

y

x xy

+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( )

A.扩大3倍

B.缩小3倍

C.缩小6倍

D.不变

6.下列运算错误的是( )

A.

bc ac b a =（c ≠0） B.1-=+--b

a b

a

C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+

D.x

y x

y y x y x +-=

+- 7.计算：

a

b b

b a a 2242

2-+

- 8.计算：

??

?

??--+÷--25223x x x x 9. 先化简，(x 2x ＋1－x ＋1)÷x

x 2－1，再从－2、－

1、0、1、2中选一个你认为适合的数作为x 的值

代入求值

10. 先化简，再求值：32

42

(1)44x x x x x

-÷-++，其中x=sin60

第八讲 分式方程

一.知识梳理 1.义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.式方程的解法

①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验。

注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

增根：使得分式分母为0的x 的叫做分式方程的增根。 3.精讲点拨

例1.解方程：2

1

124

x x x -=-- 例2.若关于x 的分式方程4

x 1m 32x x 2

--=--无

解，求m 的值。 4.分式方程的应用

解方程解应用题:步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。

5.精讲点拨

例1. 某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的倍，这样加工同样多的零件就少用10小时。问采用新工艺前每小时加工多少个零件

例2. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务。问原计划每天修路多少米 二.课后作业 1方程

1111

x x x --=+去分母后可得方程( ) A.2

210x x +-= B.2

20x x -= C.2

210x x --= D.2

220x x +-=

2.解方程：①

2

1

124

x x x -=-- ②25231

x x x x +=

++ 3.某工人现在平均每天比原来多做20个零件。已知现在做1600个零件和原来做1200个零件所用的时间相同，问该工人现在平均每天做多少个零件

4.已知甲做90个零件和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个零件。问甲、乙每小时各做多少个零件

5.某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务。问原计划每天修路多少米

第九讲 一元一次方程及其应用

一.知识梳理 （一）等式的性质

性质1：若a=b ，则a ±c=b ±c 。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。

性质2：若a=b ，则ac=bc ；

a b

c c

=(c ≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 （二）一元一次方程 1.定义

定义1：含有未知数的等式叫做方程。

定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1的整式的方程叫做一元一次方程。

定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

2.解一元一次方程的一般步骤

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；

⑤系数化为1。

3.精讲点拨

例1.解方程：

11

3

23 x x

x

-+

+=-

例2. 当k取何值时，代数式53

2

k

-

和5

k+互为

相反数

例3. 西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张

例4. 某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为多少元

二.课后作业

1.关于x的方程(m-1)x+m=5的解为1，则

m=( )

A、2

B、3

C、4

D、5 2.

，当输出为10时，则输入的

x= 。

3.规定一种运算“*”，a*b＝1

3a－

1

4b，则方程x*2

＝1*x的解为________．

4.解方程：

11

3

23 x x

x

-+

+=-

5.取何值时，代数式53

2

k

-

和5

k+互为相反数

6.商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的标价为多少元

7.一次体育课上，央宗班里有一半同学在打篮球，三分之一的同学在踢足球，七分之一的同学在打羽毛球。只有央宗一人因生病住院而没有上体育课。请问央宗班里共有多少人

第十讲一元二次方程

一.知识梳理

1.定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2.一元二次方程的解法

直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或

(mx+n)2=p（p≥0）

(2)配方法。（只做了解）

(3)公式法。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是

(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式。

3.一元二次方程根的判别式

①当b2-4ac＞时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。即：

a

ac

b

b

x

2

4

2

1

-

+

-

=，

a

ac

b

b

x

2

4

2

2

-

-

-

=

②当b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的

实数根。即：

a

b

x

x

2

2

1

-

=

=

③b2-4ac＜0时，方程无实数根。

定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。

4.一元二次方程根浴系数的关系

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2,则有：

5.精讲点拨

例1.若关于x的一元二次方程（a-1）

x2+3x+a2-1=0的一个根是0，求a的值。

例2. 若关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+(k-1)=0有实数根，求k的取值范围。

例 3. 已知关于x的方程k2x2－2(k＋

1)x＋1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)当k＝1时，设所给方

程的两个根分别为x

1和x

2

，求

x

2

x

1

＋

x

1

x

2

的

值

二.课后作业

1.若(m-3)x2+2mx+m-1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )

≠3 ≠1 ≠0 D.全体实数

2.方程2x2+15x-9=0的根的情况是( )

A.有两个相等的实数根

B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

3.已知关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )

A、m≥0

B、m＜-1

C、m＞-1

D、m ＜0

4.若1

x=是关于x的一元二次方程

22

(2)(1)50

a x a x

--++=的一个根，则a=( )

