上海市浦东新区2011学年第一学期高三数学试题及答案(理科)

2011-2012学年第一学期模拟试卷

浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测

高三数学（理科）试卷 2012.01

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．已知函数f(x) x2 1(x 0)的反函数为f2．椭圆

x

2

1

(x)，则f

1

(5) _____.

5

3．方向向量为d (3,4)，且过点A(1,1)的直线l的方程是______.

9

y

2

1的焦点坐标为____________.

4．若lim(1 a) 0，则实数a的取值范围是n

n

1

5．某个线性方程组的增广矩阵是 0

01

2

2 ，此方程组的解记为(a,b)，则行列式3 1

a

121

2

b的值是0

6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分

层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 . 7．若(x

ax

3

)的二项展开式中x的系数为 84，则实数a ____________. 9

8．已知向量a (sin ,1)，b (1,cos )，若a b，则 ______.

9．从集合{1,2,3,4，5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，则 a b的概率为_____.

10．已知函数f(x) 1 loga(x 1)(a 0且a 1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满

足方程mx ny 1，则mn的最大值为 . 11．已知正三棱锥O ABC的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为60 ，则此三棱锥的体积为 .

4

12．已知函数f(x) |x| ，当x [ 3, 1]时，记f(x)的最大值为m，最小值

|x|

为n，则m n ______.

n

n

*

A

B

C

第11题图

13．函数f(x) sinx cosx(n N,n 2,x R)的最小正周期为14．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：

①X M、 M；

②对于X的任意子集A、B，当A M且B M时，有A B M； ③对于X的任意子集A、B，当A M且B M时，有A B M； 则称M是集合X的一个“M—集合类”.

例如：M { ,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X {a,b,c}的一个“M—集合类”。已知集合X {a,b,c}，则所有含{b,c}的“M—集合类”的个数为 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．“x 1”是“x x 0”的 （ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 16．l1,l2,l3是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ ）

A. l1 l2，l2 l3 l1//l3

B. l1 l2，l2 l3 l1 l3

C. l1//l2，l2//l3 l1//l3 D. l1//l2//l3 l1,l2,l3共面

2

2011-2012学年第一学期模拟试卷

17．动点P从点(1,0)出发，在单位圆上逆时针旋转 角，到点M(

13

,

223

)，已知角 的始边在x轴

的正半轴，顶点为(0,0)，且终边与角 的终边关于x轴对称，则下面结论正确的是 （ ）

A.

2k arccos

13,k Z13

B.

D.

2k arccos

13

,k Z13

C.

2k arccos,k Z 2k arccos,k Z

18．已知共有k(k N*)项的数列{an}，a1 2，定义向量cn (an,an 1)、dn (n,n 1)

(n 1,2,3, ,k 1)，若|cn| |dn|，则满足条件的数列{an}的个数为 （ ）

k(k 1)

A. 2 B. k C. 2 D.22

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）设复数z

满足z ，且 1 2i z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线

y x上，求z.

k 1

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1

过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平

分别为AB、BC、DE成的封闭体。O1、O2、O2

F为弧AB的中点，G为弧BC的中点.

的圆柱沿

平移后形的中点，

（1）求这个几何体的表面积；

所成的角的大小（结果（2）求异面直线AF与GO2

函数值表示）. 21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第16分，第2小题满8分.

用反三角

小题满分

65

ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA （1）当B

45

，a ，

3

时，求b的值；

2x

（2）设B x 0 x

，求函数f(x) b 的值域.

22

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

*

设满足条件P:an an 2 2an 1(n N)的数列组成的集合为A，而满足条件

Q:an an 2 2an 1(n N)的数列组成的集合为B.

n

（1）判断数列{an}:an 1 2n和数列{bn}:bn 1 2是否为集合A或B中的元素？

3

（2）已知数列an (n k)，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；

*

若不是，请说明理由.

i*

（3）已知an 31( 1) log2n(i Z,n N)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式

|2n an| 60的n的值组成的集合.

23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点P位于原点处,设顶点

P x,y

2011-2012学年第一学期模拟试卷

的纵坐标与横坐标的函数关系是y f(x)y f(x),x R，该函数相邻两个零点之间的距离为m. （1）写出m的值并求出当0 x m时，点P运动路径的长度l；

（2）写出函数y f(x),x 4k 2,4k 2 ,k Z的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：

（3）试讨论方程f(x) ax在区间

8,8 上根的个数及相应实数a的取

值范围.

浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测

高三数学（理科）试卷 2012.01

参考答案及评分标准

注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

2 1

1．已知函数f(x) x 1(x 0)的反函数为f 1(x)，则f(5) 2．椭圆

1的焦点坐标为__( 2,0)，(2,0)__________. 5

3．方向向量为d (3,4)，且过点A(1,1)的直线l的方程是4x 3y 1 0 .

