线性代数练习册

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第一章行列式

练习一

一、选择题

1.下列选项中，为五阶行列式带正号的项是（）. A.a31a25a43a14a52 B.a13a25a31a42a54 C.a23a31a12a45a54 D.a31a15a44a22a53 2．五阶行列式的项 a15a42a53a34a21 的符号为（） A．(?1)?(14532) B．(?1)?(52341) C．(?1)?(14532)??(52341) D．(?1)5 3、下列哪个行列式的值一定为零 ( )

0A．

00c2d2a3b300a4a1a2000000d300c4d4

0c1d1b1b4 B.

0000a1C.

a2b2c2d2a3000a40000d2a30000b4 00b1c1d100 D. 0c100二、填空题

1、5阶行列式的全面展开式共有项

2、要使5阶行列式的项：a1ia32a4ka25a53带负号，就要取i? ；k?

3、写出4阶行列式D4展开式中含有因子a11a23的项（包括符号）三、计算题 (1) (2)

n?1n

nn?11logablogban?1

班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________

321(3)253

342

000a(4)

b0a00c00 00d0

0000（5）D??2005000

0120?000000

020062

???? 班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________

第一章行列式

练习二

一、选择题

a1b1c12a14a1?3b1c11. 设D?a2b2c2?2,则2a24a2?3b2c2? ( ) a3b3c32a34a3?3b3c3A． 6 B． 2 C． ?12 D． ?48

a11a12a133a114a21?a31?a312．如果D?a21a22a23?0，则M?3a124a22?a32?a32? ( ) a31a32a333a134a23?a33?a33A.?3D B.?4D C.?12D D.?4DT 3、设行列式D的元素都是正整数，则D的值是 ( )

A. 正整数 B. 整数,即还可能是负整数或0 C.有理数,即还可能是分数 D.实数,即还可能是无理数二、计算题

11112?512(1)1?111 （2）

?37?1411?115?927 111?14?612

1111（3）已知行列式D?1234abcd,求元素a,b的代数余子式的值。

141020

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三、利用行列式的性质证明下列等式

xaaa（1）axaaa?(3a?x)(x?a)3aax

aaax

b?cc?aa?babc（2）a?bb?cc?a?2cab

c?aa?bb?cbca

1?a11?1四、计算D11?a2?1n?????,其中a1a2?an?0a1a2?an?0

11?1?an

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第一章行列式

练习三

一、选择题 1. 已知

a1b1?1,则方程组??a1x1?b1x2?c1?0ab的解是( ) 22?a2x1?b2x2?c2?0A.xc1b1a1c11c11b11?c2b,x2?2a2c B.x1?a2a,x2?c2c2c

2b2C.x??c1b1c1c1b11cb,x2??a1c D. x?a11?22a2c,x2??c12a22c2b 2?kx2、在下列何种情况下,齐次线性方程组?1?2x2?x3?0?2x?1?kx2?0仅有零解，则 ( ) ?x1?x2?x3?0A.k??2 B.k?3 C. k??2或k?3 D. k??2且k?3

3、行列式D非零的充分条件是。 A.D所有元素都不为零 B.至少有n2?n个元素不为零 C.D的任意两列元素之间不成比例 D.以D为系数行列式的线性方程组有唯一解

?kx?z?04.设非齐次线性方程组??2x?ky?z?1有唯一解，则 ( )

??kx?2y?z?1A.k?0 B.k??1 C.k?2 D.k??2

??x1?x2?x3?x4?5二、用克莱姆法则解方程组 ??x1?2x2?x3?4x4??2?2x1?3x2?x 3?5x4??2??3x1?x2?2x3?11x4?0

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?x1?3x2?2x3?x4?1?3、设线性方程组?x2?ax3?ax4??1，问为何值时方程组有解？并在有解时，求出方

?x?2x?3x?324?1程组的解。

?x1?x2?2x3?3x4?0?2x?x?6x?4x??1?12344、已知线性方程组?，讨论参数取何值时，方程组有解，无解。

3x?2x?px?7x??1234?1??x1?x2?6x3?x4?t当有解时，试求其解。

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第四章向量与矩阵的秩

练习八

1、填空题

（1）设向量

?1?(?1T,4?2)?,T数?(31?,2T),a

和(b4使,11),a?1?b?2??3?0,则a?_______,b?________.

TTT（2）设向量?1?(1,0,1)则向量??(?1,?1,0)T可?,2?(0,1,0)?,3?(0,0,1),表示为?1,?2,?3的线性组合__________________.

（3）已知向量组?1?(3,1,a)T,?2?(4,a,0)T,?3?(1,0,a)T，则当a?_____时，

?1,?2,?3线性相关.

（4）设向量组?1?(1,3,6,2)T,?2?(2,1,2,?1)T,?3?(1,?1,a,?2)T线性无关，则

a应满足条件_____________.

?1?（5）设三阶矩阵A?2???3a?_________.

