勤动脑多思考1

湖南省2002年高中数学奥林匹克竞赛试题

(9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R上的函数y＝f(－x)的反函数是y＝f(－x)，则

(A)y＝f(x)是奇函数 (B)y＝f(x)是偶函数

(C)y＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

2.二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如右图所示。记N＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，M＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，则

(A)M＞N (B)M＝N (C)M＜N

(D)M、N的大小关系不能确定

3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是

(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC中，若(sinA＋sinB)(cosA＋cosB)＝2sinC，则

(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形

5.ΔABC中，∠C＝90°。若sinA、sinB是一元二次方程x＋px＋q＝0的两个根，则下列关系中正确的是

(A)p＝?1?2q且q＞?1 (B)p＝1?2q且q＞?1

2

2

－1

y －1 0 1 x 22(C)p＝－1?2q且q＞?1 (D)p＝－1?2q且0＜q≤1

226.已知A（－7，0）、B（7，0）、C（2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的

另一个焦点的轨迹为

(A)双曲线 (B)椭圆

(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）

7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X的个数为＿＿＿＿。 8. 函数f(x)?a2?x2为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 |x?a|?a9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R上的函数y＝f(x)，它具有下述性质：

(i)对任何x∈R，都有f(x)＝f(x)，

(ii)对任何x1、x2∈R，x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)， 则f(0)＋f(1)＋f(－1)的值为＿＿＿＿。

11. 已知复数z满足z?z?z?z?3，且arg(z?1)??，则z＝＿＿＿＿。

3

3

312. 已知动点P（x，y）满足二次方程10x－2xy－2y＋1＝0，则此二次曲线的离心率为＿＿＿＿。

三、解答题（本大题共6个小题，满分78分） 13.（本题满分12分）

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB与BC的中点。 (Ⅰ)求二面角B－FB1－E的大小； (Ⅱ)求点D到平面B1EF的距离；

(Ⅲ)在棱DD1上能否找到一点M，使BM⊥平面EFB1？ 若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由。

A E B D C F A1 D1 B1 C1

14.（本题满分13分）

关于x的一元二次方程2x―tx―2＝0的两个根为α、β(α＜β)。

(Ⅰ)若x1、x2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：4x1x2－t(x1＋x2)－4＜0；

2

?t，f(x)在区间[α，β]上的最大值和最小值分别为fmax和fmin，g(t)＝fmax－fmin，(Ⅱ)设f(x)?4x2x?1求g(t)的最小值。

15.（本题满分13分）

已知a1＝1，a2＝3，an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an，若当m≥n时，am的值都能被9整除，求n的最小值。

16.（本题满分13分）

一台计算机装置的示意图如图，其中J1、J2表示数据入口，C是计算结果的出口。计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后得

计算机装置 自然数K由C输出。若此装置满足以下三个性质：①J1、J2分别输入1，则输出结果1；

②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；

③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： (Ⅰ)若J1输入1，J2输入自然数n，则输出结果为多少？ (Ⅱ)若J2输入1，J1输入自然数m，则输出结果为多少？

(Ⅲ)若J1输入自然数2002，J2输入自然数9，则输出结果为多少？

C K

m J1 n J2

17.（本题满分13分）

以A为圆心，以2cosθ（?＜θ＜?）为半径的圆外有一点B，已知|AB|＝2sinθ。设过点B且与

42圆A外切于点T的圆的圆心为M。

（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；

（Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最小值记为f(θ)（不要求证明），求f(θ)的取值范围；

（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（0＜θ＜?＝，点B的位置改为圆内，其它条件不变，点M

4的轨迹记为P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）。

18.（本题满分14分）

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体对角线长为l，试证：(l－a)(l－b)(l－c)≥512abc。