或2 D.不存在

5.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( )

A. (x＋4)2＝17

B. (x＋4)2＝15

C. (x－4)2＝17

D. (x－4)2＝15

6.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．下列选项中正确的是( )

A. b2－4ac＝0

B. b2－4ac>0

C. b2－4ac<0

D. b2－4ac≥0

7.若一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝________．

8. 若实数a、b满足|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是______．

9.设m、n是一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根，

则m2n－mn2

m2－n2

的值为________．

10.已知关于x的一元二次方程1

2

mx2＋

mx＋m－1＝0有两个相等的实数根．(1)求m的值；(2)求此时方程的解．

11.已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

12. 已知关于x的方程k2x2－2(k＋1)x ＋1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)当k＝1时，设所给方程的

两个根分别为x

1

和x

2

，求

x

2

x

1

＋

x

1

x

2

的值

13.一元二次方程2x2+3x-4=0的两根分别为x1，x2,求下列各式的值

第十一讲一元二次方程的应

用

一.精讲点拨

例1.如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．求道路的宽为多少米，．

例2.学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛)，共进行了21场比赛，那么有多少个球队参加了这次比赛

例 3.某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%.在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．(1)求这种玩具的进价；(2)求平均每次降价的百分率．(精确到%)

例 4.某电器商场经销一种品牌冰箱，每台的进价是2500元，经市场调查发现：当每台的销售价为2900元时，平均每天可售出8台，若每台克每降价50元时，平均每天就能多售出

4台，现要保证该商场每天盈利5000元，每台冰箱应定价多少元

二.课后作业

1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )

A. x(5＋x)＝6

B. x(5－x)＝6

C. x(10－x)＝6

D. x(10－2x)＝6

2.近年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元．设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )

A. 2500x2＝3600

B. 2500(1＋x)2＝3600

C. 2500(1＋x%)2＝3600

D. 2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝3600

3. 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．求道路的宽为多少米

4.某玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利80%.在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元．(1)求这种玩具的进价；(2)求平均每次降价的百分率．(精确到%)

5.某电器商场经销一种品牌冰箱，每台的进价是2500元，经市场调查发现：当每台的销售价为2900元时，平均每天可售出8台，若每台克每降价50元时，平均每天就能多售出4台，现要保证该商场每天盈利5000元，每台冰箱应定价多少元

6.小明家要围一个面积为216m2的矩形牛圈，其中一面靠墙，另外三面用长为42m的栅栏围起。若墙的长度不限，问这个牛圈的长和宽各是多少

7.学校组织了一次篮球单循环比赛(每两队之间都进行了一次比赛)，共进行了21场比赛，那么有多少个球队参加了这次比赛．

第十二讲二元一次方程组

一.知识梳理

（一）定义

定义1：有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

定义2：两个方程合在一起，就组成了方程组。

定义3：二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

定义4：元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

（二）二元一次方程组的解法

①代入消元法；

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

②加减消元法。

加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

二.精讲点拨

例1. 解方程组：

235

3210

x y

x y

+=

?

?

+=

?

例2. 西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张

例3. 根据图中给出的信息，求出每件衬衫和每瓶矿泉水的价格。

三.课后作业

1. 西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张

2.西藏某旅游景点，某周共售出1000张门票，门票收入共为6950元。已知成人票每张8元，学生

票每张5元。问这一周成人票、学生票各售出多少张

3.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有“笑脸”和“爱心”两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置的需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( )

4.李老师为学校购买知识竞赛的奖品，购买了甲、笔记本共25本，单价分别为2元和5元，结果共花了95元。问两种笔记本各多少本

5.根据图中给出的信息，求出每件衬衫和每瓶矿泉水的价格。

第十三讲元一次不等式及其解法

一.知识梳理

（一）不等式的性质

性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。即：a＞b，则a±c＞b±c。

性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。即：a＞b，c＞0，则ac

＞bc，a

c

＞

b

c

。

性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。即：＞b，c＜0，则ac＜

bc，a

c

＜

b

c

。

（二）一元一次不等式的定义

1、定义

定义1：用符号“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式。

定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。

定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

定义6：几个一元一次不等式联立在一起就组成了一元一次不等式组

定义7：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集。

二.精讲点拨例1.若a > b，则下列式子错误的是( )

A. a +3>b+3

B. 3-2a ＜3-2b

C. ac2 > bc2

D. ac>bc

例2.求不等式

4

2

x

1

3

5

x2-

≤

-

-

的非负整数解

例3.求不等式组

31<2(1)

3

1

2

x x

x

-+

?

?