2?2?12??,?a(,1,T1)已,知A?与?线性相关，则

?04??2、设?1?(1,0,0,0)T,?2?(1,1,0,0)T,?3?(1,1,1,0)T,?4?(1,1,1,1)T,试将向量

??(2,1,?1,0)T用?1,?2,?3,?4线性表示.

3、设?1?(1,4,0,2)T,?2?(2,7,1,3)T,?3?(0,1,?1,a)T,??(3,10,b,4)T,问

（1） a,b取何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？

（2） a,b取何值时，?可由?1,?2,?3线性表示？并写出此表达式.

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4、设?1?(6,a?1,3)T,?2?(a,2,?2)T,?3?(a,1,0)T,?4?(0,1,a)T,

试问：（1）a为何值时，?1,?2线性相关？线性无关？

（2）a为何值时，?1,?2,?3线性相关？线性无关？（3）a为何值时，?1,?2,?3,?4线性相关？线性无关？

5、设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Ax?0有解向量?，且A??0.

证明：向量?,A?,...,A

6、证明向量组?1??2,?2??3,?3??1线性无关的充分必要条件是?1,?2,?3线性无关.

k?1kk?1?线性无关.

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第四章向量与矩阵的秩

练习九

1、填空题

（1）已知向量组?1?(1,2,?1,1)T,?2?(2,0,t,0)T,?3?(0,?4,5,?2)T的秩为2，则

t?_____.

（2）设n维向量组?1,?2,?3,?4的秩为4，则向量组?1??1?k1?2,?2??2?k2?3,

?3??3?k3?4的秩为__________.

（3）设

?1?(1,2,?3)T,?2?(3,6,?9)T,?3?(3,0,1)T和 ?1?(0,1,?1)T,?2?(a,2,1)T, ?3?(b,1,0)T.

若r(?1,?2,?3,?3)?r(?1,?2,?3)?r(?1,?2,?3),则a?_____,b?____. （4）若向量组?1?(1,2,3,3)T,?2?(0,1,2,2)T,?3?(3,2,1,k)T生成的向量空间的

维数是2，则k?________.

?1???0（5）设????,??(0,1,0,2),矩阵A???,则r(A)?_______.

??1????2???1??1??2??3?2、已知向量组（Ⅰ）：?1,?2,?3和向量组（Ⅱ）：?1,?2,?3,且??2??1??2??3

??????????3123试判断向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否等价.

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3、求向量组?1?(2,1,3,?1)T,?2?(3,?1,2,0)T,?3?(1,3,4,?2)T,?4?(4,?3,1,1)T的一

个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

4、设A为m?n矩阵，B为n?m矩阵，且m?n,证明|AB|?0.

5、设?1,?2,?3是一向量组的极大无关组，且?1??1??2??3,?2??1??2?2?3,

?3??1?2?2?3?3,证明：?1,?2,?3,也是该向量组的极大无关组.

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以上命题正确的是__________________ A、（1） B、（3） C、（2） D、 (4)

4、非齐次线性方程组Ax?b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，

则__________

A、r?m时，方程组Ax?b有解 B、r?n时，方程组Ax?b有唯一解 C、m?n时，方程组Ax?b有唯一解 D、r?n时，Ax?b有无穷解

?abb???5、设三阶矩阵A??bab?，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有________

?bba???A、a?2b?0或a?b B、a?2b?0或a?b

C、a?2b?0且a?b D、a?2b?0且a?b

?3?20?1???0221???1A三、(10分) 设A??，利用初等变换求。 ?1?2?3?2???0121????x1?x2?x3?x4?x5?7?3x?2x?x?x?3x??2?12345四、(10分) 求下列非齐次线性方程组?的通解。

x?2x?2x?6x?23345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12五、(10分) 证明：设A为n阶幂等矩阵，A?A,则R(A)?R(E?A)?n。

2六、(20分) 已知3阶矩阵A和一维向量x，若向量组x,Ax,Ax线性无关且满足

2A3x?3Ax?2A2x，记P?(x,Ax,A2x)，求：(1) 3阶矩阵B,使A?PBP?1,(2)计算

行列式A?E

?x1?x2?2x3?3x4?1?x?3x?6x?x?3?1234七、（20分）问k1,k2为何值时，线性方程组?有唯一解、

3x?x?kx?15x?32134?1??x1?5x2?10x3?12x4?k2无解、有无穷解？并求出有无穷解时的通解。

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第六章特征值与特征向量

练习十二

1、填空题

(1) 设n阶方阵A的特征值为?1,?2,?,?n.则kA的特征值为_______________,A的特征

值为_______________,A可逆时,A的特征值为______________ (k为常数). (2) 设n阶方阵A有个n特征值0,1,2,…,n-1,且方阵B与A相似,则︱B+E︱=_____ (3) 已知三阶矩阵A的特征值为-1,1,2. 则矩阵B=(3A*)?1的特征值为___________(其中A为A的伴随矩阵)

*?1k?3?3??4???212 求矩阵A=? 3 ?的特征值和特征向量. ?23?1??