4

4

4

4

4

4

444

湖南省2002年高中数学竞赛试题解答

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）

1. 解：由y＝f(－x)得f(y)＝－x，故y＝－f(x)是y＝f(－x)的反函数，即－f(x)＝f(－x)。所以y＝f(x)是奇函数，选（A）。

注：也可以先求得y＝f(－x)的反函数为y＝－f(x)，进而知y＝f(x)是奇函数，故y＝f(x)是

－1

－1

－1

－1

奇函数。

2. 解：如图，f(1)＝a＋b＋c＜0，f(－1)＝a－b＋c＞0，a＞0，f(0)＝c＜0，?b＞1。

2a从而b＜0，2a＋b＜0，2a－b＞0，a－c＜0。

故M－N＝|a－b＋c|＋|2a＋b|－|a＋b＋c|－|2a－b|＝(a－b＋c)＋(a＋b＋c)－(2a＋b)－(2a－b)＝―2(a―c)＜0，所以选（C）。

3.解：由图形可知应当选（B）。

4. 解：因为左边＝sinAcosA＋sinAcosB＋sinBcosA＋sinBcosB＝1(sin2A＋sin2B)＋sin(A＋B)＝

2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin(A＋B)，右边＝2sin(A＋B)。

所以已知等式可变形为sin(A＋B)[cos(A＋B)－1]＝0。 又因sin(A＋B)＞0，所以cos(A－B)＝1，故A＝B。 另一方面，A＝B＝30°，C＝120°也符合已知条件。 所以ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形，选（A）。

5. 解：由根与系数的关系可知sinA＋sinB＝－p＞0，sinAsinB＝q＞0， 即sinA＋cosA＝－p＞0，sinAcosA＝q＞0。

再由sinA＋cosA＝1可知p－2q＝1，p－4q≥0且p＜0，q＞0。 所以p＝－1?2q且0＜q＝sinAcosA＝1sin2A≤1。选（D）。

2

2

2

2

226. 解：设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义知|AC|＋|AF|＝常数＝|BC|＋|BF|，故|BF|－|AF|＝|AC|－|BC|。又|AC|＝15，|BC|＝13，|AB|＝14，所以|FB|－|FA|＝2＜14＝|AB|。故点F的轨迹为双曲线的部分，选（D）。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7.不同的X共有2＝8个。 8. a＞0。

1239.解： 可得总方案数为C07?C6?C5?C4?21。

3

10.解： f(0)＋f(1)＋f(－1)＝0。 11.解： z＝2?3i。

?912.解：由10x－2xy－2y＋1＝0可得y?5?2，所以二次曲线为等轴双曲线，故离心率为2。

x?1

另解：由10x－2xy－2y＋1＝0有x＋6x＋y－6y－2xy＋9＝x－4x＋4＋y－4y＋4。

2222

(x?2)2?(y?2)2?2，故e＝2。 即(x?2)?(y?2)?|x?y?3|，所以

|x?y?3|222三、解答题（本大题共6个小题，满分78分）

13.解：(Ⅰ)作BH⊥B1F于H，连结EH。则由EB⊥平面BB1F可知EH⊥B1F（三垂线定理），于是∠EHB

BF?BB1是二面角B－FB1－E的平面角。在RtΔBB1F中，BH＝?B1Fa?1a2?5a，所以tg∠EHB＝

5a2?1a24D1 A1 M H D E G K B C F B1 C1

EB?5。故二面角B－FB1－E的大小为arctg5。 BH22(Ⅱ)容易证明ΔDEF≌ΔB1EF，所以由VB1?DEF?VD?B1EF可得点D到平面B1EF的距离等于点B1到平面DEF的距离，当然等于a。

(Ⅲ)设EF与BD交于点G，连结B1G。则由EF⊥BD以及EF⊥B1B知EF⊥对角面BB1D1D，于是面B1EF⊥面BB1D1D。在面BB1D1D内过B作BK⊥B1G于K，延长后交D1D所在的直线于点M，则BM⊥平面B1EF。

