样卷及答案复变A卷12-13(1)

课程名称：复变函数与积分变换

北京印刷学院

《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A卷、一纸开卷）

（2012-2013学年第一学期）

注意事项：

1、考试方式：一纸开卷，考生可带一张自备内容的A4纸；

2、考试结束后，考生所带的自备内容的A4纸必须与试卷一起上交； 3、答案必须写在试卷上，否则无效；

4、本考卷适用于电11-1，2，自11-1班及全体重修生； 题号 一 得分 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 一、计算下列各题（每小题5分，共10分）： 1．Arg

2．Ln(?1?i).

（A）第 1页，总6页

1?i. 1?i课程名称：复变函数与积分变换

1二、求圆周|z|?2在映射w?下的像的方程.（本题10）

z

三、 证明f(z)?(x3?3xy2)?(3x2y?y3)i在整个z平面内处处解析，并求其导数.

（本题10分）

四、计算?(|z|?ezsinz)dz,其中C为正向圆周|z|?1.（本题10分）

C

（A）第 2页，总6页

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五、使用高阶导数公式计算?

六、计算Res [

七、计算?

eiz?i)4|z|?2(zdz.（本题10分）

sinz,0].（本题10分） 22z(z?5)1z(z?1)3|z|?3dz.（本题10分）

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izn八、求级数?的收敛点集. (本题10分) nn?1(1?i)?

九、求函数f(z)?

十、计算?

1(???1z(z?1)4 在1?|z?1|???内的洛朗级数.(本题10分)

nn2|z|?2n??21?zn)dz .(本题10分)

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课程名称：复变函数与积分变换

北京印刷学院

《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A卷）

标准答案和评分标准

（2012-2013学年第一学期）

一、计算下列各题（每小题5分，共10分）： 1.解：原式= Arg(?i) =???2k? 232．解：原式=ln|?1?i|?iArg(?1?i)=ln2?i(?2k)?

4二、解：记z?x?iy,w?u?iv,圆周|z|?2的直角坐标方程为x2?y2?4;

?w?u?iv?11x?iy, ??2zx?iyx?y2?u?x?y, ,v?x2?y2x2?y21由x2?y2?4得: u2?v2?

4三、证明: 记u?x3?3xy2,v?3x2y?y2,则

ux?3x2?3y2,uy??6xy,vx?6xy,vy?3x2?3y2 所以, f(z)在整个z平面内处处成立ux?vy,uy??vx, 又 u,v处处可微分，所以在整个z平面内f(z)处处解析；

f?(z)?ux?ivx?(3x2?3y2)?6xyi

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四、解：因为在C上及C内，ezcosz是解析的，

所以?ezcoszdz?0;又因为|z|?1, 所以?|z|dz??dz?0;

CCC所以，原式=0+0=0

五、解：由高阶导数公式,得：原式=

2?iiz(3)(e)3! =

z?i? 3e六、解：z?0是1级极点，原式=lim[z?z?01sinz. =]22z(z?5)5七、解：原式=2?i{Res[11,0]?Res[,1]} 33z(z?1)z(z?1)11d213=2?i[limz??lim[(z?1)]=2?i(?1?1)=0

z?0z(z?1)32!z?1dz2z(z?1)3八、解：limcn?111?lim?，R=2

n??cn??1?i2nizn 当|z|?2时, ?1?0,所以所求为z:|z|?2 n(1?i)??九、解：f(z)?11111?? ??z(z?1)4(z?1)41?(z?1)(z?1)51?1z?11111?[1?????]

z?1(z?1)2(z?1)3(z?1)5??1111(?1)n ????????5678n?5(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)n?0(z?1)

十、解: 原式=2?iC?1=??i

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课程名称：复变函数与积分变换

四、解：因为在C上及C内，ezcosz是解析的，

所以?ezcoszdz?0;又因为|z|?1, 所以?|z|dz??dz?0;

CCC所以，原式=0+0=0

五、解：由高阶导数公式,得：原式=

2?iiz(3)(e)3! =

z?i? 3e六、解：z?0是1级极点，原式=lim[z?z?01sinz. =]22z(z?5)5七、解：原式=2?i{Res[11,0]?Res[,1]} 33z(z?1)z(z?1)11d213=2?i[limz??lim[(z?1)]=2?i(?1?1)=0

z?0z(z?1)32!z?1dz2z(z?1)3八、解：limcn?111?lim?，R=2

n??cn??1?i2nizn 当|z|?2时, ?1?0,所以所求为z:|z|?2 n(1?i)??九、解：f(z)?11111?? ??z(z?1)4(z?1)41?(z?1)(z?1)51?1z?11111?[1?????]

z?1(z?1)2(z?1)3(z?1)5??1111(?1)n ????????5678n?5(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)n?0(z?1)

十、解: 原式=2?iC?1=??i

（A）第 6页，总6页

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