3 设n阶方阵A满足 :A?A。 (1) 求A的特征值; (2) 证明E+A为可逆矩阵

2 班级_______________ 姓名_______________ 学号_______________

?200???204、设A=?1 2 ?1?, 求A

?101???

5、设三阶矩阵A的特征值为

?1?1,?2?2,?3?3,所对应的特征向量依次为：

?1?(1,1,1)T,?2?(1,2,4)T,?3?(1,3,9)T

(1) 将向量??(1,1,3)T用?1,?2,?3线性表示; (2) 求An? （n为自然数）

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第六章特征值与特征向量

练习十三

1、判断题

(1) 任何方阵都能与对角矩阵相似 _____

(2) 若A是实对称矩阵,又是正交矩阵,则A2=E _____ (3) 对称矩阵必能正交对角化 _____

2、试用施密特正交化方法将下列向量化为标准正交向量组

?1?(1,?1,?1)T,?2?(2,?3,1)T,?3?(1,1,3)T

3、已知A,B都是n阶正交矩阵,且︱A︱+│B︱=0 , 证明:︱A+B︱=0

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4、已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为?1?2,?2??3?1,且对应于?2,?3的特征向量

为：

?2?(1,1,?1)T,?3?(2,3,?3)T

(1) 求A的与?1?2所对应的特征向量; (2) 求矩阵A

?05设A=??1 ???1

?1?0 1??，求一个正交阵P , 使P?1AP=∧为对角阵.

0??30

1 1

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第七章二次型

练习十四

一、选择题：（1）、下列矩阵中，正定矩阵是（）

?121??123??1?20??123?????????3? (D) ?257? （A）?253? (B) ?257? (C) ??25?0?130??3710??3712?3?2?????????00??1??mn?3?为正定矩阵，则m必满足（）（2）、矩阵A??0?0m?1m???（A）m?13 (B) m? (C) m??2 (D)m与n有关，不能确定 22T（3）、n元二次型XAX正定的充分必要条件是（）

（A）存在正交矩阵P使PAP?E （B）负惯性指数为零

（C）A的特征值大于零（D）存在n阶矩阵c使A?cc

二、填空题：（1）二次型

TTf(x,y,z)?x2?4xy?4y2?2xz?z2?4yz，用矩阵表示为______

（2）二次型

2222 f(x1,x2,x3,x4)?x1?2x2?3x3?4x4?2x1x3?x2x4的符号差为______

（3）实二次型f?2y1?2y2?

三、判断下列二次型的正定性

2212y3的规范形为______ 2（1）x12?2x22?5x32?2x1x2?4x2x3

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（2）f?2x12?5x22?5x32?4x1x2?4x1x3?8x2x3

四、设二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?x32?2?x1x2?2?x2x3?2x1x3经正交变换X?PY化成f?y22?2y32，其中X?(x1,x2,x3)T和Y?(y1,y2,y3)T是三维列向量。P是3阶正交矩阵，试求常数?,?的值及所用的正交变换矩阵P。

五、证明若A为n阶可逆实矩阵，则AA是正定矩阵。

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阶段检测三

一、选择题（每题4分，共20分）

?15?

1、设矩阵A=??51??，则A的特征值是（）

A.1，5 B.6，-4 C.5（二重）

2、下列矩阵中为正定矩阵的是（）

?110???231A.?? ?002???

D.1（二重）

?121?

??241 D.?? ?115???

?432??6?34?????341?312B.?? C.?? ?212??421?????3、.以下结论中不正确的是（）．．．

A、.若存在可逆实矩阵C,使A=C?C,则A是正定矩阵

B、.二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22是正定二次型

C.、n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n

D、.n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数 4、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵,则有（）

A.A=I B.A相似于I C.A2=I D.A合同于I

5、如果二次型f=X?AX的秩为r,则经满秩线性变换X=PY可化为平方和（）

22A.f?a1y1?a2y22???anyn,其中ai?0,i?1,2,??,n, 22B.f?a1y1?a2y22???ar?1yr?1,其中ai?0,i?1,2,??,r?1, 22C.f?a1y1?a2y22???aryr,其中ai?0,i?1,2,??,r, 22D.f?a1y1?a2y22???ar?1yr?1,其中ai?0,i?1,2,??,r?1

二、填空题（每题4分，共20分） 1、设3阶方阵A的特征值是2，?11*

，?，则A的特征值为：_______ _______ 44?1??1???1???????2、设?1??2?,?2??0?都是3阶方阵A的属于特征值??2的特征向量，而???2?,则

?0??1???2???????A?＝：_______ _______

3、若A为正交矩阵，则其行列式为：_______ 4、二次型

?xi?1n2i?2?xixi?1对应的矩阵A＝：________________________

i?1n?15、设

22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x1x2?2tx2x3，则当t满足条件＿＿＿＿时，该二次

型是正定的。

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三、计算题（每题15分，共45分）

1、在R中，?1=(1,1,1),?2=(1,-2,1)，求向量?3，使?1，?2，?3为正交向量组。

?200???2、求矩阵A??12?1?的5次幂。