A B1BBD再在平面BB1D1D内，由ΔB1BG∽ΔBDM知。又B1B?BGDM＝a，BG＝

2，BD＝2，所以DM＝a。这说明点M在正方体的棱D1D上，且正好为D1D的中点。

242

14.解：(Ⅰ)因为x1、x2∈[α，β]，所以由抛物线y＝2x―tx―2的开口向上可知f(x1)＜0且f(x2)＜0。

即2x1―tx1―2＜0，2x2―tx2―2＜0。两式相加得2(x1＋x2)－t(x1＋x2)―4＜0，故由平均值不等式可得4x1x2－t(x1＋x2)－4＜0。

22t?t?16t?t?16。 (Ⅱ)依题意，??，??4424?t?t?16?t2?16t?164所以f(?)?，f(?)?28。 ?22?2?8222t?t?16?2tt?16?16t?16?tt?16?t?t?t?16??1??4??2

2

2

2

由t2?16≥|t|知f(β)＞0＞f(α)。

另一方面，设α≤x1＜x2≤β，则f(x1)?f(x2)?[4?t(x1?x2)?4x1x2](x1?x2)，由(Ⅰ)的结22(x1?1)(x2?1)论可知f(x1)＜f(x2)。从而f(x)在区间[α，β]上是增函数。

所以g(t)＝fmax－fmin＝f(β)－f(α)＝

28?8等号在t＝0时取到。 ??t?16≥4，

t2?16?tt2?16?t15. 解：因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an，所以a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝33，a5

＝153，a6＝873，…。因为a5与a6都能被9整除，所以由递推关系式an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an可知a5后面的所有项都能被9整除。故n的最小值为5。

另解：由an＋2＝(n＋3)an＋1－(n＋2)an可得an＋2－an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋2)an＝(n＋2)(an＋1－an)＝(n＋2) (n＋1)(an－an－1) ＝…＝(n＋2)· (n＋1)·n·(n－1) ·…·4·3·2·(a2－a1) ＝(n＋2)!。

所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1!＋2!＋3!＋…＋n!（n≥1）。 由于a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝33，a5＝153，并且n≥6时n!能被9整除，所以n的最小值为5。 16. 解：当J1输入m，J2输入n时，记k＝f(m，n)。则f(1，1)＝1，f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，f(m＋1，1)＝2f(m，1)。

(Ⅰ) 因为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，所以f(1，1)，f(1，2)，f(1，3)，…，f(1，n)，…组成一个以f(1，1)为首项，2为公差的等差数列。因此，f(1，n)＝f(1，1)＋2(n－1)＝2n－1。

(Ⅱ) 因为f(m＋1，1)＝2f(m，1)，所以f(1，1)，f(2，1)，f(3，1)，…，f(m，1)，…组成一个以f(1，1)为首项，2为公比的等比数列。因此，f(m，1)＝f(1，1)·2

m－1

＝2

m－1

。

(Ⅲ) 因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，所以f(m，1)，f(m，2)，f(m，3)，…，f(m，n)，…组成一个以f(m，1)为首项，2为公差的等差数列。因此，f(m，n)＝f(m，1)＋2(n－1)＝2

所以f(2002，9)＝2

2001

m－1

＋2n－2。

＋16。

17. 解：（Ⅰ）连MT、MA、MB，显然M、T、A三点共线，且|MA|－|MT|＝|AT|＝2cosθ。又|MT|＝|MB|，所以|MA|－|MB|＝2cosθ＜2sinθ＝|AB|。故点M的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2cosθ的双曲线靠近点B的那一支。

(Ⅱ)f(θ)＝|MN|min＝|LK|＝|LA|－|AK|＝sinθ＋cosθ－2cosθ＝sinθ－cosθ＝2sin(???)。

4由?＜θ＜?知0＜f(θ)＜1。

42（Ⅲ）设点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最大值记为g(θ)，求g(θ)的取值范围。

18. 证：左边＝(l＋a)(l－a)(l＋b)(l－b)(l＋c)(l－c)＝(a＋b＋c＋a)(b＋c)(a＋b

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22222222222222222222

＋c＋b)(a＋c)(a＋b＋c＋c)(a＋b)≥44a4b2c22b2c244a2b4c22a2c244a2b2c42a2b2＝512abc，其中等号在a＝b＝c时取到。

444

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