?+

??≥

的整数解

例3.若关于x的一元一次不等式组

?

?

?

+

≤

+

<

1

3x

1)

-

2(x

3

m

x

有且只有4个整数解，求m的

取值范围。

三.课后作业

1.若x > y，则下列式子错误的是( )

> y-3 > - y

+3 > y+2 D.

2

x

>

2

y

2.定义新运算：对于任意实数a，b都有：a＄b＝a(a－b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法

及乘法运算，如：2＄5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5.那么不等式3＄x<13的解集为

________．

3.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，

左盘中放置物体A，则物体A的质量m（g）的取

值范围是。

4.

5.求不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解．

6.求等式组

?

?

?2x＋1>0

3x－1

2

≤

2x＋1

3

的所有整数解

7.解不等式组

??

?

??2（x－1）≤3x＋1①

1

2

x≤8－

3

2

x ②

，并把解集在数轴上表示出来．

8.若关于x的一元一次不等式组

?

?

?

+

≤

+

<

1

3x

1)

-

2(x

3

m

x

有且只有4个整数解，求m的

取值范围

第十四讲一次不等式（组）的应

用

一.精讲点拨

例1. 在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道选择题，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案是对的。选对一道得4分，选错或不选倒扣2分，竞赛规定成绩不低于82分可参加复赛，小颖要参加复赛，她至少要答对几道例2. 工人赵新5月份计划生产零件198个，前16天每天平均生产6个，后来改进技术，提前3天并超额完成任务，问赵新16天后平均每天至少生产多少个零件

例3. 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了一次“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交警维持交通秩序。若每个路口安排4人，则还剩下78人，若每个路口安排8人，则最后一个路口不足8人但不少于4人，求这个中学选派了多少学生值勤，交通路口有多少个

例4. 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需甲种原料9kg，乙种原料3kg，生产一件B种产品需甲种原料

4kg，乙种原料10kg，(1)设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式；(2)如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案，请你帮助设计出来

二.课后作业

1.有一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，并且这个两位数大于30而小于42，求这个两位数。

2.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道选择题，每道题都给出四个答案，其中只有一个答案是对的。选对一道得4分，选错或不选倒扣2分，竞赛规定成绩不低于82分可参加复赛，小颖要参加复赛，她至少要答对几道

3.用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则还剩20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，问有多少辆汽车

4.某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料米,乙种布料1米，做一套M型号的童装需用甲种布料米,乙种布料米，(1)设生产L型号的童装x 套, 写出x应满足的不等式；(2) 如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案，请你帮助设计出来。

5.某房地产开发公司计划建造A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

A B

成本（万元 / 套）2528

售价（万元 / 套）3034

(1)该公司对这两套户型的住房有几种建房方案

(2)该公司如何建房获得的利润最大最大利润是多少(利润=售价-成本)

第十五讲函数

一.知识梳理

（一）常量、变量、函数、自变量、因变量

1.常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量

2.变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

3.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

4.自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

5. 函数的三种表示方法：

①.列表法（用表格）上自下因

②.解析法（关系式）后自前因

③.图像法（用图象）横自纵因

6.画函数图象的步骤：

①.列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；

②.描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；

③.连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来

（二）平面直角坐标系

1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成的图形叫做平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2.象限：坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何一个象限。

3.点的坐标的概念：坐标平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。

4.不同位置的点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标的特征： 点P(x,y)在第一象限0,0>>?y x 点P(x,y)在第二象限0,0>?y x （2）坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x 轴上0=?y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=?

x ，y 为任意实数

点P(x,y)在原点上?x ，y 同时为零， （3）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上?x 与y 相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数

（4）关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征

点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数，

点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数，

点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ）

（5）点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： ①点P(x,y)到x 轴的距离等于y ②点P(x,y)到y 轴的距离等于x

③点P(x,y)到原点的距离等于22y x +

二.课后作业

1.已知点A 在第二象限，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点A 的坐标是 。

2.将点M(3，－2)先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N ，则点N 的坐标是________．

3.已知点（m-1，m-2）在第四象限，则m 的取值范围是 。

4.

5.

函数y =x 的取值范围

是 。 6.函数y=

1

x 1

x -+的自变量x 的取值范围

为 .