9 x

2

y

2

4．若lim(1 a) 0，则实数a的取值范围是 (0,2) .

n

n

5．某个线性方程组的增广矩阵是

1 0

01

2

，此方程组的解记为(a,b)，则行列式31

a

2121

2b的值是0

1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分

层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 50 . 7．若(x

ax

3

)的二项展开式中x的系数为 84，则实数a _ 1___________.

9

2011-2012学年第一学期模拟试卷

8．已知向量a (sin ,1)，b (1,cos )，若a b，则 k

4

,k Z.

9．从集合{1,2,3,4，5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选一个数b，则 a b的概率为__

45

___.

10．已知函数f(x) 1 loga(x 1)(a 0且a 1)的图像恒过定点P，又点P的坐标满足方程mx ny 1，

则mn的最大值为

18

.

11．已知正三棱锥O ABC的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为棱锥的体积为

312

60 ，则此三

A

B

C

.

4|x|

12．已知函数f(x) |x| ，当x [ 3, 1]时，记f(x)的最大值

第11题图

为m，最小值

为n，则m n __9____.

13．函数f(x) sinnx cosnx(n N*,n 2,x R)的最小正周期为

n为奇数时，2 ；n为偶数时.

2

14．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：

①X M、 M；

②对于X的任意子集A、B，当A M且B M时，有A B M； ③对于X的任意子集A、B，当A M且B M时，有A B M； 则称M是集合X的一个“M—集合类”.

例如：M { ,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X {a,b,c}的一个“M—集合类”。已知集合X {a,b,c}，则所有含{b,c}的“M—集合类”的个数为 10 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“x 1”是“x2 x 0”的 （ A ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

16．l1,l2,l3是空间三条不同的直线，下列命题正确是 （ C ）

A. l1 l2，l2 l3 l1//l3

B. l1 l2，l2 l3 l1 l3

13

223

C. l1//l2，l2//l3 l1//l3 D. l1//l2//l3 l1,l2,l3共面

,

)，已知角 的始边在x轴

17．动点P从点(1,0)出发，在单位圆上逆时针旋转 角，到点M(

的正半轴，顶点为(0,0)，且终边与角 的终边关于x轴对称，则下面结论正确的是 （ D ）

A.

2k arccos

13,k Z13

B.

D.

2k arccos

13

,k Z13

C.

2k arccos

*

,k Z 2k arccos,k Z

18．已知共有k(k N)项的数列{an}，a1 2，定义向量cn (an,an 1)、dn (n,n 1)

(n 1,2,3, ,k 1)，若|cn| |dn|，则满足条件的数列{an}的个数为 （ C ）

k(k 1)

A. 2 B. k C. 2

k 1

D.2

2

2011-2012学年第一学期模拟试卷

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）设复数z

满足z ，且 1 2i z(i是虚数单位)在复平面上对应的点在直线

y x上，求z.

解：设z x yi（x、y R）， 1分

∵|z| x2 y2 10， 3分 而(1 2i)z (1 2i)(x yi) (x 2y) (2x y)i， 6分

又∵ 1 2i z在复平面上对应的点在直线y x上，

∴x 2y 2x y， 8分 即 x2 y2 10，∴ x 3或 x 3x 3y

； 10分

y 1 y 1即z (3 i). 12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1

过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平成的封闭体。O1、O2、O 2

分别为AB、BC、DEF为弧AB的中点，G为弧BC的中点.

（1）求这个几何体的表面积；

（2）求异面直线AF与GO 2所成的角的大小（结果函数值表示）.

解：（1）

S表 S侧 S底 2 rh 2 2rh 2 6 8； 6分

（2）连结AF、GC、CO 2

，则AF//GC， 所以 O 2

GC或其补角为异面直线AF与GO2 所成的角. 9分 在 O 2

GC中，O2 G O2 C 22 12

5，

GC

2

1

2

2， 12分

因为cos O GC O G22

2

GC O C2

2

52

2O G

5 22

GC2

5

2

10

，

所以 O 2

GC arccos10

.

所以，异面直线AF与GO 2

所成的角的大小为arccos10

. 14分

21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.

ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA 45，a 6

5

，

（1）当B

3

时，求b的值；

（2）设B x 0 x

，求函数f(x) b 2x

的值域.

2 2解：（1）sinA

35

， 2分

的圆柱沿

平移后形的中点，

用反三角

2011-2012学年第一学期模拟试卷

2， b 3； 6分

sinBsinA

ba

2，得b 2sinx， 7分

（2）由

sinBsinA

2x

f(x) 2sinx

2

2sinx x 9分

4sin(x

ba

3

) 11分

0 x

∴sin x

2

, x

5 , ， 3 36

1 ,1 3 2

, 12分

∴f(x)的值域为2 23,4 23. 14分

22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.

设满足条件P:an an 2 2an 1(n N*)的数列组成的集合为A，而满足条件

Q:an an 2 2an 1(n N)的数列组成的集合为B.

*

（1）判断数列{an}:an 1 2n和数列{bn}:bn 1 2n是否为集合A或B中的元素？

3

（2）已知数列an (n k)，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；

若不是，请说明理由.

i*

（3）已知an 31( 1) log2n(i Z,n N)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式

|2n an| 60的n的值组成的集合.

解：（1）an an 2 1 2n 1 2(n 2) 4n 2，2an 1 2 1 2(n 1) 4n 2

∴an an 2 2an 1

∴{an}为集合A中的元素，即{an} A. 2分

bn bn 2 1 2

n

1 2 2 5 2

n 2

n

，2bn 1 2 1 2n 1 2 4 2n

∴bn bn 2 2bn 1

∴{bn}为集合B中的元素，即{bn} B. 4分

333

（2）an an 2 2an 1 (n k) (n 2 k) 2(n 1 k) 6(n 1 k)，

*

当k 2时，an an 2 2an 1对n N恒成立，此时，{an} A； 7分

当k 2时，令n 1，n 1 k 0，an an 2 2an 1；

设 k 为不超过k的最大整数，令n k 1，n 1 k 0，

an an 2 2an 1，此时，{an} A，{an} B. 10分

（3）|2n an| |2n 31log2n| 60，令cn 2n 31log2n，

cn 1 cn 2 31log

n 1

2

n

0，即n 21.8；

当n 22时，cn 1 cn，于是c22 c23 c24 ，

当n 21时，cn 1 cn，于是c1 c2 c3 c21 c22； 13分 ∵|c4| | 54| 60，|c5| | 61.9| 60，

|c62| | 60.6| 60，|c63| | 59.3| 60，|c140| 58.99 60，|c141| 60.7 60，

2011-2012学年第一学期模拟试卷

∴有c1，c2,c3,c4和c63,c64, ,c140项，共82项. 16分

23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分. 如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形PABC沿x轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点P位于原点处,设顶点P x,y 的纵坐标与横坐标的函数关系是y f(x)y f(x),x R，该函数相邻两个零点之间的距离为m. （1）写出m的值并求出当0 x m时，点P运动路径的长度l； （2）写出函数y f(x),x 4k 2,4k 2 ,k Z的表达式；数的性质并填写下面表格： a的取值范围. 解：（1）m 4， 2分

2

； 4分 l 1 2

（2）

f(x)

研究该函

（3）试讨论方程f(x) ax

在区间 8,8 上根的个数及相应实数

4k 2 x 4k 14k 1 x 4k4k x 4k 14k 1 x 4k 2

k Z； 7分

10分 （3）（i）易知直线y ax恒过原点； 当直线y ax过点 1,1 时，a 1

，此时点 2,0 到直线

y x，直线y x

与曲线y

x 1,3 相切，当x 3

时，y x恒在曲线y

f(x)之上，

x 5,7 相切时，由点 6,0 到直线y ax

（ii）当直线y ax与曲线y a y

，此时点 5,0 到直线y

1，直线

x与曲线y

x 4,5 相离；

2011-2012学年第一学期模拟试卷

（iii）当直线y ax与曲线

y x 4,5 相切时，由点 5,0 到直线y ax 的距离为1

，a

直线y

11

12

，此时点 6,0

到直线y

x6

x与曲线

y

x 5,7 相交于两个点；

15

（ⅳ）当直线y ax过点 5,1 时，a 1，直线y

1515

x与曲线

y x，此时点 5,0 到直线y

15

x的距离为

x 4,5 相交于两个点；

，直线y

15

x与曲线

点 6,0 到直线y

y

x 5,7 相交于两个点；

（ⅴ）当a 0时，直线y 0与曲线y f(x),x 8,8 有且只有5个交点； （ⅵ）当a 0时，直线y ax与曲线y f(x),x 8,8 有且只有1个交点； 因为函数y f(x),x 8,8 的图像关于y轴对称， 14分 故综上可知：

（1）当a 0时，方程f(x) ax只有1实数根； （2

）当a （3

）当a

1717

时，方程f(x) ax有3个实数根；

a 0时，方程f(x) ax有5个实数根；

（4）当0

a

（5

）当a （6）

当

15

12

15

或

12

a

17

f(x) ax有7个实数根；

时，方程f(x) ax有9个实数根；

12

a 时，方程f(x) ax有11个实数根. 18分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/t3d1.html