7.已知等腰三角形的周长为20cm,底边长y(cm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 . 8.如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα＝3

2，则t 的值是

__________

9.下列各式中y 不是x 的函数的是（ ） =2x

2

=∣x ∣ C.∣y ∣=x =2x+3

10.下列数据中不能确定物体位置的是（ ） A ．某市政府位于北京路32号 B ．小明住在某小区3号楼7号

C ．太阳在我们的正上方

D ．东经130°，北纬

54°

11.已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在()

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

12.点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )

A. (

3

2

，

1

2

) B. (－

3

2

，－

1

2

)

C. (－

3

2

，

1

2

) D. (－

1

2

，－

3

2

)

13.已知点P(a＋1，－a

2

＋1)关于原点对称的点在

第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )

14.设等腰三角形底角的度数x（单位：°），顶角的度数y为与x的函数关系式为（）

A．y=180°-2x（0°≤x<90°）

B．y=180°-2x（0°

C．y=180°-2x（0°

D．y=180°-2x（0°≤x≤90°）

15.下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（）

16.小明饭后去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸，用15分钟返回家里，下面图象中表示格桑离家的距离与时间之间关系的是( )

A B

C D

17.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD 的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( )

18.在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系大致图象是( ) 19.如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( ) 20.如图，如果○士所在的位置的坐标为（-1，-

2），

○相所在的位置的坐标为（2，?-2），那么○炮所在的位置的坐标为_______ _．

第十六讲一次函数

一.知识梳理

1.定义：形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。

当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。其中k叫做比例系数。

2.图象:

①正比例函数的图像是经过原点的一条直线

②一次函数的图像是一条不经过原点的直线

3.性质：

一次函数b

kx

y+

=（k≠0）有下列性质：

（1）k的符号决定直线的倾斜方向，

①当k>0时，直线是“”，y随x的增大而增大；

②当k<0时，直线是“”，y随x的增大而减小。

（2）b的符号决定直线与y轴交点的位置，

①当b>0时，直线与y轴的交点在正半轴

②当b<0时，直线与y轴的交点在负半轴

二.精讲点拨

例1.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册。甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费。

(1)请写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1（元）的函数关系式；

(2)请写出制作纪念册的册数x与乙公司的收费y2（元）的函数关系式；

(3)若学校需要400册纪念册，你认为选择哪家公司较好

例2.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(1，4)和(3，8)，与x轴、y轴分别交于点A、B。(1)求这个一次函数的解析式；(2)写出点A、B的坐标；(3)观察图象，思考在x轴上是否存在一点C，使△ABC为等腰三角形若存在，写出点C的坐标。

三.课后作业

1.过点(1，3)的正比例函数的解析式是( ) =3x B.x y 31=

C.x

y 3

= =2x+1 2.直线y=2x-4与x 轴的交点坐标是( ) A.(-4，0) B.(4，0) C.(-2，0) D.(2，0)

3.直线y=-x 与直线y=-2x+3的交点坐标是( ) A.(3，-3) B.(-3，3) C.(1，-1) D.(-1，1)

4.函数y=kx +b （k ≠0）的图象如图所示，则k 、b 的符号是( ) ＞0 b ＞0 ＞0 b ＜0

＜0 b ＜0 ＜0 b ＞0

5.为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，如图反映的是每月所收水费y(元)与用水量x(方)之间的函数关系．(1)求每月用水量不超过8m 3

和超过8m 3

的y 和x 的函数关系式(2)小亮家三月份用水7方，请问应交水费多少元(3)按上述分段收费标准，小亮家四、五月份分别交水费33元和21元，问五月份比四月份节约用水多少方

6.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册。甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费。

(1)请写出制作纪念册的册数x 与甲公司的收费y 1（元）的函数关系式；

(2)请写出制作纪念册的册数x 与乙公司的收费y 2（元）的函数关系式；

(3)若学校需要400册纪念册，你认为选择哪家公司较好

7.如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点(1，4)和(3，8)，与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。(1)求这个一次函数的解析式；(2)写出点A 、B 的坐标；(3)观察图象，思考在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为等腰三角形若存在，写出点C 的坐标。

第十七讲 反比例函数

一.知识梳理

1.定义：

形如x

k

y =

(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：

1-=kx y 或k xy =。

2.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线。 3.性质:

①当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ②当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 的的几何意义:

如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，则: 二.精讲点拨

例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在函数y ＝k

x (k>0，x>0)的图象上，点D

的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在函数y ＝k

x (k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x

轴正方向平移的距离．

例2.

三.课后作业 1.反比例函数x

k

y =

的图象经过点（-2，3），那么k 的值是( )

2.反比例函数k

y x

=

的图象如图所示，点M 在图象上，MN 垂直于x 轴，垂足为N ，若S △MON =2，则k =( )

3.若反比例函数k

y x

=

的图象经过点(-1，2)，则这个函数的图象一定经过点( ) A.（2，-1） B.（1

2

-，2） C.（-2，-1） D.（

1

2

，2）

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